多角形の内部へ写す積分公式（シュワルツ・クリストッフェル変換）はどう作るか

上半平面を多角形の内部へ写す等角写像には、閉じた式があります。

$$f(\zeta )=A+C{\int }^{\zeta }\prod _{k=1}^n(w-x_k{)}^{{\alpha }_k/\pi -1}dw$$

$x_1<x_2<\cdots <x_n$ は実軸上の点で、それぞれが多角形の頂点に対応します。${\alpha }_k$ はその頂点の内角。

リーマンの写像定理は写像の存在を言うだけで、式を与えませんでした。多角形に限れば、こうして書き下せます^[1,4]。

積分の中身は、べき関数を並べただけ。各因子が 1 つの頂点で角を折る働きをします。

各因子が角を作る

因子を 1 つだけにして、$x_1=0$ とします。積分すると、べき関数になる。

$${\int }^{\zeta }{w}^{\alpha /\pi -1}dw=\frac{\pi }{\alpha }{\zeta }^{\alpha /\pi }$$

${\zeta }^{\alpha /\pi }$ は、原点での角を $\alpha /\pi$ 倍にします。上半平面の開き $\pi$ が、開き $\alpha$ の扇形へ縮む。

つまり因子 1 つで、実軸の折れ曲がりが 1 か所できる。因子を並べれば、折れ曲がりが $x_k$ の位置に並びます。

内角の合計

有界な $n$ 角形の内角は、合計が $(n-2)\pi$ です。これを指数の言葉に直します。

$$\sum _{k=1}^n\left(1-\frac{{\alpha }_k}{\pi }\right)=2$$

外角の合計が $2\pi$ である、という事実の言い換え。指数の和が $-2$ になるので、$\zeta$ が大きいところで被積分関数が ${\zeta }^{-2}$ の程度に落ちます。

だから無限遠までの積分が収束し、多角形が有界に収まる。この和の条件は、閉じた多角形になるための条件です^[1]。

頂点を無限遠に置く

実軸上の点は $n$ 個ですが、$\infty$ も境界の点として使えます。$x_n=\infty$ ととると、その因子が定数に吸収されて消える。

$$f(\zeta )=A+C{\int }^{\zeta }\prod _{k=1}^{n-1}(w-x_k{)}^{{\alpha }_k/\pi -1}dw$$

因子が 1 つ減るので計算が楽になります。実軸上の点を 3 つまで自由に選べる自由度があるので、そのうち 1 つを $\infty$ に使う流儀がふつうです。

多角形の頂点そのものが無限遠にある場合もあります。半無限の帯や、開いた角の領域がその例。

例：半無限の帯

$0<\mathrm{Im}z<\pi$ で $\mathrm{Re}z>0$ という半無限の帯を考えます。頂点は 2 つで、内角はどちらも $\pi /2$。

もう 1 つの頂点は無限遠にあり、内角は $0$ です。指数の和の条件は $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$ で満たされます。

$x=-1,1$ を有限の 2 頂点に対応させると、被積分関数が次の形になります。

$$\frac{1}{\sqrt{(w-1)(w+1)}}=\frac{1}{\sqrt{w^2-1}}$$

積分すると逆双曲余弦です^[7]。$z=\mathrm{arcosh}\zeta$ が、上半平面を半無限の帯へ写します。

逆に見れば $\zeta =\cosh z$ で、帯を上半平面へ広げる写像。指数関数で帯を半平面へ写す話と同じ系統です^[2,3]。

例：長方形と楕円積分

長方形は 4 頂点で、内角がすべて $\pi /2$ です。指数はどれも $-\frac{1}{2}$。

対応する実軸上の点を $\pm 1$ と $\pm 1/k$ にとると、被積分関数がそろった形になります^[1]。

$$f(\zeta )={\int }_0^{\zeta }\frac{dw}{\sqrt{(1-w^2)(1-k^2{w}^2)}}$$

これは第 1 種の楕円積分です。$k$ を動かすと、長方形の縦横比が変わる。

初等関数では書けません。長方形という単純な形が、すでに楕円積分を必要とします。

例：三角形

内角が $\pi a$、$\pi b$、$\pi (1-a-b)$ の三角形へ写す場合を書きます。頂点のうち 1 つを無限遠に置く。

$$f(\zeta )={\int }^{\zeta }\frac{dw}{(w-1{)}^{1-a}(w+1{)}^{1-b}}$$

不完全ベータ関数や超幾何関数で表せます。正三角形なら $a=b=1/3$。

直角二等辺三角形なら $a=1/2$、$b=1/4$ です。角度をそろえるだけで指数が決まる。

パラメータ問題

公式には、実軸上の点 $x_k$ という自由度が残っています。角度を決めても、辺の長さが決まらない。

3 点までは自由に選べます。メビウス変換で上半平面を自分自身へ写して動かせるため。残りの $n-3$ 個は、辺の長さの条件から決まります。

$$|f(x_{k+1})-f(x_k)|=L_k$$

この連立方程式は非線形で、一般には解析的に解けません。ふつうは数値的に求めます。

点が近づくと辺が短くなる、という単調な関係でもない。混み合った点の配置では、数値的にも不安定になります。

1 点動かすと、すべての辺の長さが同時に変わります。独立に調整できないところが、この問題の厄介なゆえん。

円板からの形

出発点を単位円板にとった形もあります。上半平面版とメビウス変換で結ばれています。

$$f(z)=A+C{\int }^z\prod _{k=1}^n(w-z_k{)}^{{\alpha }_k/\pi -1}dw$$

$z_k$ は単位円周上の点で、前頂点と呼ばれます。対称性の高い多角形では、こちらのほうが扱いやすい。

正 $n$ 角形なら、前頂点を円周上に等間隔に置けます。積が $1-w^n$ の形にまとまり、式が短くなる。

外側へ写す形

多角形の外部へ写す公式もあります。指数の符号が変わり、無限遠に対応する点で 2 位の極が付く。

翼のまわりの流れのように、障害物の外側を扱う問題で使われます。内部と外部で、同じ枠組みが働く。

数値計算

実際の計算では、専用のアルゴリズムが使われます。積分そのものは特異点の近くで発散気味なので、変数変換で扱いやすくする。

パラメータ問題は、非線形方程式の求解として解きます。点が混み合うと収束が悪くなるので、その対策も必要になる。

多角形の格子生成や、電磁場の解析で実際に使われている手法です。理論の式が、そのまま計算の土台になっています。

使いどころ

段差のある流路の流れ、角のある導体まわりの電場、細い隙間を通る場。どれも多角形の領域です。

まず領域を上半平面へ戻し、そこで簡単な調和関数を書き、写像で持ち帰る^[6]。角のある領域を直接扱うより見通しがよくなります^[5]。

角のところで場が強くなる、という現象も式から読めます。内角が $\pi$ より大きい張り出した角では、導関数が発散する。

よくある誤り

リーマンの写像定理は、写像があるとだけ言いました。多角形という条件を足すと、積分の形まで書き下せます。存在の定理と具体的な公式の、ちょうど間にある結果です。

参考文献