クルル次元は素イデアルの鎖の長さで決まる

可換環 $A$ のクルル次元とは、素イデアルの鎖がどこまで長くなれるかを測った数です^[1,4]。

$${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$$

この形の鎖の長さは $n$、つまり真の包含の本数で数えます。素イデアルの個数ではありません^[1]。

長さの上限をとったものが $\dim A$ です。上限なので、有限の値になるとは限らない。

数えるのは矢印の本数

素イデアルを $3$ 個並べた鎖の長さは $2$ です。個数から $1$ を引く、と覚えても同じことになる。

この $1$ のずれが効く。体には素イデアルが $(0)$ ひとつだけあり、鎖は $1$ 個で終わるので長さは $0$。

玉が $1$ 個増えるたびに線が $1$ 本増える。だから体の次元は $0$、$\mathbb{Z}$ は $1$ になります。

例: 体の次元は 0

体 $k$ の素イデアルは $(0)$ だけです。真のイデアルが $(0)$ しかないので、鎖はそこで打ち止め。

長さ $0$ の鎖しか作れないので $\dim k=0$ になる^[1]。$1$ 点だけの空間、という幾何の像と合います。

例: 整数環の次元は 1

$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ と $p\mathbb{Z}$ です。鎖は $(0)⊊p\mathbb{Z}$ の $1$ 段だけ伸びる。

$p\mathbb{Z}$ の上には $\mathbb{Z}$ しかなく、$\mathbb{Z}$ は素イデアルに数えません。したがって $\dim \mathbb{Z}=1$ です^[1]。

体でない単項イデアル整域なら、どれも同じ理由で $1$ 次元になる^[1]。$k[x]$ もここに入る。

例: 多項式環は変数の本数

体 $k$ 上の $k[x_1,\dots ,x_n]$ の次元は $n$ です^[1,3]。変数を $1$ 本足すごとに、鎖が $1$ 段長くなる。

$2$ 変数なら、次の鎖が長さ $2$ を実現します。

$$(0)⊊(x)⊊(x,y)$$

平面、直線、点という $3$ 段の図形に対応する。図形の次元が $2,1,0$ と落ちていくので、鎖の段数と一致する。

次元 0 の環

すべての素イデアルが極大になる環は、クルル次元が $0$ です^[5]。鎖が $1$ 段も伸びる余地がないため。

体はその最小の例。$(0)$ が素であると同時に極大でもあります。

アルティン環もここに入ります^[1]。$k[x]/(x^n)$ の素イデアルは $(x)$ の像だけで、それが極大になる。

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ も $0$ 次元です。素イデアルは $(2)$ と $(3)$ の $2$ つで、どちらも上に何も持ちません。

高さ

素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さとは、$\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルだけで作った鎖の長さの上限です^[1,4]。

$$\mathrm{ht}(\mathfrak{p})=\dim A_{\mathfrak{p}}$$

局所化の次元として言いかえられます^[4]。$\mathfrak{p}$ より上を切り捨てて、下だけを見る操作にあたる。

環の次元は、素イデアルの高さの上限として書き直せます^[1,4]。極大イデアルだけ見れば足りる。

$$\dim A=\underset{\mathfrak{m}}{\sup }\mathrm{ht}(\mathfrak{m})$$

鎖はどれも極大イデアルまで伸ばせるので、途中で止まった鎖を数える必要がありません。

クルルの標高定理

ネーター環で、$\mathfrak{p}$ が $n$ 個の元で生成されるイデアルの極小素イデアルなら、$\mathrm{ht}(\mathfrak{p})\le n$ が成り立ちます^[1,4]。

生成元の本数が高さを抑える、という形の定理です。$n=1$ の場合が単項イデアル定理で、$1$ 個の元で切ると高さは $0$ か $1$ にしかならない^[4]。

