ホモトピー〜連続に変形できるかどうかだけで同じとみなす

コーヒーカップとドーナツが同じ、という言い方があります。持ち手の穴を残したまま、粘土をこねるように移せる。

移せるかどうかを、写像の言葉で書き直したものがホモトピーです^[1]。2 つの連続写像のあいだに、連続な中間の写像の族があるかどうかを問う。

以下では定義から始め、ホモトピー同値が同相より粗い関係であること、可縮という言葉の意味、変形レトラクトによる縮め方までを例で追います。

2 つの写像を連続につなぐ

位相空間 $X$、$Y$ と連続写像 $f,g:X\to Y$ をとります。

連続写像 $H:X\times [0,1]\to Y$ で

$$H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)$$

を満たすものがあるとき、$f$ と $g$ はホモトピックであるといいます^[1,2]。$H$ がホモトピー。

$t$ を時刻と読み、$h_t(x)=H(x,t)$ とおけば、$f$ から $g$ へ動く写像の族です。

連続性はどこに効くか

各 $t$ で $h_t$ が連続、というだけでは足りません。$H$ が $X\times [0,1]$ の上で連続であることを求めます。

$t$ の動きに対しても連続でなければならない、という条件です。途中で飛ぶ変形は認められない。

この差は具体例で見えます。各時刻では連続でも、時刻について不連続な族はいくらでも作れる。

ホモトピーは同値関係

$f\simeq f$ は $H(x,t)=f(x)$ でよい。対称性は $t$ を $1-t$ に置き換える。

推移性は 2 つのホモトピーを時間で継ぎます。前半で $[0,1/2]$、後半で $[1/2,1]$ を使う。

貼り合わせ補題から、継いだ写像も連続です^[2]。したがって同値関係になり、同値類をホモトピー類といいます。

合成とも両立する

$f_1\simeq g_1:X\to Y$ と $f_2\simeq g_2:Y\to Z$ なら、$f_2\circ f_1\simeq g_2\circ g_1$ です^[1]。

したがってホモトピー類のあいだに合成が定まります。空間を対象、ホモトピー類を射とする圏ができる。

これがホモトピー圏です。同型になることと、ホモトピー同値であることが一致します。

例：凸集合の中では何でもつながる

$C\subset {\mathbb{R}}^n$ を凸集合とし、$f,g:X\to C$ を任意の連続写像とします。

$$H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$$

とおけば、値は凸性から $C$ に入ります^[1]。直線ホモトピーと呼ばれる作り方。

凸なら、どの 2 つの写像もホモトピック。ホモトピー類が 1 つしかありません。

直線ホモトピーが動く様子

2 つの道を直線でつなぐ変形を描きます。

端点を固定したまま、道が連続に移り変わります。平面には穴がないので、どの 2 本も移り合う。

穴を 1 つ空ければ、穴の両側を通る道は移り合わなくなります。この違いが基本群を作る。

零ホモトピック

定数写像にホモトピックな写像を、零ホモトピックといいます^[1]。

$S^1\to X$ が零ホモトピックであることと、$D^2\to X$ へ連続に延ばせることが同値です。ループが円板で塞げるかどうか。

穴のない空間では、どのループも塞げます。穴があると塞げないループが残る。

例：円周への恒等写像

$\mathrm{id}:S^1\to S^1$ は零ホモトピックではありません。塞ごうとすると $D^2\to S^1$ が要り、そんな写像は存在しない。

いっぽう $S^1\to {\mathbb{R}}^2$ への包含は零ホモトピックです。平面には穴がないため^[4]。

同じ円周でも、行き先の空間で答えが変わります。ホモトピーは写像についての性質で、図形だけでは決まらない。

ホモトピー同値

$f:X\to Y$ と $g:Y\to X$ があって

$$g\circ f\simeq {\mathrm{id}}_X,f\circ g\simeq {\mathrm{id}}_Y$$

が成り立つとき、$X$ と $Y$ はホモトピー同値であるといいます^[1,2]。同じホモトピー型を持つ、ともいう。

同相なら、合成が恒等写像に等しくなります。ホモトピックであればよい、と緩めたのがホモトピー同値。

同相よりも粗い

同相なら必ずホモトピー同値です。逆は成り立ちません^[1]。

円板と 1 点はホモトピー同値ですが、同相ではありません。片方は無限個の点を持ち、もう片方は 1 点。

粗いぶん、判定しやすくなります。位相不変量の多くは、じつはホモトピー不変量。

レトラクトと変形レトラクト

$A\subset X$ に対し、連続写像 $r:X\to A$ で $A$ の上では恒等写像になるものをレトラクションといいます^[3]。

さらに $\iota \circ r\simeq {\mathrm{id}}_X$ が成り立つとき、$A$ を変形レトラクトといいます。$X$ 全体を $A$ へ連続に縮める。

