経路をどう選ぶか？留数定理で実積分を解くときの半円、鍵穴、長方形

実の積分を留数で解くとき、いちばん考えるのは経路の選び方です。

留数定理そのものは 1 行で書けます。難しいのは、求めたい実積分がその 1 行に乗るように、閉じた経路を用意するところ。

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _k\mathrm{Res}(f,a_k)$$

閉じた経路のうち、狙う部分が実積分になり、残りの部分が消えるか、既知の量になる^[2]。この形に持ち込めるかどうかで勝負が決まります。

被積分関数の形ごとに、使う経路がだいたい決まっています^[1]。まずは全体の並びから。

型 1：三角関数を単位円へ

$0$ から $2\pi$ までの三角関数の積分は、単位円の周積分に書き換えます。

$$z=e^{i\theta },\cos \theta =\frac{z+z^{-1}}{2},\sin \theta =\frac{z-z^{-1}}{2i},d\theta =\frac{dz}{iz}$$

有理式の三角関数なら、置き換えたあとも有理関数です。単位円の内側の極を拾うだけで終わる。

周期が $2\pi$ ちょうどであることが効いています。区間の端が同じ点へ戻るので、閉曲線になる。

例：分母に $\cos$ が入る積分

$a>|b|$ のとき、次の値が出ます。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$$

置き換えると分母が $b{z}^2+2az+b$ の 2 次式になります。根のうち単位円の内側にあるほうを拾う。

2 つの根の積は $1$ なので、片方が内側なら他方は外側です^[3]。$a>|b|$ が、根が円周に乗らない条件になっています。

型 2：有理関数を半円で閉じる

実軸全体の広義積分は、上半平面の半円で閉じます。直径が求めたい積分で、円弧が消えてほしい部分。

円弧の寄与は長さによる評価で押さえます。半径 $R$ の半円の長さは $\pi R$。

$$\left|{\int }_{\text{弧}}f\right|\le \pi R\underset{|z|=R}{\max }|f(z)|$$

$|f|$ が $R^{-m}$ の程度なら、積は $R^{1-m}$ です。$m\ge 2$ なら $0$ へ落ちる。

有理関数では、分母の次数が分子より $2$ 以上大きければ足ります。$1$ しか違わなければ別の議論が要る。

例：$1/(1+x^4)$

上半平面の極は $e^{i\pi /4}$ と $e^{3i\pi /4}$ です。どちらも 1 位。

商の公式から、極 $z_k$ での留数は $1/(4z_k^3)$。分母の $z^4=-1$ を使うと $-z_k/4$ に直せます。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}=2\pi i\left(-\frac{e^{i\pi /4}+e^{3i\pi /4}}{4}\right)=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$

次数の差が $4$ なので、円弧の寄与は $R^{-3}$ で消えます。条件は余裕を持って満たされている。

型 3：振動する因子とジョルダンの補題

$\cos ax$ や $\sin ax$ が掛かった積分では、まず $e^{iax}$ に直します。最後に実部か虚部をとる。

上半平面では $|e^{iaz}|=e^{-a\mathrm{Im}z}$ で、$a>0$ なら $1$ 以下です。虚部が大きいところで指数的に小さくなる。

この減衰のおかげで、次数の差が $1$ しかなくても円弧の寄与が消えます。

$$\left|{\int }_{\text{弧}}{e}^{iaz}g(z)dz\right|\le \frac{\pi }{a}\underset{|z|=R}{\max }|g(z)|$$

ジョルダンの補題と呼ばれる評価です^[5]。$|g|$ が $0$ へ行きさえすればよく、速さは問いません。

例：$\cos x/(1+x^2)$

$e^{iz}/(1+z^2)$ を上半平面の半円で積分します。極は $z=i$ だけ。

留数は $e^{i\cdot i}/(2i)=e^{-1}/(2i)$ です。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\mathrm{Re}\left(2\pi i\cdot \frac{e^{-1}}{2i}\right)=\frac{\pi }{e}$$

