位数 12 のアーベル群はいくつある？有限生成アーベル群の基本定理

有限生成アーベル群は、無限巡回群と有限巡回群の直和にただ一通りに分かれます^[1]。

$G ≅ Z^{r} \oplus Z / d_{1} Z \oplus \dots \oplus Z / d_{k} Z, d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{k}$

$r$ を階数、 $d_{1}, \dots, d_{k}$ を不変因子といいます^[3]。生成元と関係式を書き下せば、この形は行列の計算で求まります。

表示行列から始める

$G$ が $x_{1}, \dots, x_{n}$ で生成されているとします。全射 $π : Z^{n} \to G$ があり、 $G ≅ Z^{n} / ker π$ です。

$ker π$ は $Z^{n}$ の部分群なので、階数 $m \leq n$ の自由アーベル群になります^[1]。その生成元を $Z^{n}$ の標準基底で書き並べると、整数行列 $A$ ができる。

$G ≅ Z^{n} / A Z^{m}$

これが表示行列です。あとは $A$ を扱いやすい形に直せばよい。

適合基底

鍵になるのは次の定理です^[1]。階数 $n$ の自由加群 $M$ と、階数 $m \leq n$ の $0$ でない部分加群 $M^{'}$ に対し、 $M$ の基底 $v_{1}, \dots, v_{n}$ と $0$ でない整数 $a_{1}, \dots, a_{m}$ がとれて

$M = i = 1 ⨁ n Z v_{i}, M^{'} = j = 1 ⨁ m Z a_{j} v_{j}$

となり、さらに $a_{1} ∣ a_{2} ∣ \dots ∣ a_{m}$ にできる^[1]。

部分加群の基底が、全体の基底の各方向を整数倍に縮めた形になる。線型代数の基底の延長定理に近い主張ですが、係数環が体でないぶん、倍率 $a_{j}$ が残ります^[2]。

商をとると答えが出ます。

$M / M^{'} ≅ j = 1 ⨁ m Z / a_{j} Z \oplus Z^{n - m}$

$a_{j}$ が $1$ のところは $Z /1 Z = 0$ で消えます。残ったものが不変因子、 $n - m$ が階数です。

Smith 標準形で計算する

適合基底を実際に求める手順が、整数行列の Smith 標準形です^[2]。

使えるのは、行と列に対する 3 種類の基本変形です。行を入れ替える、行に別の行の整数倍を足す、行を $- 1$ 倍する。列でも同じ。どれも $G L_{n} (Z)$ の元を掛けることにあたるので、格子は変わりません。

例を 1 つ計算します。

$A = (2648)$

2 行目から 1 行目の $3$ 倍を引きます。

$(20 4 - 4)$

2 列目から 1 列目の $2$ 倍を引き、2 行目を $- 1$ 倍します。

$(2004)$

$2 ∣ 4$ なので、これが Smith 標準形です。

$Z^{2} / A Z^{2} ≅ Z /2 Z \oplus Z /4 Z$

位数は $8$ で、 $∣ det A ∣ = ∣16 - 24∣ = 8$ と合っています。

自由部分が出る例

対角成分に $0$ が現れると、そこが自由部分になります。

$B = 22446106814$

2 行目から 1 行目を、3 行目から 1 行目の $2$ 倍を引くと、2 行目と 3 行目がどちらも $(0, 2, 2)$ になります。3 行目から 2 行目を引けば $0$ 行になる。

$200420620$

2 列目から 1 列目の $2$ 倍、3 列目から 1 列目の $3$ 倍を引き、最後に 3 列目から 2 列目を引きます。

$200020000$

対角成分は $2, 2, 0$ です。 $0$ の分だけ $Z$ が残ります。

$Z^{3} / B Z^{3} ≅ Z /2 Z \oplus Z /2 Z \oplus Z$

関係式が 3 本あっても、そのうち 1 本が他の 2 本から出ていたので、階数が $1$ 残りました。

指数は行列式で決まる

上の 2 つの例で $∣ det ∣$ が位数と一致したのは偶然ではありません^[1]。

階数 $n$ の自由アーベル群 $M$ と、同じ階数 $n$ の部分群 $M^{'}$ をとります。 $M$ の基底で $M^{'}$ の基底を表した係数行列を $(c_{ij})$ とすると

$[M : M^{'}] = ∣ det (c_{ij}) ∣$

が成り立ちます^[1]。適合基底をとれば $Z^{n} / M^{'} ≅ ⨁ Z / a_{i} Z$ で指数は $∣ a_{1} \dots a_{n} ∣$ 、一方で基底変換の行列式が $\pm 1$ なので $∣ det ∣$ も同じ値になります。

