円と直線は何点で交わるのか？距離で測る方法と判別式

円と直線が何点で交わるかは、連立方程式を解く前に決まっています。中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ を比べるだけ。

$$d<r\text{なら 2 点},d=r\text{なら 1 点},d>r\text{なら 0 点}$$

直線の上で中心にいちばん近い点は、垂線の足です。その距離が $d$。近づける限界が $d$ なのだから、$d$ が半径より大きければ直線は円の外にとどまります。

直線を平行移動させています。点線が中心から直線へ下ろした垂線で、その長さが $d$。

$d$ が $r$ より小さいあいだは交点が $2$ つあり、$d$ が $r$ に届くと $1$ つに重なり、越えると消えます。交点の個数は $d$ と $r$ の大小だけで決まっている。

判別式で調べる方法

連立して文字を消すと二次方程式が出ます。その解が交点の $x$ 座標なので、実数解の個数がそのまま交点の個数です。

円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+k$ で試します。直線の式を円へ代入します。

$$x^2+(x+k{)}^2=5,2x^2+2kx+k^2-5=0$$

$x$ の係数が偶数なので、$D/4$ を使うと計算が軽くなります。

$$\frac{D}{4}=k^2-2(k^2-5)=-k^2+10$$

$D>0$ となるのは $k^2<10$、つまり $-\sqrt{10}<k<\sqrt{10}$ のときです。この範囲で $2$ 点。

距離で調べると同じ答えになる

同じ問題を距離で解きます。直線を $x-y+k=0$ の形に直し、中心 $(0,0)$ からの距離を出します。

$$d=\frac{|0-0+k|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

半径は $\sqrt{5}$ です。$d<r$ を書き下します。

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}}<\sqrt{5},|k|<\sqrt{10}$$

判別式で出した $-\sqrt{10}<k<\sqrt{10}$ と一致しました。同じことを別の道具で測っているだけです。

位置関係だけを聞かれたら距離、交点も要るなら連立。この使い分けで手数が減ります。

例：位置関係を判定する

円 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ と直線 $3x+4y-15=0$ を調べます。

中心は $(1,2)$、半径は $3$ です。距離の公式に入れます。

$$d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2-15|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-4|}{5}=\frac{4}{5}$$

$d=0.8$ で $r=3$ なので $d<r$。$2$ 点で交わります。

円 $x^2+y^2=1$ と直線 $x+y-3=0$ なら $d=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2.12$、$r=1$ で $d>r$。交わりません。

接する条件から定数を決める

接するとは $d=r$ です。等式なので、定数について解けば値が決まります。

円 $x^2+y^2=4$ と直線 $y=2x+k$ が接する $k$ を求めます。直線を $2x-y+k=0$ と書き直します。

$$d=\frac{|k|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}}=2$$

$|k|=2\sqrt{5}$ より $k=\pm 2\sqrt{5}$。円の上側と下側で $1$ 本ずつ、接線が $2$ 本あります。

傾きのほうが未知の場合も同じです。円 $x^2+y^2=9$ と直線 $y=mx+5$ が接する $m$ を求めます。

$$\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}=3,25=9(m^2+1)$$

$m^2=\frac{16}{9}$ より $m=\pm \frac{4}{3}$ です。点 $(0,5)$ から円に引いた $2$ 本の接線の傾きになっています。

交点の座標を求める

交点まで要るときは、連立して解きます。位置関係の判定は済んでいるので、解が出ることは分かった状態で計算できます。

円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ の交点を求めます。

$$x^2+(x+1{)}^2=5,2x^2+2x-4=0,x^2+x-2=0$$

$(x+2)(x-1)=0$ より $x=-2,1$。それぞれ $y=x+1$ に入れて $y=-1,2$ です。

交点は $(-2,-1)$ と $(1,2)$。円の式に入れ直すと $4+1=5$、$1+4=5$ でどちらも成り立ちます。

代入する向きは、次数が低いほうを高いほうへ入れます。直線の式を円へ入れる形が定石で、逆にすると根号が出ます。

弦の長さは三平方で出る

$2$ 点で交わったとき、切りとられる線分を弦といいます。弦の長さは交点を求めなくても計算できます。

中心から弦へ下ろした垂線は、弦を $2$ 等分します。半径、垂線、弦の半分で直角三角形ができる。

弦の長さを $\ell$ とすると、直角三角形の $3$ 辺は $r$、$d$、$\frac{\ell }{2}$ です。

$${\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+d^2=r^2,\ell =2\sqrt{r^2-d^2}$$

