代数的閉体（algebraically closed field）とは、すべての非定数多項式が根を持つような体のこと。つまり、体 上の任意の 1 次以上の多項式 が の中に少なくとも 1 つの根を持つとき、 を代数的閉体と呼びます。
代数的閉体の最も身近な例は複素数体 。代数学の基本定理により、複素数係数の任意の多項式は複素数の範囲で必ず根を持ちます。一方、実数体 は代数的閉体ではありません。たとえば という方程式は実数解を持たないからです。
代数学の基本定理
複素数体 は代数的閉体である。つまり、複素数係数の任意の非定数多項式は複素数の範囲で少なくとも 1 つの根を持つ。
有理数体の場合
有理数体 は代数的閉体ではない。たとえば は有理数解を持たない。
代数的閉体には重要な性質があります。体 が代数的閉体であれば、 上の任意の 次多項式は の元を根とする 1 次式の積に完全に因数分解できます。これは多項式の構造を理解する上で非常に便利な性質です。
代数閉包
任意の体 に対して、 を含む最小の代数的閉体が存在し、これを の代数閉包と呼びます。代数閉包は や などと表記されます。たとえば、有理数体 の代数閉包 は、有理数係数の多項式の根をすべて含む体です。これを代数的数体と呼びます。
代数閉包は同型を除いて一意に定まります。つまり、ある体の代数閉包は構成方法によらず本質的に同じ構造を持ちます。
体 を取る
を含む最小の代数的閉体を作る
それが の代数閉包 になる
代数的閉体の概念は代数幾何学やガロア理論などで中心的な役割を果たします。たとえば、ガロア理論では体の拡大と群の対応を調べますが、代数閉包は拡大理論の究極的な到達点として機能します。
