開集合が大きすぎる位相〜ザリスキ位相の作り方と癖

ザリスキ位相は、閉集合の側から定めます。開集合を先に並べるのではなく、「ここで全部消える」という集合を閉集合と呼ぶところから始まります^[1]。

可換環 $A$ に対し、イデアル $I$ を含む素イデアルの全体を $V(I)$ と書きます。

$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A:I\subseteq \mathfrak{p}\}$$

この族が閉集合の全体になります。以下では位相になっていることを確かめ、そのあとで癖の強い性質を並べます。

閉集合が少なすぎるので、開集合はどれも巨大になる。そこから出る帰結を順に見ていきます。

位相になっていること

3 つの恒等式を確かめます^[1]。

まず両端です。$0\subseteq \mathfrak{p}$ はいつでも成り立つので $V(0)=\mathrm{Spec}A$ です。$1\in \mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{p}=A$ になりますが、素イデアルは真のイデアルなので $V(A)=\varnothing$ になります。

交わりは和で書けます。

$$\bigcap _{\lambda }V(I_{\lambda })=V\left(\sum _{\lambda }{I}_{\lambda }\right)$$

$\mathfrak{p}$ がすべての $I_{\lambda }$ を含むことと、和を含むことが同値だからです。添字の個数に制限はありません。

和集合は積で書けます。有限個の場合だけ必要です。

$$V(I)\cup V(J)=V(IJ)=V(I\cap J)$$

証明: 和集合の等式

素であることが効く唯一の場所なので、書き下します。

$IJ\subseteq \mathfrak{p}$ とします。$I⊈\mathfrak{p}$ なら、$a\in I\setminus \mathfrak{p}$ がとれます。

任意の $b\in J$ について $ab\in IJ\subseteq \mathfrak{p}$ です。$\mathfrak{p}$ が素で $a\notin \mathfrak{p}$ なので $b\in \mathfrak{p}$ となります。

$b$ は任意だったので $J\subseteq \mathfrak{p}$ です。したがって $V(IJ)\subseteq V(I)\cup V(J)$ が出ました。

逆向きは $IJ\subseteq I$ と $IJ\subseteq J$ から従います。$V(I\cap J)$ も $IJ\subseteq I\cap J\subseteq I$ に挟まれるので同じ集合になります。

これで有限和と任意交わりについて閉じました。ザリスキ位相が定まります。

基本開集合

閉集合の補集合が開集合です。$1$ 元で作ったものを基本開集合といいます^[1]。

$$D(f)=\mathrm{Spec}A\setminus V(f)=\{\mathfrak{p}:f\notin \mathfrak{p}\}$$

$f$ が消えない点の全体、と読めます。$D(1)=\mathrm{Spec}A$、$D(0)=\varnothing$ です。

積について次が成り立ちます。

$$D(f)\cap D(g)=D(fg)$$

$f\notin \mathfrak{p}$ かつ $g\notin \mathfrak{p}$ であることと $fg\notin \mathfrak{p}$ であることが、素であることから同値になるためです。

任意の開集合は基本開集合の和で書けます。$\{D(f)\}$ が開基になります。

例: アフィン直線の閉集合

$k$ を代数閉体、$A=k[x]$ とします。イデアルは $(f)$ の形しかありません。

$f\ne 0$ なら $V(f)$ は $f$ の既約因子が生成する素イデアルの集合で、有限個です。$f=0$ なら全体になります。

したがって閉集合は、有限集合と全体だけ。開集合は、有限個の点を抜いたものと空集合だけです。

$k$ が無限体なら、空でない開集合はどれも無限集合です。有限個しか抜けないためです。

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ でも同じ形になります。閉集合は有限個の素数の集合と全体です。

閉集合が少ない

図にしておきます。

上が閉集合、下が開集合です。抜けるのが有限個しかないので、開集合はほとんど全体を占めます。

通常の位相では、いくらでも小さい開球がとれました。ザリスキ位相にはそれがありません。

空でない開集合はどれも交わる

開集合が大きいことの帰結を見ます。

$U$ と $V$ をどう動かしても、交わりが空になりません。抜けた点を合わせても有限個だからです。

したがってハウスドルフではありません^[1]。2 点を交わらない開集合で分けられない。

有限集合の場合だけが例外です。点が有限個なら離散位相になり、ハウスドルフになります。

$T_0$ ではあるが $T_1$ ではない

分離公理を細かく見ます。

$\mathfrak{p}\ne \mathfrak{q}$ とすると、片方に入って片方に入らない元 $f$ がとれます。$f\in \mathfrak{p}\setminus \mathfrak{q}$ なら $D(f)$ が $\mathfrak{q}$ を含み $\mathfrak{p}$ を含みません。

