対数方程式の解き方と真数条件、解が 1 つ消える仕組み

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ を解くと、途中で $x = 4$ と $x = - 2$ の 2 つが候補になります。答えは $x = 4$ だけ。

$x = - 2$ を最初の式に入れると $lo g_{2} (- 2)$ が現れます。真数が負なので、そもそも式が書けません。

余計な解は不注意で生まれるのではなく、変形の途中で入り込みます。どこで入るかを先に見ておきます。

対数をはずす 2 つの道

対数の方程式を解く手順は 2 通りです。どちらを選ぶかは、両辺の形で決まります。

両辺が同じ底の対数

$lo g_{a} S = lo g_{a} T$ の形。真数どうしを等しくおいて $S = T$ とする

片方が数だけ

$lo g_{a} S = c$ の形。定義に戻して $a^{c} = S$ とする

前者の例が $lo g_{2} (x + 3) = lo g_{2} (5 x - 1)$ で、 $x + 3 = 5 x - 1$ から $x = 1$ 。

後者なら $lo g_{3} x = 2$ で $x = 3^{2} = 9$ ^[2]。 $2 lo g_{5} x + 3 = 7$ のような形は、まず $lo g_{5} x = 2$ まで整理してから外します。

対数が 1 つだけ残る形に整理してから外す。これが共通の流れです^[1]。

真数条件は解く前に書く

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ では、最初の式の時点で $x > 0$ と $x - 2 > 0$ が必要です。

2 つを合わせて $x > 2$ 。この範囲の外にある値は、どんな計算をしても答えになりません^[3]。

先に書いておくと、あとから捨てる作業が「確かめ」ではなく「照らし合わせ」になります。

積の法則で $lo g_{2} x (x - 2) = 3$ とまとめ、 $x (x - 2) = 8$ から $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 、 $(x - 4) (x + 2) = 0$ 。

$x = 4$ と $x = - 2$ のうち、 $x > 2$ を満たすのは $x = 4$ です。

余計な解はどこで生まれるか

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2)$ と $lo g_{2} (x (x - 2))$ は、いつでも同じ式ではありません。

左が書けるのは $x > 0$ かつ $x > 2$ 、つまり $x > 2$ のとき。右が書けるのは $x (x - 2) > 0$ のときです。

$x (x - 2) > 0$ は $x < 0$ または $x > 2$ 。まとめた瞬間に、 $x < 0$ の側が増えています。

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N) (M > 0, N > 0)$

法則が成り立つ条件を落として使うと、式が書ける範囲が広がる。 $x = - 2$ は、その増えた側にある値です。

実際 $x = - 2$ では $x (x - 2) = 8$ となり、まとめたあとの式は成り立ちます。もとの式だけが成り立たない。

上の帯にない値は捨てます。理由まで見ておくと、捨てる場面を見落としません。

例：両方とも残る場合

$lo g_{6} (x + 4) + lo g_{6} (3 - x) = 1$ を解きます。真数条件は $x > - 4$ かつ $x < 3$ で、 $- 4 < x < 3$ 。

まとめて $(x + 4) (3 - x) = 6$ 。展開すると $- x^{2} - x + 12 = 6$ となり、 $x^{2} + x - 6 = 0$ です。

$(x + 3) (x - 2) = 0$ から $x = - 3$ 、 $x = 2$ 。どちらも $- 4 < x < 3$ の中にあります^[1]。

答えは 2 つとも。捨てる解が必ず出るわけではありません。範囲と照らして残ったものを、そのまま並べます。

例：底がそろっていないとき

$lo g_{2} x + lo g_{4} x = 6$ を解きます。底が $2$ と $4$ で混ざっています。

底の変換公式で $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ^[4]。

$lo g_{2} x + \frac{1}{2} lo g_{2} x = \frac{3}{2} lo g_{2} x = 6$

$lo g_{2} x = 4$ から $x = 16$ 。真数条件は $x > 0$ だけなので、そのまま答えになります。

そろえる先は小さいほうの底が扱いやすい。 $4$ にそろえると $lo g_{4} x$ の係数に分数が残ります。

例：置きかえて二次方程式にする

$(lo g_{2} x)^{2} - 3 lo g_{2} x + 2 = 0$ は、 $lo g_{2} x$ のかたまりが 2 回出てきます。

$t = lo g_{2} x$ と置くと $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ 、 $(t - 1) (t - 2) = 0$ から $t = 1$ 、 $t = 2$ 。

