実積分への応用（三角関数・有理関数の積分）

留数定理は複素積分の計算だけでなく、実数の定積分を求める強力な手法を与える。通常の微分積分学では困難な積分も、複素平面に持ち上げて経路積分として処理できる。

基本戦略

実積分を複素積分に帰着させる基本的な流れは次の通りだ。

うまく経路を選べば、求めたい実積分以外の部分が 0 になったり、実積分自体に帰着したりする。

有理関数の積分

${\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)dx$（$R$ は有理関数で、分母の次数が分子より 2 以上大きい）を考える。上半平面に半径 $r$ の半円を取り、$r\to \infty$ の極限を考える。

半円弧上での積分は $|R(z)|=O(1/|z{|}^2)$ から 0 に収束する。したがって

$${\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)dx=2\pi i\sum _{\mathrm{Im}{z}_k>0}\mathrm{Res}(R,z_k)$$

上半平面にある極の留数の総和で実積分が求まる。

例：${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}$

分母 $1+z^4=0$ の解は $z=e^{i\pi /4},e^{3i\pi /4},e^{5i\pi /4},e^{7i\pi /4}$。上半平面にあるのは $e^{i\pi /4}$ と $e^{3i\pi /4}$ の 2 つ。

$z_1=e^{i\pi /4}$ での留数は

$$\mathrm{Res}\left(\frac{1}{1+z^4},z_1\right)=\frac{1}{4z_1^3}=\frac{1}{4}{e}^{-3i\pi /4}$$

同様に $z_2=e^{3i\pi /4}$ での留数は $\frac{1}{4}{e}^{-9i\pi /4}=\frac{1}{4}{e}^{-i\pi /4}$。よって

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}=2\pi i\cdot \frac{1}{4}(e^{-3i\pi /4}+e^{-i\pi /4})=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$

三角関数を含む積分

${\int }_0^{2\pi }f(\cos \theta ,\sin \theta )d\theta$ 型の積分は、$z=e^{i\theta }$ と置換して単位円周上の積分に帰着させる。

$\cos \theta =(z+z^{-1})/2$, $\sin \theta =(z-z^{-1})/(2i)$, $d\theta =dz/(iz)$ を代入すると、被積分関数は $z$ の有理関数になる。

例：${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{2+\cos \theta }$

$z=e^{i\theta }$ と置くと

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{2+\cos \theta }={\oint }_{|z|=1}\frac{1}{2+(z+z^{-1})/2}\cdot \frac{dz}{iz}={\oint }_{|z|=1}\frac{2dz}{i(z^2+4z+1)}$$

$z^2+4z+1=0$ の解は $z=-2\pm \sqrt{3}$。単位円内にあるのは $z=-2+\sqrt{3}$ のみ。この点での留数は $1/(2\sqrt{3})$ なので

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{2+\cos \theta }=2\pi i\cdot \frac{2}{i}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$$

フーリエ型積分

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{iax}dx$（$a>0$）は、上半平面での半円経路と組み合わせる。ジョルダンの補題により、$|f(z)|\to 0$（$|z|\to \infty$, $\mathrm{Im}z>0$）ならば半円弧上の積分は 0 に収束する。

a < 0 のときは下半平面を使う。$e^{iaz}$ の減衰方向に応じて経路を選ぶのがポイントだ。