楕円関数と二重周期、ワイエルシュトラスのペー関数はどこから来るのか

2 つの向きに同じ模様がくり返す関数を、楕円関数と呼びます。

$$f(z+{\omega }_1)=f(z),f(z+{\omega }_2)=f(z)$$

${\omega }_1$ と ${\omega }_2$ は比が実数でない 2 つの複素数。三角関数が 1 方向にくり返すのに対し、こちらは平面を埋め尽くすようにくり返します。

条件はもう 1 つ。$f$ が有理型であること、つまり極以外の悪い点を持たないことです^[4]。

この 2 つを課すと、関数の形がかなり縛られます。正則なだけの楕円関数は定数しかなく、定数でなければ必ず極を持つ。

周期の格子

${\omega }_1$ と ${\omega }_2$ の整数倍を足し合わせた点の集合を、周期の格子と呼びます。

$$\Lambda =\{m{\omega }_1+n{\omega }_2:m,n\in \mathbb{Z}\}$$

関数は格子ぶんずらしても値が変わりません。だから平行四辺形 1 つの上での値が分かれば、全体が決まる。

この平行四辺形を基本領域と呼びます。とり方は 1 通りではありませんが、面積はどうとっても同じ。

周期の組も 1 通りではありません。格子を張る別の組が無数にあります。本体は格子のほうで、周期の組はその表し方にすぎない。

平面を格子で割ると、輪の面がつながった形になります。楕円関数は、この面の上の関数だと見られます。

リウヴィルの 3 つの定理

二重周期という条件から、強い制限がいくつも出ます。基本領域がコンパクトであることが効きます。

まず、極を持たない楕円関数は定数です。基本領域で有界なので全平面で有界になり、リウヴィルの定理が効く^[3]。

次に、基本領域の中での留数の和は $0$ です。平行四辺形の周にそう積分が、向かい合う辺で打ち消し合って $0$ になるため。

$$\sum _{\text{基本領域}}\mathrm{Res}f=0$$

だから 1 位の極を 1 つだけ持つ楕円関数は作れません。留数が打ち消す相手を持てないためです^[5]。

したがって定数でない楕円関数の位数は $2$ 以上。ここでいう位数は、基本領域の中の極の個数を重複を込めて数えたものです。

零点と極の個数

偏角の原理を平行四辺形の周に当てると、もう 1 つ結論が出ます。

零点の個数と極の個数が、重複を込めて等しい。積分が向かい合う辺で打ち消し合うので、差が $0$ になります。

値 $c$ をとる点の個数も同じです。$f-c$ に同じ議論を当てればよく、どの値もちょうど位数の回数だけとられる。

零点の和と極の和の差が、格子の点になる、という主張も同じ筋から出ます。こちらは $z{f}^{\prime }/f$ を積分する形^[6]。

ワイエルシュトラスの関数

位数 $2$ の楕円関数を、格子から直接組み立てます。

$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left(\frac{1}{(z-\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}\right)$$

各格子点に 2 位の極を置き、収束させるために $1/{\lambda }^2$ を引きます。この引き算がないと和が発散する^[1]。

偶関数で、格子ぶんずらしても変わりません。導関数を見ると周期性が確かめやすい。

$${\wp }^{\prime }(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }\frac{1}{(z-\lambda {)}^3}$$

こちらは格子全体の和で、明らかに周期を持ちます。積分して $\wp$ の周期性が出る、という順序で示せます。

微分方程式

$\wp$ と ${\wp }^{\prime }$ の間には、代数的な関係があります。

$$({\wp }^{\prime }{)}^2=4{\wp }^3-g_2\wp -g_3$$

$g_2$ と $g_3$ は格子から決まる定数で、不変量と呼ばれます。アイゼンシュタイン級数から作る。

$$g_2=60\sum _{\lambda \ne 0}\frac{1}{{\lambda }^4},g_3=140\sum _{\lambda \ne 0}\frac{1}{{\lambda }^6}$$

導き方は、両辺の差が楕円関数で極を持たないと示すこと。原点まわりのローラン展開を比べて、主要部が打ち消し合うように係数を選びます。

極がなければ定数で、$z=0$ での値を見ると $0$。したがって等式が成り立ちます。

ローラン展開

原点まわりの展開には、偶数次だけが現れます。$\wp$ が偶関数だからです。

$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{n\ge 1}(2n+1)G_{2n+2}{z}^{2n}$$