したがって $T_0$ です。どの 2 点も、開集合で見分けられます^[1]。

$T_1$ にはなりません。点が閉であることと $T_1$ は同値ですが、極大でない素イデアルは閉点になりません。

$\mathrm{Spec}k[x]$ なら、生成点 $(0)$ が閉になりません。閉包が全体になるためです。

点の閉包

$\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合を求めます。

$V(I)$ が $\mathfrak{p}$ を含むことと $I\subseteq \mathfrak{p}$ は同値です。したがって最小のものは $I=\mathfrak{p}$ ととったときになります。

$$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$$

$\mathfrak{p}$ が極大なら $V(\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$ で、点は閉です。極大でなければ閉包が広がります。

$\mathfrak{p}$ を $V(\mathfrak{p})$ の生成点といいます^[2]。1 点が閉集合全体を代表する、という状況です。

$k[x,y]$ なら、$(y-x^2)$ が放物線の生成点です。放物線の上の閉点は、すべてこの点の閉包に入ります。

既約であること

空でない開集合がどれも交わる、という性質を既約といいます。

$\mathrm{Spec}A$ が既約であることと、冪零根 $\sqrt{0}$ が素イデアルであることが同値です。

$V(I)$ が既約であることと $\sqrt{I}$ が素であることが一般に同値で、$I=0$ の場合がこれにあたります。

$A$ が整域なら $\sqrt{0}=0$ が素なので、$\mathrm{Spec}A$ は既約です。$k[x,y]/(xy)$ では $\sqrt{0}=0$ が素でないので既約になりません。

既約な空間には生成点がちょうど 1 つあります。$\sqrt{0}$ に対応する点です。

閉集合と根基イデアルの対応

$V(I)=V(\sqrt{I})$ が成り立ちます。素イデアルは冪根に閉じているためです。

したがって閉集合とイデアルの対応は 1 対 1 になりません。根基イデアルに限ると 1 対 1 になります^[3]。

代数閉体の上の $k[x_1,\dots ,x_n]$ では、零点定理から代数的集合と根基イデアルが 1 対 1 に対応します^[3]。

$(x)$ と $(x^2)$ は同じ閉集合を定めます。位相では区別が付かず、環の側でだけ違いが見えます。

準コンパクトであること

ザリスキ位相の扱いやすい性質です^[1]。

$\mathrm{Spec}A$ は準コンパクトになります。開被覆から有限部分被覆がとれる、という意味です。

証明は短く済みます。基本開集合で覆えたとして $\mathrm{Spec}A={\bigcup }_{\lambda }D(f_{\lambda })$ とします。

補集合をとると $\bigcap V(f_{\lambda })=\varnothing$、つまり $V(\sum (f_{\lambda }))=\varnothing$ です。真のイデアルはどれかの極大イデアルに含まれるので、$\sum (f_{\lambda })=A$ となります。

$1$ を有限和として $1={\sum }_{i=1}^n{a}_i{f}_{{\lambda }_i}$ と書けます。この有限個で覆えるので、有限部分被覆がとれました。

ハウスドルフでないのにコンパクト性が出る点が、通常の位相の感覚と違うところです。

ネーター空間

$A$ がネーター環なら、$\mathrm{Spec}A$ はネーター空間になります。閉集合の降鎖が止まります。

このとき、どの閉集合も有限個の既約閉集合の和に一意に分かれます。図形の既約成分にあたります。

アフィン空間や射影空間はネーター空間です^[1]。したがって、どの閉部分集合も準コンパクトになります。

$\dim$ を既約閉集合の鎖の長さで定めると、Krull 次元と一致します^[5]。位相だけから次元が読める形です。

環準同型は連続写像を与える

$\phi :B\to A$ を環準同型とします。素イデアルの逆像は素イデアルなので、写像が作れます。

$${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B,\mathfrak{p}\mapsto {\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$$

これは連続です。$J\subseteq B$ について $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}(V(J))=V(JA)$ が成り立つためです。

基本開集合では $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}(D(b))=D(\phi (b))$ になります。開基の逆像が開集合なので、連続性が従います。

向きが逆になっている点が要です。環の射が $B\to A$、空間の射が $\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$ です^[4]。

例: 3 つの射で像を見る

具体的に像を計算します。

3 番目のように、像が開でも閉でもないことがあります。一般には構成可能集合になります。

通常の位相との比較

感覚の違いを並べます。

粗いことは欠点ではありません。多項式で書ける閉集合だけを扱うので、代数の言葉がそのまま位相の言葉になります。

体が $\mathbb{C}$ なら、ザリスキ閉集合はユークリッド閉集合でもあります。逆は成り立たず、ザリスキ位相のほうが粗くなります。

練習

閉集合が有限集合しかない、という一点からすべて出ます。

よくある誤り

まとめます。

閉集合が少ないという 1 点を押さえておけば、癖のある性質はどれも見通せます。

参考文献