ホモトピーとは

ホモトピーは、2つの連続写像が「連続的に変形可能」であることを表す位相空間論の概念です。直感的には、ある写像を途切れさせることなく別の写像へと変形できるとき、それらは互いにホモトピックであるといいます。

ホモトピーの定義

位相空間 $X,Y$ と連続写像 $f,g:X\to Y$ について、連続写像 $H:X\times [0,1]\to Y$ が存在して

$$H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)$$

を満たすとき、$f$ と $g$ はホモトピックであるといい、$f\simeq g$ と書きます。このとき $H$ を $f$ から $g$ へのホモトピーと呼びます。

パラメータ $t\in [0,1]$ は「変形の時刻」を表し、$H(x,t)$ は時刻 $t$ における $x$ の像を与えます。$t=0$ では元の写像 $f$、$t=1$ では目標の写像 $g$ になります。

簡単な例

円周上の恒等写像と定値写像

円周 $S^1$ 上の恒等写像 $\text{id}:S^1\to S^1$ と、すべての点を1点に送る定値写像 $c:S^1\to S^1$ を考えます。これらはホモトピックではありません。なぜなら、円周を連続的に1点につぶすことはできないからです。

平面上の2つの道

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上で、点 $A$ から点 $B$ へ至る2つの道（連続曲線）${\gamma }_1,{\gamma }_2:[0,1]\to {\mathbb{R}}^2$ を考えます。障害物がなければ、一方の道を連続的に変形してもう一方の道に移すことができます。したがってこれらはホモトピックです。

具体的に、${\gamma }_1$ と ${\gamma }_2$ がホモトピックであることを示すホモトピー $H$ は次のように定義できます。

$$H(s,t)=(1-t){\gamma }_1(s)+t{\gamma }_2(s)$$

これは ${\gamma }_1$ と ${\gamma }_2$ を直線的に補間する写像で、$t=0$ のとき ${\gamma }_1$、$t=1$ のとき ${\gamma }_2$ になります。

ホモトピー同値

2つの位相空間 $X,Y$ と連続写像 $f:X\to Y$、$g:Y\to X$ について

$$g\circ f\simeq {\text{id}}_X,f\circ g\simeq {\text{id}}_Y$$

が成り立つとき、$X$ と $Y$ はホモトピー同値であるといいます。ホモトピー同値な空間は位相的には異なっていても、ホモトピー論の観点からは「本質的に同じ」とみなされます。

たとえば、円盤 $D^2$ とその中心の1点 $\{p\}$ はホモトピー同値です。円盤全体を中心へ連続的に縮めることができるからです。