楕円関数入門

楕円関数は、複素平面上で二重周期を持つ有理型関数だ。三角関数の一般化とも言え、数論、代数幾何、物理学など広範な分野で登場する。

二重周期性

関数 $f (z)$ が楕円関数であるとは、 $C$ 上の有理型関数で、線形独立な 2 つの複素数 $ω_{1}$ , $ω_{2}$ に対して

$f (z + ω_{1}) = f (z), f (z + ω_{2}) = f (z)$

を満たすことをいう。 $ω_{1}$ , $ω_{2}$ を基本周期と呼ぶ。

三角関数

実周期を 1 つ持つ（ $sin (x + 2 π) = sin x$ ）

楕円関数

複素平面で独立な 2 周期を持つ。三角関数の 2 次元版

基本周期から生成される格子 $Λ = {m ω_{1} + n ω_{2} : m, n \in Z}$ を周期格子と呼ぶ。楕円関数は商空間（トーラス） $C /Λ$ 上の有理型関数と見なせる。

$0$ , $ω_{1}$ , $ω_{2}$ , $ω_{1} + ω_{2}$ を頂点とする平行四辺形を基本領域と呼ぶ。楕円関数の振る舞いは基本領域内で完全に決まり、周期性で全体に拡張される。

リウヴィルの定理の系として、定数でない楕円関数は必ず極を持つ。また、基本領域内の極の位数の総和と零点の位数の総和は等しい。

最も基本的な楕円関数がワイエルシュトラスの $℘$ 関数だ。

$℘ (z) = \frac{1}{z ^{2}} + ω \in Λ ∖ {0} \sum (\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}})$

$℘ (z)$ は $z = 0$ で 2 位の極を持ち、基本領域内で他に極はない。

偶関数性

$℘ (- z) = ℘ (z)$

微分方程式

$(℘^{'})^{2} = 4 ℘^{3} - g_{2} ℘ - g_{3}$ （ $g_{2}$ , $g_{3}$ は格子で決まる定数）

普遍性

任意の楕円関数は $℘$ と $℘^{'}$ の有理式で表せる

微分方程式 $y^{2} = 4 x^{3} - g_{2} x - g_{3}$ は楕円曲線を定義する。写像 $z \mapsto (℘ (z), ℘^{'} (z))$ はトーラス $C /Λ$ から楕円曲線への同型を与える。

この対応により、楕円関数論と楕円曲線の代数幾何が結びつく。フェルマーの最終定理の証明で有名になったモジュラー形式も、楕円関数と深く関連する。

ワイエルシュトラス流とは別に、ヤコビは $sn$ , $cn$ , $dn$ という楕円関数を導入した。これらは三角関数 $sin$ , $cos$ の一般化で、楕円積分の逆関数として定義される。

$u = \int_{0}^{ϕ} \frac{d θ}{1 - k ^{2} sin ^{2} θ} \Rightarrow sn (u, k) = sin ϕ$

ここで $k$ （ $0 < k < 1$ ）は楕円モジュラスと呼ばれるパラメータだ。 $k \to 0$ で $sn \to sin$ , $cn \to cos$ となる。

楕円関数は振り子の厳密解、非線形波動のソリトン解、暗号理論（楕円曲線暗号）など多方面で現れる。複素解析の観点からは、二重周期関数という豊かな構造を持つ典型例として、理論的にも興味深い対象だ。