円と直線の位置関係（交点の個数と判別式）

円と直線がどのような位置関係にあるかは、交点の個数で分類できます。判別式を使う方法と、点と直線の距離を使う方法の2通りがあります。

3つの位置関係

円と直線の位置関係は3種類あります。

2点で交わる

1点で接する（接線）

交わらない（離れている）

円の方程式と直線の方程式を連立し、一方の文字を消去して得られる2次方程式の判別式 $D$ で判定します。

D > 0

のとき

2次方程式が異なる2つの実数解をもつので、円と直線は2点で交わります。

D = 0

のとき

2次方程式が重解をもつので、円と直線は1点で接します。

D < 0

のとき

2次方程式が実数解をもたないので、円と直線は交わりません。

円 $x^{2} + y^{2} = 5$ と直線 $y = x + k$ の位置関係を調べます。

直線の式を円に代入すると、

$x^{2} + (x + k)^{2} = 5$

$2 x^{2} + 2 k x + k^{2} - 5 = 0$

判別式は $D = (2 k)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (k^{2} - 5) = 4 k^{2} - 8 k^{2} + 40 = - 4 k^{2} + 40$ です。

$D > 0$ となるのは $k^{2} < 10$ 、つまり $- 10 < k < 10$ のときで、このとき2点で交わります。

中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ を比較する方法もあります。

d < r

のとき

中心から直線までの距離が半径より小さいので、2点で交わる

d = r

のとき

距離と半径が等しいので、1点で接する

円 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ と直線 $3 x + 4 y - 15 = 0$ の位置関係を調べます。

中心 $(1, 2)$ から直線までの距離は、

$d = \frac{∣3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 15∣}{9 + 16} = \frac{∣3 + 8 - 15∣}{5} = \frac{4}{5}$

半径は $r = 3$ なので、 $d = \frac{4}{5} < 3 = r$ となり、円と直線は2点で交わります。

どちらの方法を使うかは問題によりますが、距離公式を使う方が計算が楽なことが多いです。