$G_k$ はアイゼンシュタイン級数で、$g_2$ と $g_3$ はその最初の 2 つから作られます。

定数項がないところが $\wp$ の定義の効き目です^[7]。$1/{\lambda }^2$ を引いたぶん、展開がきれいにそろっている。

楕円曲線

微分方程式を $x=\wp (z)$、$y={\wp }^{\prime }(z)$ と読み替えると、代数曲線の式になります。

$$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$$

$z$ を動かすと、点 $(x,y)$ がこの曲線の上を動きます。格子で割った面から曲線への写像になっている。

判別式 $\Delta =g_2^3-27g_3^2$ が $0$ でなければ、曲線はなめらか。$0$ になると、曲線に尖った点や交差が現れます。

格子から来る $g_2$、$g_3$ では $\Delta \ne 0$ が保証されます。潰れた曲線は、格子が退化した場合にあたる。

加法定理

$\wp (z+w)$ を $\wp (z)$、$\wp (w)$ とそれらの導関数で書く式があります。

$$\wp (z+w)=\frac{1}{4}{\left(\frac{{\wp }^{\prime }(z)-{\wp }^{\prime }(w)}{\wp (z)-\wp (w)}\right)}^2-\wp (z)-\wp (w)$$

幾何で読むともっと見やすくなります。曲線上の 3 点 $(\wp (z),{\wp }^{\prime }(z))$、$(\wp (w),{\wp }^{\prime }(w))$、$(\wp (z+w),-{\wp }^{\prime }(z+w))$ が同一直線上に並ぶ。

分数の部分が、その直線の傾きです。2 点を通る直線と曲線の 3 つ目の交点を求め、上下にひっくり返す、という手順が式になっている。

これが楕円曲線の群構造です。曲線上の点に足し算が入り、無限遠点が単位元になります。

すべての楕円関数は $\wp$ で書ける

同じ格子に対する楕円関数は、$\wp$ と ${\wp }^{\prime }$ の有理式として書けます。

偶関数なら $\wp$ だけの有理式。奇関数なら ${\wp }^{\prime }$ を 1 つ掛けた形になります。一般の関数は、偶部分と奇部分に分ければよい。

証明は、極を打ち消す有理式を作って差を見る流れです。差が極を持たない楕円関数になるので定数。

$\wp$ と ${\wp }^{\prime }$ が生成元になる、という言い方もできます。格子を決めれば、楕円関数の全体が 1 つの体として決まる。

三角関数との対応

三角関数を思い出すと、対応が見えてきます。$\sin$ は 1 方向に周期を持ち、${\sin }^2+{\cos }^2=1$ という代数関係で結ばれる。

$\wp$ と ${\wp }^{\prime }$ も、微分方程式という代数関係で結ばれます。周期が 1 つから 2 つに増えたぶん、関係式の次数が上がった形。

三角関数が円のパラメータ表示を与えるように、$\wp$ は楕円曲線のパラメータ表示を与えます。円が楕円曲線に置き換わった、と読める。

逆関数の側で見ると、$\arcsin$ が平方根の積分だったのに対し、$\wp$ の逆関数は 3 次式の平方根の積分です。

$$z={\int }_{\wp (z)}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{4x^3-g_{2}x-g_3}}$$

この積分が楕円積分と呼ばれるもの。楕円関数という名前は、楕円の弧長を求める積分から来ています。

ヤコビの楕円関数

もう 1 つの流儀がヤコビの関数です。$\mathrm{sn}$、$\mathrm{cn}$、$\mathrm{dn}$ の 3 つ。

$\mathrm{sn}$ は $\sin$ の直接の一般化で、${\mathrm{sn}}^2+{\mathrm{cn}}^2=1$ が成り立ちます。$\mathrm{dn}$ が加わるところが三角関数との違い。

母数と呼ばれるパラメータ $k$ を持ち、$k\to 0$ で三角関数に戻ります。振り子の運動の厳密解などに現れる。

$\wp$ とは代数的に結ばれていて、どちらからどちらへも移せます。どの流儀を使うかは場面しだい^[2]。

周期と不変量の対応

格子を決めると $g_2$、$g_3$ が決まります。逆に $\Delta \ne 0$ を満たす $g_2$、$g_3$ を与えると、それを実現する格子がただ一通り決まる。

格子と楕円曲線が 1 対 1 に対応する、という主張です。数論や代数幾何で楕円曲線が中心的なのは、この対応があるため。

格子を定数倍しても曲線の形は本質的に変わりません。比 $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$ だけが効き、さらにモジュラー群の作用で移り合うものは同じと見なします。

よくある誤り

1 方向の周期から 2 方向の周期へ。条件を 1 つ足しただけで、関数の姿が代数曲線と結びつき、群の構造まで現れます。三角関数の次にある世界として、この広がりが楕円関数の面白さです。

参考文献