幾何で言えば「$1$ 本の方程式を課すと次元が $1$ しか落ちない」に当たる。$2$ 本課しても $2$ より多くは落ちない。

逆向きも成り立ちます。高さ $n$ の素イデアルは、$n$ 個の元が生成するイデアルの極小素として実現できる^[1]。

割ると次元は増えない

イデアルで割っても次元は上がりません。$\dim A/I\le \dim A$ が成り立つ。$A/I$ の素イデアルは $I$ を含む素イデアルに対応するので、鎖の候補が減るだけです。

局所化でも同じ。$\dim A_{\mathfrak{p}}=\mathrm{ht}(\mathfrak{p})$ なので、$\dim A$ を超えません。

ネーター局所環で $x\in \mathfrak{m}$ をとると、次の不等式が立ちます^[4]。

$$\dim A\le \dim A/xA+1$$

$x$ が極小素イデアルのどれにも入っていなければ等号になる^[4]。$1$ 本の方程式で切って次元がちょうど $1$ 落ちる状況が、この等号にあたります。

超曲面は 1 つ落ちる

$n$ 次元のアフィン空間の中で、$1$ つの方程式 $f=0$ が定める図形は $n-1$ 次元です^[3]。

環の言葉では $\dim k[x_1,\dots ,x_n]/(f)=n-1$ となる。標高定理が保証する落ち方の、いちばん素直な形です。

球面 $x^2+y^2+z^2=1$ なら $3-1=2$ 次元。曲面としての次元と一致する。

有限生成代数の次元は超越次数

体 $K$ 上の整な代数多様体では、次元が有理関数体の超越次数に一致する^[3]。

$k[x_1,\dots ,x_n]$ の分数体は $k(x_1,\dots ,x_n)$ で、$k$ 上の超越次数が $n$。次元 $n$ と合っています。

代数的な独立変数が何本とれるか、という数え方に翻訳できる。幾何の「自由に動ける方向の本数」と同じ発想になる。

局所環は有限、環全体は無限もある

ネーター局所環の次元は必ず有限です^[1]。極大イデアルが一つなので、鎖の伸びる先が限られる。

ネーター環全体では有限とは限りません。永田がクルル次元の無限なネーター環を作っています^[1]。

作り方は、高さがいくらでも大きい極大イデアルを無限に並べるというもの。各点では有限なのに、全体の上限が発散する。

「昇鎖が止まる」という条件は、鎖の長さに一様な上限を与えません。ここが直感からずれるところ。

変数を 1 本足すと 1 増える

ネーター環 $R$ について、次が成り立ちます^[1,2]。

$$\dim R[x]=\dim R+1$$

$\mathbb{Z}[x]$ の次元が $2$ になるのは、この公式からです。$\mathbb{Z}$ が $1$ 次元なので $1+1$。

ネーター性を落とすと崩れる。$\dim R=n$ のとき $\dim R[x]$ は $n+1$ から $2n+1$ のあいだのどこかにしか定まりません^[1]。

形式的冪級数環でも同じ形が成り立つ^[2]。$\dim R[[x]]=\dim R+1$ です。

幾何との対応

$\mathrm{Spec}(A)$ の閉集合のうち既約なものを並べた鎖の長さでも、同じ次元が測れます^[2,3]。

素イデアルと既約閉集合が対応するので、鎖もそのまま対応する。包含の向きは逆になる。

イデアルが太るほど図形はやせるので、素イデアルの鎖を上へたどることと、図形を小さくしていくことが同じ操作。$\dim \mathrm{Spec}(A)=\dim A$ が成り立ちます。

位相空間に当てると 0 になる

同じ定義を位相空間へ持っていくと、思わぬ結果が出る。ハウスドルフ空間のクルル次元は $0$ です^[2]。

既約な閉集合が $1$ 点だけになるためです。${\mathbb{R}}^n$ に通常の位相を入れると、次元は $n$ ではなく $0$ になる^[3]。

ザリスキ位相でないと意味をなさない、という点が見えます。閉集合が少ない位相だからこそ、既約なものが大きく育つ。

よくある誤り

参考文献