極大イデアルがただ一つ - 局所環の性質

極大イデアルをちょうど一つだけ持つ環を局所環と呼びます^[1,2,3]。

一点の近くだけを見ている環、という気分の名前です。クルルが $1938$ 年に Stellenringe という名で導入しました^[2]。

条件の書き方はいくつもあります^[1,3]。どれも同じ環を指しますが、使う場面がそれぞれ違う。

三通りの言いかえ

$1\ne 0$ の環 $R$ について、次は同値です^[1,2,3]。

$2$ 番目から $3$ 番目が出る筋は短い。$a$ と $1-a$ が両方とも単元でないと、和の $1$ も単元でなくなってしまいます。

内側の橙が単元でない元の全体で、これがそのまま唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}$ になります。外側の青が単元。

真のイデアルは単元を含めません。だから $\mathfrak{m}$ に入らないイデアルは作れず、$\mathfrak{m}$ がすべての真のイデアルを飲み込む。

剰余体

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ に対して、$R/\mathfrak{m}$ を剰余体と呼ぶ^[1,2,3]。極大イデアルで割った先なので、これは体になります。

可換でない場合には斜体が出る^[2]。ジャコブソン根基で割った先が剰余体にあたります^[2]。

剰余体は「その点での値」を測る道具になる。関数の芽の環なら、剰余体への写像がちょうど点での値を返す。

局所準同型

局所環どうしの準同型では、極大イデアルの行き先を条件にします^[1]。

$f:(R,\mathfrak{m})\to (S,\mathfrak{n})$ が $f(\mathfrak{m})\subseteq \mathfrak{n}$ を満たすとき、局所準同型と呼ぶ^[1]。

条件を付けないと不都合が出ます。${\mathbb{Z}}_{(p)}\to \mathbb{Q}$ のような写像は、極大イデアルを $0$ へ潰してしまう。

局所準同型に限れば、剰余体のあいだの写像が自然に定まる。点と点の対応が保たれる、という気分になります。

例: 体

体は極大イデアルが $(0)$ ひとつだけなので局所環です^[1,2]。単元でない元は $0$ だけ。

いちばん退屈な例ですが、剰余体が自分自身になるという性質は使い道があります。

例: 形式的冪級数環

体 $k$ 上の $k[[x]]$ は局所環です^[1,2]。定数項が $0$ でない冪級数が単元になる。

逆数は等比級数で書ける。$1-x$ の逆数が $1+x+x^2+\cdots$ になる、という形です。

定数項が $0$ の冪級数の全体が、唯一の極大イデアル $(x)$ です。次元は $1$ で、離散付値環にもなる。

例: 素イデアルでの局所化

可換環 $R$ と素イデアル $\mathfrak{p}$ に対して、$R\setminus \mathfrak{p}$ を分母にとった $R_{\mathfrak{p}}$ は局所環です^[1,2,3]。

極大イデアルは $\mathfrak{p}$ の像が生成する^[3]。$\mathfrak{p}$ の外の元を全部単元にしたので、残る非単元が $\mathfrak{p}$ 由来のものだけになる。

${\mathbb{Z}}_{(2)}$ が例です^[1,2]。分母が奇数の有理数を全部集めた環で、極大イデアルは $2{\mathbb{Z}}_{(2)}$ になる。

局所環を作る操作としては、これがいちばん基本的な形です。素イデアルを一点に選び、その周りだけを見る。

例: p 進整数と剰余環

$p$ 進整数環も局所環です^[1]。極大イデアルは $p$ が生成する。

$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ も局所環になる^[2,3]。単元でない元は $p$ の倍数で、それらが極大イデアルをなす。

$k[X]/(X^n)$ も同じ形です^[2]。次元は $0$ で、極大イデアルの $n$ 乗が消える。

例: 関数の芽

$0$ の近くで定義された連続関数を、$0$ のまわりで一致するものどうし同一視した集まりを考えます^[1,2]。

これは局所環になる^[1]。ある芽が単元であることと、その点での値が $0$ でないことが同値になる。

正則関数の芽でも同じ^[3]。代数多様体の点における局所環も、この発想を代数の側で実現したものです^[2]。

「点の近く」という言葉が、環の言葉にそのまま乗る。

反例: 整数環と多項式環

$\mathbb{Z}$ は局所環ではありません^[1,2]。極大イデアルが素数ごとにあり、無限個ある。

$K[x]$ も局所環になりません^[1]。既約多項式ごとに極大イデアルが立つ。

どちらも局所化すれば局所環になります。もとの環が局所でないことと、各点で見れば局所になることは両立する。

半局所環

極大イデアルが有限個の環を半局所環と呼ぶ^[1]。局所環をゆるめた概念。

アルティン環はこの形に入ります。有限個の極大イデアルを持ち、局所環の直積に分解する。

中山の補題

局所環でいちばんよく使う道具が中山の補題です^[1]。

有限生成 $R$ 加群 $M$ について $\mathfrak{m}M=M$ が成り立てば、$M=0$ が従う。「少し縮めて元に戻るなら、もともと何もなかった」という主張です。

系として、生成元の本数が測れるようになる。$M/\mathfrak{m}M$ の剰余体上の次元が、最小生成系の本数を与える。

有限生成という仮定は外せません。無限生成の加群では成り立たない例が作れる。

クルルの交叉定理

ネーター局所環では、極大イデアルの冪の共通部分が $0$ になります^[1]。

$$\bigcap _{n\ge 1}{\mathfrak{m}}^n=0$$

無限に小さい元がない、という主張です。$0$ でない元は、どこかの段階で ${\mathfrak{m}}^n$ から外れる。

この性質があるので、$\mathfrak{m}$ の冪を使って距離を測れる。冪の指数が大きいほど $0$ に近い、と決めればよい。

完備化

$\mathfrak{m}$ 進位相についての完備化 $\hat{R}$ は、射影極限として作ります。

$$\hat{R}=\underleftarrow{\lim }R/{\mathfrak{m}}^n$$

各段で ${\mathfrak{m}}^n$ を無視した近似を並べ、それらが整合する列を集めた環です。

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ を完備化すると $p$ 進整数環が出る。多項式環を原点で局所化して完備化すれば、形式的冪級数環になる。

完備化しても次元も剰余体も変わりません。扱いにくい部分だけを整えて、幾何の情報は保つ操作になる。

ヘンゼルの補題

完備な局所環では、方程式の解を段階的に持ち上げられます^[4]。

多項式 $h$ が $\mathfrak{m}$ を法として単純根 $r$ を持てば、$r$ は各 ${\mathfrak{m}}^n$ を法とする単純根へ一意に持ち上がる^[4]。

手順はニュートン法とそっくりです^[4]。

$$r_{k+1}=r_k-\frac{f(r_k)}{f^{\prime }(r_k)}$$

$f^{\prime }(r_k)$ が単元であることが、割り算を可能にしている。単純根という条件がここで効く。

$p$ 進整数環では、$p$ を法とする平方剰余が一意に平方根へ持ち上がります^[4]。$k[[X]]$ も同じ性質を持つ^[4]。

この性質を満たす局所環をヘンゼル環と呼びます^[4]。完備でなくても成り立つ場合がある。

幾何での意味

代数多様体の点をとり、その点で消えない関数を分母に許すと局所環が出ます^[2]。点のまわりだけを見る操作にあたる。

極大イデアルは、その点で消える関数の全体です。剰余体はその点での値の体になります。

環の性質が点の性質になる、という対応がここで立つ。特異点かどうかも、局所環の性質として書けるようになります。

よくある誤り

参考文献