$t$ には範囲の制限がありません。 $lo g_{2} x$ は実数全体を動くので、どちらの $t$ も使えます。

$lo g_{2} x = 1$ から $x = 2$ 、 $lo g_{2} x = 2$ から $x = 4$ 。真数条件 $x > 0$ も満たします。

指数の置きかえでは $t > 0$ が付きました。対数の置きかえでは付きません。値域が違うためです。

例：底のほうに文字がある

$lo g_{x} 9 = 2$ を解きます。文字が真数ではなく底に入っている形です。

定義に戻すと $x^{2} = 9$ となり、 $x = 3$ または $x = - 3$ 。ここで底の条件が効きます。

対数の底は正でなければならず、 $1$ でもいけません^[3]。 $x > 0$ かつ $x \neq = 1$ から、答えは $x = 3$ 。

底に文字があるときは、真数条件だけでなく底の条件も書き出します。落とす条件が 1 つ増える形です。

$lo g_{x} 16 = 4$ なら $x^{4} = 16$ から $x = 2$ 。 $x = - 2$ は底の条件で外れます。

例：文字が両側にある

$lo g_{3} (x - 1) = lo g_{9} (x + 1)$ を解きます。底が $3$ と $9$ なので、まず $9 = 3^{2}$ にそろえる。

$lo g_{9} (x + 1) = \frac{lo g _{3} ( x + 1 )}{2}$ なので、両辺を 2 倍して $2 lo g_{3} (x - 1) = lo g_{3} (x + 1)$ 。

左を $lo g_{3} (x - 1)^{2}$ にまとめると $(x - 1)^{2} = x + 1$ 、展開して $x^{2} - 3 x = 0$ から $x = 0$ 、 $x = 3$ 。

真数条件は $x - 1 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ で $x > 1$ 。残るのは $x = 3$ です。

ここでも $2 lo g_{3} (x - 1) = lo g_{3} (x - 1)^{2}$ の変形が範囲を広げています。 $x < 1$ でも右辺は書けるためです。

$lo g_{5} (x - 1) + lo g_{5} (x + 3) = 1$ の解はどれですか。

$x = 2$
$x = 2$ と $x = - 4$
$x = - 4$

__RESULT__

真数条件は $x > 1$ です。まとめて $(x - 1) (x + 3) = 5$ から $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 、 $(x + 4) (x - 2) = 0$ となり $x = - 4$ 、 $x = 2$ 。範囲に残るのは $x = 2$ だけです。

$lo g_{x} 25 = 2$ の解はどれですか。

$x = 5$ と $x = - 5$
$x = 5$
$x = 25$

__RESULT__

定義から $x^{2} = 25$ となり $x = 5$ 、 $x = - 5$ が出ます。底は正で $1$ 以外という条件があるので、 $x = - 5$ は外れます。

条件を先に書き、法則でまとめ、最後に照らす。この順番なら、余計な解を持ち帰る場面がなくなります。

出典

Logarithmic Equations and Inequalities/06%3A_Exponential_and_Logarithmic_Functions/6.04%3A_Logarithmic_Equations_and_Inequalities). Stitz C, Zeager J. Precalculus, Mathematics LibreTexts.

Exponential and Logarithmic Equations. College Algebra 2e, OpenStax.

Logarithmic function. Encyclopedia of Mathematics.

Rechnen mit Logarithmus. Serlo Education.

$\log_{2} x + \log_{2}(x-2) = 3$ を解くと $x = 4$ と $x = -2$ が出て、残るのは $x = 4$ だけ。$x = -2$ は不注意から出た値ではありません。$\log M + \log N = \log(MN)$ とまとめた瞬間、式が書ける範囲が $x > 2$ から $x < 0$ の側へ広がり、増えた枝に落ちた値がこれです。真数条件を最後の確認ではなく最初の一行として書く手順、底が $2$ と $4$ で混ざるときの変換、置きかえた $t$ に範囲が付かない理由、底のほうに文字がある場合に増える条件まで。