開被覆だけでコホモロジーを計算するチェックの方法

チェックコホモロジーは、開被覆だけを材料にしてコホモロジーを計算する方法です。

層の切断を、開集合ごと・交わりごとに並べます。並べたものを差分でつなぐと複体になり、そのコホモロジーをとる。

導来関手による定義と違い、手で計算できます。被覆を 1 つ選べば、あとは線形代数です。

以下では複体を組み立て、円周と射影直線で実際に計算します。層コホモロジーと一致する条件まで確かめる。

コチェイン

位相空間 $X$、開被覆 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$、層 $\mathcal{F}$ をとります。添字集合には順序を入れておきます。

$p$ 次のコチェインを次で定めます^[1]。

$$C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod _{i_0<\cdots <i_p}\mathcal{F}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p})$$

$0$ 次は各 $U_i$ の上の切断の組、$1$ 次は 2 つの交わりの上の切断の組、$2$ 次は 3 つの交わりの上の組です。

交わりが空なら、その成分は零になります。被覆が粗いと高次のコチェインが早く消えます。

差分写像

次数を 1 つ上げる写像を、交代和で定めます^[1]。

$$(\delta s{)}_{i_0\cdots i_{p+1}}=\sum _{k=0}^{p+1}(-1{)}^k{s}_{i_0\cdots \widehat{i_k}\cdots i_{p+1}}$$

$\widehat{i_k}$ はその添字を除くという意味です。右辺の各項は、より小さい交わりへ制限されています。

$0$ 次では次の形になります。

$$(\delta s{)}_{ij}=s_j{|}_{U_i\cap U_j}-s_i{|}_{U_i\cap U_j}$$

2 つの切断の差を、重なりの上でとっているだけです。ずれを測る写像だと読めます。

$\delta \circ \delta =0$

複体になることを確かめます。$s$ を $p$ 次として、2 回かけた成分を書きましょう。

内側の $\delta$ をほどくと、添字を 2 つ落とした項の和になります。落とす組 $\{i_l,i_k\}$（$l<k$）ごとに集めます。

同じ組は 2 回現れます。$i_k$ を先に落とす順と、$i_l$ を先に落とす順です。

前者の符号は $(-1{)}^{k+l}$ です。後者では $i_l$ が抜けたぶん $i_k$ の位置が 1 つ手前へずれ、$(-1{)}^{k+l-1}$ になります。

符号が逆なので打ち消し合います。すべての組で同じことが起きるので $\delta \delta =0$ です。

$0$ 次は大域切断になる

$H^0$ を計算します。$\ker \delta$ は、どの重なりの上でも値が一致する組です。

これは層の貼り合わせの公理が扱う状況そのものです。したがって 1 つの大域切断に貼り合わさります^[2]。

一意性の公理から、貼り合わせ方はただ 1 通りです。逆に大域切断を制限すれば、一致する組が得られます。

$$H^0(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong \Gamma (X,\mathcal{F})$$

$0$ 次では被覆をどう選んでも答えが変わりません。層の公理を書き直しただけだからです。

被覆と交わりを絵にする

材料の並びを描いておきます。

3 枚の被覆なら、$2$ 次まで作れます。3 枚の共通部分が空なら、そこで複体が止まります。

被覆が細かいほど交わりが深くなり、複体も長くなります。粗い被覆では早く切れる。

例: 円周を 2 枚で覆う

$X=S^1$、$\mathcal{F}=\underline{\mathbb{Z}}$ とします。2 つの弧 $U$、$V$ で覆いましょう。

弧は連結なので $\underline{\mathbb{Z}}(U)=\underline{\mathbb{Z}}(V)=\mathbb{Z}$ です。交わりは 2 つの弧に分かれるので $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ になります。

$$C^0=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},C^1=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$$

差分写像は、2 つの重なりのそれぞれで差をとります。$\delta (a,b)=(b-a,b-a)$ です。

核は $a=b$ の組で $\mathbb{Z}$、像は対角線です。したがって次を得ます。

$$H^0=\mathbb{Z},H^1=(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})/\{(c,c)\}\cong \mathbb{Z}$$

