層とはなにか？局所を貼って大域を作るための約束ごと

層は、局所的なデータを貼り合わせて大域的なデータにするための約束ごとです。

開集合ごとにデータを置き、小さい開集合へ制限できるようにする。ここまでが前層です。

そこに 2 つの条件を足すと層になります。重なりで一致する局所データが、ただ 1 つの大域データに貼り合わさる、という条件です。

以下では前層から始め、層でない例を 3 つ作ります。茎・層化・構造層まで進み、大域切断がどこで足りなくなるかを見る。

前層

位相空間 $X$ の上の前層 $\mathcal{F}$ とは、次の 2 つの組です^[1]。

各開集合 $U$ に集合 $\mathcal{F}(U)$ を対応させ、包含 $V\subseteq U$ ごとに制限写像を与えます。

$${\rho }_{UV}:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)$$

条件は 2 つです。${\rho }_{UU}$ が恒等写像であること、$W\subseteq V\subseteq U$ に対して ${\rho }_{VW}\circ {\rho }_{UV}={\rho }_{UW}$ が成り立つこと。

値は集合でも群でも環でもよく、その場合は制限写像も準同型にします。代数幾何では環や加群を使います。

$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ の上の切断といい、$s{|}_V$ という記法で制限を書きます。

2 つの公理

前層に次を足すと層になります^[1]。

一意性は「局所的に同じなら同じ」、貼り合わせは「局所的に作れるなら作れる」と読めます。

2 つを合わせると、$\mathcal{F}(U)$ が局所データから完全に決まります。大域を局所から復元できる、ということです。

関数の集まりはたいていこの条件をみたします。関数であることが局所的な性質だからです。

貼り合わせを絵にする

公理の中身を描いておきます。

上の 2 本が局所切断で、薄い四角が重なりです。そこで値が一致していれば、下の 1 本にまとまります。

一意性の公理は、まとまり方が 1 通りしかないと言っています。2 通りできてしまうと、大域データが決まりません。

例: 連続関数の層

いちばん素直な例です。$\mathcal{C}(U)$ を $U$ 上の連続関数の全体とします。

制限は関数の制限です。前層の条件は明らかに成り立ちます。

一意性も成り立ちます。すべての $U_i$ で一致する関数は、点ごとに一致するためです。

貼り合わせも成り立ちます。連続性が局所的な性質なので、各 $U_i$ で連続なら $U$ 全体で連続です。

したがって $\mathcal{C}$ は層です。同じ議論が滑らかな関数や正則関数にも通ります。

例: 層にならない前層

条件が破れる例を 3 つ作ります。

いずれも「局所的でない条件」を課したせいで壊れています。有界性も定数であることも、局所的な性質ではありません。

局所的に確かめられる条件だけを課すと、自然に層になります。連続性や正則性がその例です。

茎と芽

点のまわりの情報だけをとり出す道具が茎です^[1]。

$${\mathcal{F}}_x=\underset{U\ni x}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{F}(U)$$

$x$ を含む開集合の上の切断を集め、$x$ の近くで一致するものを同一視します。この類を芽といいます。

芽は「点の近くでの姿」です。どんな近傍でとったかは忘れます。

連続関数の層なら、${\mathcal{C}}_x$ は $x$ の近くで定義された連続関数の芽の全体です。

構造層なら茎が局所環になります。$\mathrm{Spec}A$ の点 $\mathfrak{p}$ での茎は $A_{\mathfrak{p}}$ です^[3]。

局所から大域を作る

貼り合わせのようすを動かします。

3 本の局所切断が、重なりの上で同じ値をとっています。だから 1 本につながります。

つながる先が 1 通りしかない、というのが一意性の公理です。図では上下にずらしてある 3 本が、ぴったり重なる位置へ落ちます。

重なりで値が違えば、貼り合わせられません。その場合は大域切断が作れず、障害として残ります。

層化

前層を層に直す操作があります^[1]。

前層 $\mathcal{F}$ に対して、普遍性をもつ層 ${\mathcal{F}}^{+}$ が 1 つ決まります。$\mathcal{F}$ から層への射が、すべて ${\mathcal{F}}^{+}$ を経由する形です。

作り方の 1 つは、茎を集めて局所的に切断らしいものを集める方法です。芽の族のうち、局所的に切断から来るものを切断とします。

定数前層を層化すると、局所定数関数の層になります。成分ごとに値を選べるようになる。

茎は変わりません。層化しても、点のまわりの情報は同じです。

構造層

代数幾何でいちばん使う層が構造層です^[4]。

$X=\mathrm{Spec}A$ に対して、基本開集合 $D(f)$ の上の切断を $A_f$ と定めます。茎は $A_{\mathfrak{p}}$ です^[5]。

大域切断は $A$ そのものに戻ります。環から空間を作り、その上の層としてもとの環を復元している形です。

スキームは、局所的にこの形をした局所環付き空間として定義されます^[2]。層があって初めて、貼り合わせが意味をもちます。

位相空間だけでは足りません。同じ位相空間に別の構造層が乗ることがあります。

射は茎で判定できる

層の射 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ とは、各開集合ごとの写像で制限と両立するものです。

$\phi$ が同型であることと、すべての点で茎の写像 ${\phi }_x$ が同型であることが同値になります^[1]。

局所で確かめれば大域が決まる、という層らしい性質です。証明には貼り合わせの公理を使います。

全射性には注意が要ります。茎で全射でも、開集合ごとの写像が全射とは限りません。

この食い違いが、大域切断が足りなくなる原因になります。

大域切断は足りないことがある

層の射が茎で全射でも、大域切断で全射になるとは限りません。

局所的に持ち上げられても、貼り合わせで失敗することがあるためです。重なりの上でずれが残ります。

このずれを測る道具が層コホモロジーです。$H^0$ が大域切断そのもので、$H^1$ 以上が貼り合わせの障害を表します。

層の言葉を用意しておくと、この障害を群として扱えます。局所と大域の差が、計算できる対象になります。

練習

局所的に確かめられる条件かどうか。そこを見れば層になるかが分かります。

よくある誤り

まとめます。

局所で確かめられるか、という問いを最初に立てると、判定がほとんど終わります。

参考文献