可換環の次元（クルル次元）

可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応する幾何空間（アフィンスキーム）の次元を測るために用いられます。

素イデアルと鎖

可換環 $A$ において、素イデアルの列

$${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$$

を考えます。このような「真に増大する」素イデアルの鎖の長さを $n$ と呼びます。

クルル次元の定義

可換環 $A$ のクルル次元（Krull dimension）とは、すべての素イデアルの鎖のうち、最も長いものの長さです。

$$\dim A=\sup \{n\mid {\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n\text{ が素イデアルの鎖}\}$$

つまり、クルル次元は「どれだけ深く素イデアルが入れ子になれるか」を表します。

例

整数環 $\mathbb{Z}$ のクルル次元は 1。なぜなら $(0)⊊(p)$ のように、素数イデアル $(p)$ を使って長さ 1 の鎖が作れるが、それ以上は存在しないから。

多項式環 $k[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ のクルル次元は $n$。幾何的には $n$ 次元のアフィンスペースに対応する。体 $k$ のクルル次元は 0。唯一の素イデアル $(0)$ しかないため。

局所環の次元

環 $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ における局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の次元は、$\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルの鎖の長さで定義されます。この次元は「$\mathfrak{p}$ の局所的な幾何的次元」を表します。

$$\dim A_{\mathfrak{p}}=\text{高さ}(\mathfrak{p})$$

ここで「高さ (height)」とは、$(0)$ から $\mathfrak{p}$ に至る最長の素イデアルの鎖の長さを指します。

幾何的な対応

代数幾何学では、可換環 $A$ のスペクトル $\mathrm{Spec}(A)$ を考えます。$\mathrm{Spec}(A)$ の次元は、まさに $\dim A$ と一致します。可換環のクルル次元は、対応する幾何空間（アフィンスキーム）の「幾何学的次元」に相当します。

$$\dim \mathrm{Spec}(A)=\dim A$$