対数方程式の解き方

対数を含む方程式を対数方程式と呼びます。基本は「真数を等しくする」か「対数をはずす」かのどちらかです。

基本パターン1：真数を等しくする

$lo g_{a} A = lo g_{a} B$ のとき、 $A = B$ （かつ $A > 0$ ）が成り立ちます。

底が同じ対数が両辺にあれば、真数を等しくすればよいのです。

例題

$lo g_{2} (x + 3) = lo g_{2} (5 x - 1)$ を解きます。真数を等しくして $x + 3 = 5 x - 1$ より $4 x = 4$ 、 $x = 1$ です。

真数条件の確認

$x = 1$ のとき、 $x + 3 = 4 > 0$ 、 $5 x - 1 = 4 > 0$ なので適します。

$lo g_{a} x = b$ のとき、対数の定義から $x = a^{b}$ です。

$lo g_{3} x = 2$ なら $x = 3^{2} = 9$ です。

複数の対数がある場合は、対数法則でまとめてから解きます。

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ を解きます。

対数の和は積の対数なので、

$lo g_{2} x (x - 2) = 3$

対数をはずすと $x (x - 2) = 2^{3} = 8$ より $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ です。

因数分解して $(x - 4) (x + 2) = 0$ より $x = 4$ または $x = - 2$ です。

真数条件 $x > 0$ かつ $x - 2 > 0$ より、 $x > 2$ が必要なので、 $x = 4$ のみが解です。

底が異なる対数が混在する場合は、底の変換公式で統一します。

$lo g_{2} x + lo g_{4} x = 6$ を解きます。

$lo g_{4} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} 4} = \frac{l o g _{2} x}{2}$ なので、

$lo g_{2} x + \frac{lo g _{2} x}{2} = 6$

$\frac{3}{2} lo g_{2} x = 6$

$lo g_{2} x = 4$ より $x = 2^{4} = 16$ です。

よくあるミス

方程式を解いて出てきた値をそのまま答えにしてしまう

正しい手順

解を真数条件に代入して確認。真数が正でなければその解は不適

$(lo g_{2} x)^{2} - 3 lo g_{2} x + 2 = 0$ のように、 $lo g_{2} x$ の多項式になっている場合は、 $t = lo g_{2} x$ と置換します。

$t^{2} - 3 t + 2 = 0$ より $(t - 1) (t - 2) = 0$ 、 $t = 1$ または $t = 2$ です。

$lo g_{2} x = 1$ より $x = 2$ 、 $lo g_{2} x = 2$ より $x = 4$ です。

どちらも $x > 0$ を満たすので、解は $x = 2, 4$ です。