可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応する幾何空間（アフィンスキーム）の次元を測るために用いられます。
素イデアルと鎖
可換環 において、素イデアルの列
を考えます。このような「真に増大する」素イデアルの鎖の長さを と呼びます。
クルル次元の定義
可換環 のクルル次元（Krull dimension）とは、すべての素イデアルの鎖のうち、最も長いものの長さです。
つまり、クルル次元は「どれだけ深く素イデアルが入れ子になれるか」を表します。
例
整数環 のクルル次元は 1。なぜなら のように、素数イデアル を使って長さ 1 の鎖が作れるが、それ以上は存在しないから。
多項式環 のクルル次元は 。幾何的には 次元のアフィンスペースに対応する。体 のクルル次元は 0。唯一の素イデアル しかないため。
局所環の次元
環 の素イデアル における局所環 の次元は、 に含まれる素イデアルの鎖の長さで定義されます。この次元は「 の局所的な幾何的次元」を表します。
ここで「高さ (height)」とは、 から に至る最長の素イデアルの鎖の長さを指します。
幾何的な対応
代数幾何学では、可換環 のスペクトル を考えます。 の次元は、まさに と一致します。可換環のクルル次元は、対応する幾何空間（アフィンスキーム）の「幾何学的次元」に相当します。