$H^0$ が $\mathbb{Z}$ なのは円周が連結だから。$H^1$ の $\mathbb{Z}$ が、1 周したときの飛び幅を数えています。

例: 円周を 3 枚で覆う

被覆を替えても答えが変わらないことを確かめます。3 つの弧で覆いましょう^[1]。

隣どうしだけが重なり、3 つの共通部分は空とします。各交わりは連結です。

$$C^0\cong {\mathbb{R}}^3,C^1\cong {\mathbb{R}}^3,C^2=0$$

係数を $\mathbb{R}$ でとりました。$C^2=0$ なので $Z^1=C^1\cong {\mathbb{R}}^3$ です。

$\delta$ の核は定数の組で $1$ 次元、したがって像は $2$ 次元になります。

$$H^1={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{R}}^2\cong \mathbb{R}$$

2 枚のときと同じ答えです。良い被覆を選べば、被覆の枚数によらない値が出ます。

被覆を細かくする

被覆を替えていくようすを動かします。

枚数を増やしても答えが変わりません。円周の場合、どの弧も可縮なので条件が満たされているためです。

細かくすると計算量は増えます。値が変わらないなら、粗いほうを選ぶのが得です。

粗すぎると失敗します。次の節で反例を見ます。

極限をとる

被覆に依存しない定義もあります^[1]。

被覆の細分について極限をとり、${\check{H}}^p(X,\mathcal{F})$ と書きます。細かくしていった先の値です。

$p=0,1$ では、これが層コホモロジーと一致します。どんな位相空間でも成り立ちます^[1]。

$p\ge 2$ では一般に一致しません。$X$ がパラコンパクトなハウスドルフ空間なら、すべての次数で一致します^[1]。

ネーターかつ分離的なスキームの上の準連接層についても、ザリスキ位相で一致することが知られています^[1]。

例: 射影直線の構造層

代数幾何での計算例です。${\mathbb{P}}^1$ を 2 枚のアフィン開集合で覆います^[5]。

$\mathcal{O}(U_0)=\mathbb{C}[t]$、$\mathcal{O}(U_1)=\mathbb{C}[t^{-1}]$、交わりは $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ です。

差分写像は $\delta (f,g)=g-f$ になります。核は $\mathbb{C}[t]\cap \mathbb{C}[t^{-1}]$ で、定数だけです。

像は $\mathbb{C}[t]+\mathbb{C}[t^{-1}]$ で、これは $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ の全体になります。次数が正の項と負の項を合わせれば、任意のローラン多項式が書けるためです。

$$H^0({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O})=\mathbb{C},H^1({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O})=0$$

大域正則関数が定数しかないこと、$1$ 次が消えることが、線形代数だけで出ました。

粗い被覆の落とし穴

被覆を 1 枚にすると何が起きるかを見ます。

$\mathcal{U}=\{X\}$ とすると、交わりがないので $p\ge 1$ で $C^p=0$ です。

したがって ${\check{H}}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=0$ が、層に関係なく出てしまいます。

$X={\mathbb{P}}^1$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}(-2)$ とすると、本当の $H^1$ は $1$ 次元です。1 枚被覆ではとり逃がします。

粗い被覆では、交わりに隠れた障害が見えません。何枚あれば足りるかを決める条件が要ります。

ルレイの条件

固定した被覆のまま一致させる条件があります^[3]。

すべての交わり $U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p}$ の上で $\mathcal{F}$ の高次コホモロジーが消えるとき、被覆は非輪状であるといいます。

このとき $H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong H^p(X,\mathcal{F})$ が成り立ちます。極限をとらずに済む。

アフィンスキームの上では準連接層の高次コホモロジーが消えるので、アフィン開被覆が条件をみたします^[4]。

${\mathbb{P}}^1$ を 2 枚のアフィンで覆ったのは、この条件を満たすためでした。円周で弧を使ったのも、弧が可縮だからです。

練習

被覆が条件をみたすかを先に確かめる。計算より前の手順です。

よくある誤り

まとめます。

被覆を選び、条件を確かめ、線形代数を回す。この 3 手が計算の全体です。

参考文献