$\sin x/(1+x^2)$ のほうは虚部をとって $0$ です。被積分関数が奇関数なので、当然の値。

$e^{iz}$ を $\cos z$ に替えてはいけません。$\cos z$ は上半平面で $e^{|y|}$ の程度に発散するので、弧の寄与が消えない。

型 4：実軸の上に極があるとき

被積分関数の極が実軸に乗ると、経路がその点を通ってしまいます。小さな半円でよけて通る。

よけた半円の寄与は、極が 1 位なら留数の $-\pi i$ 倍になります。1 周ぶんの $2\pi i$ の、ちょうど半分。

$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{\text{小さい弧}}fdz=-\pi i\mathrm{Res}(f,a)$$

符号は回る向きで決まります。上へよけて時計回りに通れば負。

よけ方を変えると答えが変わるので、先に経路を決めてから計算します。ふつうは、主値をとるという約束をしておきます。

例：$\sin x/x$

$e^{iz}/z$ を、原点をよけた半円で積分します。$e^{iz}/z$ の極は原点だけで、経路の内部には入りません。

したがって周積分は $0$。実軸の 2 本と、大きい弧と、小さい弧の和が $0$ になります。

大きい弧はジョルダンの補題で消えます。小さい弧は $-\pi i\cdot 1=-\pi i$。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$$

実部からは $\int \cos x/x$ の主値が $0$ だと分かります。奇関数の主値なので、これも当然の値。

もとの $\sin x/x$ は原点で $1$ に伸びるので、そもそも特異点がありません。$e^{iz}/z$ に直したときだけ極が現れる。

型 5：分枝があるとき

$x^a$ や $\log x$ が入ると、複素へ延ばしたとき多価になります。切れ目を入れて分枝を決める。

正の実軸を切れ目にとり、その上下すれすれを往復する鍵穴の経路を使います。上側と下側で値がずれることが、計算の手がかりになる^[6]。

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\frac{\pi }{\sin \pi a}(0<a<1)$$

上側では $x^{a-1}$、下側では $x^{a-1}{e}^{2\pi i(a-1)}$ です。差の因子 $1-e^{2\pi ia}$ が残る。

内側の極は $z=-1$ の 1 つで、留数は $e^{i\pi (a-1)}$。整理すると上の値になります。

ガンマ関数の相反公式と同じ右辺が現れます。ベータ関数を経由すると、両者がつながる^[7,8]。

型 6：長方形の経路

指数関数の周期を使う場合には、長方形が向きます。高さを周期にとると、上下の辺で被積分関数が定数倍だけ違う。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ax}}{1+e^x}dx=\frac{\pi }{\sin \pi a}(0<a<1)$$

高さ $2\pi$ の長方形をとります。上の辺では $e^{a(x+2\pi i)}=e^{2\pi ia}{e}^{ax}$ で、分母は $1+e^x$ のまま。

だから上の辺の積分が、下の辺の $e^{2\pi ia}$ 倍になります。差をとると求めたい積分が係数付きで残る。

内側の極は $z=i\pi$ の 1 つ^[4]。左右の辺は $R$ を大きくすると消えます。

型 7：対数を掛ける手

分枝のない有理関数でも、わざと $\log z$ を掛けて鍵穴を使う手があります。

上下で $\log$ が $2\pi i$ ずれるので、差をとると $\log$ が消えてもとの積分だけが残る。$\log$ を 2 乗して掛けると、$\log$ を 1 つ含む積分がとり出せます。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(1+x^2{)}^2}dx=-\frac{\pi }{4}$$

半直線上の積分を、対称性のない形のまま扱えるようになります。偶関数でないと半分にできない、という制約を回避する手筋。

主値をとる約束

実軸上に極があるとき、積分そのものは通常の意味では発散します。左右から同じ速さで近づける約束をすると、極限が存在することがある。

$$p.v.{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\left({\int }_{-\infty }^{a-\epsilon }+{\int }_{a+\epsilon }^{\infty }\right)$$

くぼませた経路の計算は、この主値を求めていることになります。近づけ方を変えると値が変わるので、どの意味の積分かを先に決めておく。

選び方のまとめ

被積分関数を見て、次の順に考えると迷いません。

上から順に当てはめて、消えない部分が残らないか確かめる。残ってしまうときは、経路を選び直します。

よくある誤り

留数定理を使うところより、経路を用意するところに手数がかかります。被積分関数の形と経路の対応を覚えてしまえば、あとは機械的な計算に落ちる。

参考文献