縮めるあいだ $A$ の点が動かない、という条件まで課したものが強変形レトラクトです。

例：円環を円周へ縮める

$A=\{1\le |x|\le 2\}$ を平面の円環とし、$S^1$ を内側の境界とします。

$H(x,t)=((1-t)+t/|x|)x$ とおけば、$t=1$ で $|x|=1$ に落ちます。半径方向に押し込む形。

したがって円環は円周へ強変形レトラクトします。ホモトピー同値なので、基本群も一致する。

例：穴あき平面

${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ も同じ式で $S^1$ へ縮みます^[3]。

一般に ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}$ は $S^n$ へ強変形レトラクトします。原点だけを抜くと、球面の情報が残る。

$n$ 次元球面の性質を調べれば、穴あき空間の性質も分かります。

例：メビウスの帯

メビウスの帯は中心の円周へ変形レトラクトします。幅を $0$ へ縮める形。

したがって円環ともホモトピー同値です。両方とも $S^1$ と同じホモトピー型。

いっぽう同相ではありません。境界が円環では 2 本、メビウスの帯では 1 本。ホモトピー同値では拾えない差。

縮んでいく様子

穴あき平面が円周へ落ちる過程を描きます。

外側の円がすべて内側の 1 本へ寄っていきます。赤い円周だけは最初から最後まで動かない。

原点を抜いていなければ、全体が 1 点へ落ちます。抜いた 1 点が、縮み方を止めている。

同じホモトピー型のものを並べる

円周と同じホモトピー型を持つ空間は、見た目がかなり違います。

3 つとも境界の様子も次元も違います。ホモトピー型だけが一致する。

基本群はどれも $\mathbb{Z}$ です。この不変量では 3 つを区別できません。

例：ホモトピー同値でも変形レトラクトとは限らない

$A$ が $X$ の変形レトラクトなら、両者はホモトピー同値です。逆は必ずしも成り立ちません^[3]。

そもそも $A$ が $X$ の部分空間でない場合は、レトラクトという言い方が使えません。円板と 1 点でも、点を円板の中にとれば変形レトラクト。

一般には、2 つの空間がホモトピー同値であることと、両方がある 1 つの大きな空間の変形レトラクトになることが同値です^[3]。

例：錐は必ず可縮

空間 $X$ に対し、$CX=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$ を錐といいます。底面を 1 点に潰した形。

$H([x,s],t)=[x,(1-t)s]$ とおけば、頂点へ縮みます^[4]。$X$ が何であっても可縮。

どんな空間も、可縮な空間の中に埋め込めることになります。埋め込んだ先の性質からは、元の空間の情報が出てこない。

可縮

1 点とホモトピー同値な空間を可縮といいます^[4]。恒等写像が零ホモトピックであること。

${\mathbb{R}}^n$、凸集合、星形集合はどれも可縮です。錐をとった空間も可縮になる。

可縮なら、ホモトピー群もホモロジー群も自明です。位相不変量の多くが何も見えなくなる。

ホモトピー群が自明でも可縮とは限らない

すべてのホモトピー群が自明でも、可縮でない空間があります^[4]。

ワルシャワ円周がその例です。局所的な性質が悪く、写像を作れない。

CW 複体に限れば、両者は一致します。この主張がホワイトヘッドの定理。

相対ホモトピー

部分空間 $K\subset X$ の上では動かさない、という条件を付けたものが相対ホモトピーです^[1]。

$H(k,t)=f(k)$ をすべての $k\in K$、$t$ で要求する。道のホモトピーでは、$K$ が両端点。

基本群を定義するときに使うのがこの形です。端点を固定しないと、どのループも 1 点に縮んでしまう。

何が保たれるか

ホモトピー同値な空間では、次が一致します。

いっぽう次元、コンパクト性、境界の本数は保たれません。円板と 1 点で次元が違うことが、そのまま反例になります。

ホモトピーで何が捨てられるか

同相を求めると、対応が細かすぎて判定が難しくなります。緩めることで、代数の道具が使えるようになる。

捨てているのは「太さ」の情報です。穴の個数やつながり方は残り、大きさや次元は落ちる。

何を残して何を落とすかを選ぶ、というのが位相不変量の設計です。ホモトピーはその最初の選び方^[5]。

使われる場面

代数の定理の証明に位相が使われる場面があります。

どれも、ホモトピー類が消えないことを使って矛盾を導く形をしています^[5]。

よくある誤り

参考文献