アフィンスキームの Zariski 位相

可換環 $A$ に対して $\mathrm{Spec}A$ を $A$ の素イデアル全体の集合とする。$A$ のイデアル $I\subset A$ に対し

$$V(I):=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid I\subset \mathfrak{p}\}$$

とおく。$\{V(I){\}}_{I◃A}$ を閉集合族として入る位相を Zariski 位相という。基本的な直観は「$I$ が消える（$I$ のすべての元が点 $\mathfrak{p}$ 上で $0$ になる）」という零点集合の集まりで閉集合を作る、というもの。

$V(I)$ は「$I$ を含む素イデアルの集合」
$\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ は素イデアルそのもの
$\mathfrak{p}\in V(I)⟺I\subset \mathfrak{p}$
$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$

閉集合の和・積の基本恒等式（証明つき）

Zariski 位相が本当に位相になっていることは次の恒等式で確認できる。以下、$I,J$ はイデアル。

$V(0)=\mathrm{Spec}A$、$V(1)=\varnothing$
$V(I)\cap V(J)=V(I+J)$
$V(I)\cup V(J)=V(I\cap J)=V(IJ)$

(1) $V(0)$ と $V(1)$
$0\subset \mathfrak{p}$ は常に成り立つので $V(0)=\mathrm{Spec}A$。$1\subset \mathfrak{p}$ なら $\mathfrak{p}=A$ だが素イデアルは真のイデアルなので存在しない。ゆえに $V(1)=\varnothing$。

(2) 交わり：$V(I)\cap V(J)=V(I+J)$
$\mathfrak{p}\in V(I)\cap V(J)$ なら $I\subset \mathfrak{p}$ かつ $J\subset \mathfrak{p}$。すると $I+J\subset \mathfrak{p}$、ゆえに $\mathfrak{p}\in V(I+J)$。逆向きも同様に従う。

(3) 和集合：$V(I)\cup V(J)=V(I\cap J)=V(IJ)$
包含 $IJ\subset I\cap J$ から $V(I\cap J)\subset V(IJ)$ は明らか。逆向きの同値は $\mathfrak{p}$ が素イデアルであることを使う：

$$\mathfrak{p}\in V(IJ)⟺IJ\subset \mathfrak{p}\stackrel{\text{素性}}{⟺}I\subset \mathfrak{p}\text{または}J\subset \mathfrak{p}$$

よって $V(IJ)=V(I)\cup V(J)$。さらに $V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$ も成立する（一般に $V(I)=V(\sqrt{I})$ であり、$\sqrt{I\cap J}=\sqrt{IJ}$ を使うと一気にわかる）。

これで閉集合族が空でなく、任意交わりと有限和で閉じていることが示された。

基本開集合と位相の基

$f\in A$ に対し

$$D(f):=\mathrm{Spec}A\setminus V(f)=\{\mathfrak{p}\mid f\notin \mathfrak{p}\}$$

を基本開集合という。$\{D(f){\}}_{f\in A}$ は Zariski 位相の基になり、次が成り立つ：

$$D(1)=\mathrm{Spec}A,D(0)=\varnothing ,D(f)\cap D(g)=D(fg).$$

最後の等式は

$$\mathfrak{p}\in D(f)\cap D(g)⟺f\notin \mathfrak{p}\text{かつ}g\notin \mathfrak{p}⟺fg\notin \mathfrak{p}⟺\mathfrak{p}\in D(fg)$$

で証明できる。任意の開集合は基本開の和集合として書ける。

点の閉包と閉点・一般点

点 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ の閉包は

$$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$$

である。実際、$V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合だから。特に

$\mathfrak{p}$ が極大イデアル $\mathfrak{m}$ なら $V(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}$ なので点は閉。

一般には極大でない素イデアルは閉でない。$\mathfrak{p}$ は閉集合 $V(\mathfrak{p})$ の「一般点（generic point）」になり、その閉包全体を代表する。

可約性と冪零元

$A$ の零化根（ニルラジカル）を $\sqrt{0}$ とすると

$$\mathrm{Spec}A\text{が既約}⟺\sqrt{0}\text{が素イデアル}$$

が成り立つ。理由は

$$\mathrm{Spec}A\text{既約}⟺V(0)\text{既約}⟺V(\sqrt{0})\text{既約}⟺\sqrt{0}\text{が素}$$

である（$V(I)$ が既約 $⟺\sqrt{I}$ が素、を使う）。したがって $A_{\mathrm{red}}:=A/\sqrt{0}$ に置き換えても位相は変わらない。

有限生成条件下の性質（概略）

$A$ が Noether 環なら $\mathrm{Spec}A$ は

• 任意の閉集合が有限個の既約成分に分解できる（既約分解の有限性）
• 準コンパクト（基本開での被覆は有限部分被覆をもつ）

といった位相的性質を満たす。Zariski 位相は粗いが、代数と対応がよい。

環準同型と連続性

環準同型 $\phi :B\to A$ によるスペクトル写像

$${\phi }^{\text{*}}:\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B,\mathfrak{p}⟼{\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$$

は連続になる。実際、任意の $J◃B$ について

$$({\phi }^{\text{*}}{)}^{-1}(V(J))=V(JA)$$

が成り立つから（証明：$J\subset {\phi }^{-1}(\mathfrak{p})⟺\phi (J)\subset \mathfrak{p}⟺JA\subset \mathfrak{p}$）。特に基本開について

$$({\phi }^{\text{*}}{)}^{-1}(D(b))=D(\phi (b))$$

が従う。

よく使う恒等式まとめ

$$V(I)=V(\sqrt{I}),V\left(\sum _k{I}_k\right)=\bigcap _{k}V(I_k),V\left(\bigcap _k{I}_k\right)=\bigcup _{k}V(I_k).$$

以上の等式と $D(f)=\mathrm{Spec}A\setminus V(f)$、$D(fg)=D(f)\cap D(g)$ を押さえれば、Zariski 位相の計算はたいていその場でさばける。