階数が落ちる場合は $det = 0$ で、指数が無限であることに対応します。

行列式が 0 でない

指数は有限で、 $∣ det ∣$ に等しい。商は有限アーベル群

行列式が 0

関係が足りず、商に自由部分が残る。指数は無限

2 つの書き方

不変因子とは別に、素数冪で書く形もあります^[3]。

$G ≅ Z^{r} \oplus Z / p_{1}^{e_{1}} Z \oplus \dots \oplus Z / p_{m}^{e_{m}} Z$

これを単因子分解といいます。2 つは中国剰余定理でつながっています。 $g cd (a, b) = 1$ なら $Z / ab Z ≅ Z / a Z \oplus Z / b Z$ です。

具体例で行き来します。 $Z /12 Z \oplus Z /18 Z$ をとります。

素数ごとにばらすと、 $2$ の側が $4$ と $2$ 、 $3$ の側が $3$ と $9$ 。単因子は $4, 2, 3, 9$ です。

不変因子に戻すには、各素数の最大の冪から順に掛け合わせます。 $4 \times 9 = 36$ 、 $2 \times 3 = 6$ 。

$Z /12 Z \oplus Z /18 Z ≅ Z /6 Z \oplus Z /36 Z$

$6 ∣ 36$ で、積は $216 = 12 \times 18$ です。

位数 12 のアーベル群は 2 つしかない

同型なものを数え上げるとき、書き方の違いを別の群と数えてしまいがちです。

位数 $12 = 2^{2} \cdot 3$ のアーベル群を並べます。 $2$ の側は $4$ か $2 + 2$ の 2 通り、 $3$ の側は $3$ の 1 通りだけ。

Z /4 Z \oplus Z /3 Z ≅ Z /12 Z

。

Z /2 Z \oplus Z /2 Z \oplus Z /3 Z ≅ Z /2 Z \oplus Z /6 Z

。

$2$ 個です。 $Z /12 Z$ と $Z /4 Z \oplus Z /3 Z$ を別々に数えると $4$ 個に見えますが、中国剰余定理で同じものになります。

一般に、位数 $n = \prod p_{i}^{e_{i}}$ のアーベル群の個数は $\prod p (e_{i})$ です。 $p (e)$ は $e$ の分割の個数を表します。

$8 = 2^{3}$ なら $p (3) = 3$ 個。 $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ なら $p (3) \cdot p (2) = 3 \times 2 = 6$ 個になります。

一意性

分解が一通りしかないことは、 $G$ からとり出せる不変量として $d_{i}$ が書けることから出ます^[1]。

素数 $p$ を固定し、 $G / pG$ の大きさを見ます。 $Z$ の成分は $p$ 倍しても $p$ 個ぶんの剰余を残し、 $Z / d Z$ の成分は $p ∣ d$ のときだけ剰余を残す。だから $∣ G / pG ∣ = p^{r + # {i : p ∣ d_{i}}}$ になります。

同じことを $p^{k} G / p^{k + 1} G$ について $k$ を動かしながら並べると、各素数について冪の並びが復元できます。復元された並びが単因子で、そこから不変因子も決まる。

分解の書き方は選べても、そこに現れる数の並びは選べません^[3]。

どう使うか

有限生成アーベル群が現れる場面では、生成元と関係式を書いて表示行列を作り、Smith 標準形に落とせば同型類が確定します。

代数的整数論では、単数群やイデアル類群の構造がこの形で書けます。位相幾何では、ホモロジー群の計算が境界作用素の行列の Smith 標準形に帰着します。

行列を対角に落とすという 1 つの計算に、群の同型類の決定がまとまっている。それがこの定理の使い道です。

位数 $8$ のアーベル群は同型を除いて何個ありますか。

1 個
3 個
5 個

__RESULT__

$8 = 2^{3}$ なので、 $3$ の分割の個数だけあります。 $3$ 、 $2 + 1$ 、 $1 + 1 + 1$ の 3 通りで、それぞれ $Z /8 Z$ 、 $Z /4 Z \oplus Z /2 Z$ 、 $Z /2 Z \oplus Z /2 Z \oplus Z /2 Z$ に対応します。非可換なものを入れると位数 $8$ の群は 5 個ですが、ここで数えているのはアーベル群だけです。

生成元と関係式から出発して、行列を対角に落とすところまでが 1 本の道になっています。分解の存在と一意性が同時に出るので、有限生成アーベル群は完全に分類されている、と言い切れる数少ない対象になりました。

参考

Keith Conrad, *Modules over a PID*, University of Connecticut

Pierre Lorenzon, *Structure des groupes abéliens de type fini*, Université Paris-Saclay

*Abelian group*, Encyclopedia of Mathematics

有限生成アーベル群は、無限巡回群と有限巡回群の直和にただ一通りに分かれます。生成元と関係式から表示行列を作り、行と列の基本変形だけで対角へ落とす。それが Smith 標準形で、対角成分がそのまま不変因子になります。2 次と 3 次の例を最後まで計算し、対角に 0 が出たところが自由部分として残ることを見ました。指数が行列式の絶対値に等しいこと、不変因子と単因子が中国剰余定理で行き来できること、位数 12 のアーベル群が 4 個ではなく 2 個であること。一意性は $p^kG$ を $p^{k+1}G$ で割った大きさから冪の並びを復元して示します。