$d$ が小さいほど弦は長くなります。$d=0$ のとき、つまり直線が中心を通るとき、弦は直径になって最長の $2r$。

例：弦の長さを求める

円 $x^2+y^2=25$ が直線 $3x+4y-10=0$ から切りとる弦の長さを求めます。

中心 $(0,0)$ からの距離を出します。

$$d=\frac{|-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2$$

半径は $5$ なので、公式に入れます。

$$\ell =2\sqrt{25-4}=2\sqrt{21}$$

交点の座標を求めずに済みました。連立して $2$ 点を出し、距離の公式で測る道もありますが、根号の計算が増えます。

例：弦の長さから半径を出す

円 $(x-2{)}^2+y^2=r^2$ が直線 $x-y=0$ から切りとる弦の長さが $2\sqrt{3}$ だとします。$r$ を求めます。

中心 $(2,0)$ から直線までの距離は次のとおり。

$$d=\frac{|2-0|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}$$

弦の半分は $\sqrt{3}$ です。三平方の関係に入れます。

$$(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=r^2,r^2=5$$

$r=\sqrt{5}$ です。$3$ つの量のうち $2$ つが分かれば、残りが決まります。

中心を通る直線

直線が中心を通れば $d=0$ です。$d<r$ が必ず成り立つので、交点は $2$ つ。

このとき弦は直径になります。円と直線の問題で「弦が直径になる条件」と聞かれたら、直線が中心を通る条件を書けばよい。

たとえば直線 $y=mx+1$ が円 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=9$ から直径を切りとる条件なら、中心 $(3,4)$ を代入して $4=3m+1$、$m=1$ です。

定数の範囲を答える形

位置関係を聞かれる問題は、答えが定数の範囲になることが多くなります。$d$ と $r$ の大小を不等式で書き、それを解く流れです。

円 $x^2+y^2=4$ と直線 $y=x+k$ が共有点をもつ $k$ の範囲を求めます。共有点をもつのは $d\le r$ のとき。

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}}\le 2,|k|\le 2\sqrt{2}$$

$-2\sqrt{2}\le k\le 2\sqrt{2}$ です。接する場合も共有点をもつので、等号が入ります。

「異なる $2$ 点で交わる」なら等号なし、「接する」なら等号だけ、「共有点をもつ」なら等号つき。問題文のどれに当たるかで、不等号が変わります。

内部の点を通る直線は必ず 2 点で交わる

点 $A$ が円の内部にあるとします。$A$ を通る直線を引くと、中心から直線までの距離 $d$ は、中心と $A$ の距離より大きくなりません。

垂線の足が直線の上でいちばん近い点なので、$A$ を通る以上 $d\le OA$ です。$A$ が内部にあるなら $OA<r$ なので、$d<r$ が従います。

つまり内部の点を通る直線は、向きをどう変えても $2$ 点で交わる。判定を計算せずに済む場面です。

逆に $A$ が円の外にあれば、$2$ 点で交わる向きも、接する向きも、交わらない向きもあります。向きしだいで $3$ 通りとも起こる。

定点を通る直線が切りとる弦の最大と最小

点 $A(1,1)$ を通る直線が、円 $x^2+y^2=9$ から切りとる弦の長さを考えます。

弦の長さは $\ell =2\sqrt{r^2-d^2}$ でした。$r$ は $3$ で固定なので、$\ell$ は $d$ だけで決まります。$d$ が小さいほど弦は長い。

$A$ を通る直線を回すと、$d$ は $0$ から $OA$ まで動きます。$OA=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ です。

最大が $6$、最小が $2\sqrt{7}$。$2\sqrt{7}\approx 5.29$ なので、幅はそれほど広くありません。

$d$ が $OA$ を越えられないのは、直線が $A$ を通ると決まっているからです。$A$ から離れた直線なら $d$ をもっと大きくできますが、それは条件を外れます。

交点を通る円を作る

円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ の交点を通り、原点を通る円を求めます。交点の座標を出さずに書けます。

円の式を $0$ の形にした $x^2+y^2-5$ と、直線の式を $0$ の形にした $x-y+1$ を、次のように組み合わせます。

$$x^2+y^2-5+k(x-y+1)=0$$

この式は、$k$ がどんな値でも $2$ つの交点で成り立ちます。交点では両方の括弧が $0$ になるためです。

原点を通る条件を書きます。$(0,0)$ を代入します。

$$-5+k\cdot 1=0,k=5$$

代入して整理すると $x^2+y^2+5x-5y=0$ です。

検算します。交点は $(-2,-1)$ と $(1,2)$ でした。$1$ つ目は $4+1-10+5=0$、$2$ つ目は $1+4+5-10=0$。原点は $0$ で、$3$ 点とも通っています。

交点を求めてから $3$ 点を通る円として解く道もありますが、座標が無理数になる問題ではこの形が効きます。

よくある誤り

参考文献