具体例とベン図で理解するド・モルガンの法則｜高校数学Ⅰ数と式（集合）

ド・モルガンの法則

$A,B$ を $U$ の部分集合とする。

$$\begin{gathered} (1)\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \\ (2)\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} \end{gathered}$$

この2つをド・モルガンの法則という。

$A$ が $U$ の部分集合であるとは $A$ に含まれるものがすべて $U$ にも含まれていること。

ド・モルガンの法則の例

$$\begin{gathered} U=\{1,2,3,4\} \\ A=\{1,2\} \\ B=\{1,3\} \end{gathered}$$

とする（ $A,B$ が $U$ の部分集合となっていることに注意。 $A$ に含まれるものがすべて $U$ にも含まれている）。

このとき

$$\{\begin{array}{l}A\cup B=\{1,2,3\}\\ \overline{A\cup B}=\{4\}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\overline{A}=\{3,4\}\\ \overline{B}=\{2,4\}\\ \overline{A}\cap \overline{B}=\{4\}\end{array}$$

$$\therefore \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$$

となり、公式の $(1)$ が成り立っていることがわかる。また

$$\{\begin{array}{l}A\cap B=\{1\}\\ \overline{A\cap B}=\{2,3,4\}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\overline{A}=\{3,4\}\\ \overline{B}=\{2,4\}\\ \overline{A}\cup \overline{B}=\{2,3,4\}\end{array}$$

$$\therefore \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$$

となり、公式の $(2)$ が成り立っていることがわかる。

ド・モルガンの法則とベン図

$$\begin{gathered} U=\{1,2,3,\cdots 14,15,16\} \\ A=\{1,2,3,6,7,8,11,12,13\} \\ B=\{7,8,9,10,12,13,14,15,17,18,,19,20\} \end{gathered}$$

とする。図で表すと

となる。

すると $A\cup B,\overline{A},\overline{B},\overline{A}\cap \overline{B}$ は以下のようになる。

$A\cup B$ と $\overline{A}\cap \overline{B}$ の図がちょうど反転している。

これは $A\cup B$ の否定、つまり $\overline{A\cup B}$ が $\overline{A}\cap \overline{B}$ に一致することを意味する。

2つの条件の否定（ド・モルガンの法則の応用）

ド・モルガンの法則の応用として2つの条件の否定に関する法則がある。

条件の否定の法則

$p,q$ を条件とする。

$$\begin{gathered} (1)\overline{p\vee q}=\overline{p}\wedge \overline{q} \\ (2)\overline{p\wedge q}=\overline{p}\vee \overline{q} \end{gathered}$$

※ $\vee$ ： 「または」、 $\wedge$ ： 「かつ」

例えば $p$ を $x$ は $0$ より大きく、$q$ を $x$ は $10$ より小さいとしよう。すると

$p\wedge q$　：　$x$ は $0$ より大きく、かつ $10$ より小さい

$\overline{p\wedge q}$　：　$x$ は $0$ 以下か、または $10$ 以上

$\overline{p}$　：　$x$ は $0$ 以下

$\overline{q}$　：　$x$ は $10$ 以上

$\overline{p}\vee \overline{q}$　：　$x$ は $0$ 以下か、または $10$ 以上

となり、法則の $(2)$ が成り立っていることがわかる。