実数の世界では $x^{1/2} = \sqrt{x}$ や $x^{3/4}$ といったべき関数を自然に扱える。複素数に拡張す...

実数の対数関数 $\log x$ は $x > 0$ で定義され、一価関数として振る舞う。しかし複素数に拡張すると、対数関数は本...

複素解析において、べき級数は正則関数を表現する基本的な道具だ。実数のべき級数と同様に、複素数のべき級数にも収束する範囲が存在し、...

正則関数の実部と虚部は、どちらも調和関数になります。逆に、調和関数から正則関数を構成することもできます。 調和関数とは 2 変数...

偏角の原理は、関数の零点と極の個数を積分で数える方法です。ルーシェの定理は、この原理を応用して零点の個数を調べます。 偏角の原理...

メビウス変換（一次分数変換）は、円と直線を円と直線に写す等角写像です。複素解析でよく使われる基本的な変換です。 メビウス変換の形...

正則関数による写像は、角度を保存するという特別な性質を持っています。これを等角写像といいます。 等角写像とは 2 つの曲線が点 ...

正則関数の絶対値は、領域の内部で最大値を取れません。最大値があるとすれば、それは境界上にあります。これが最大値原理です。 最大値...

リウヴィルの定理は、有界な整関数は定数であるという驚くべき結果です。この定理から、代数学の基本定理も証明できます。 整関数とは ...

複素関数の特異点には、性質の異なる 3 種類があります。ローラン展開の主要部を見ると、どの種類かがわかります。 孤立特異点とは ...

テイラー展開は正則な点のまわりでの展開でしたが、特異点のまわりでは使えません。代わりにローラン展開を使います。 ローラン展開とは...

留数定理は、特異点を含む経路での複素積分を計算する強力な道具です。コーシーの積分定理が「穴がなければ 0」だったのに対し、留数定...

コーシーの積分公式は、正則関数の値を積分で表す公式です。関数の値やその導関数を、周囲の積分から求められます。 積分公式 $f(z...

複素関数の積分で最も重要な定理がコーシーの積分定理です。正則関数を閉曲線に沿って積分すると、その値は 0 になります。 定理の内...

体上有限生成な環（finitely generated algebra over a field）は、代数幾何学で扱う環の基本的...

代数幾何学では、環の極大イデアルを「点」と見なします。この対応はヌルステレンサッツ（零点定理）に基づいており、代数幾何学の出発点...

局所化（localization）は、環の一部の元を「可逆」にする操作です。幾何学的には、多様体の特定の部分を「拡大して見る」こ...

代数幾何学で「次元が下がる」とは、方程式を課して多様体を切り出すことに対応します。この直感を代数的に理解しましょう。 方程式と次...

アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱...

環をイデアルで割ると、次元はどう変化するでしょうか。一般には次元が下がりますが、どれだけ下がるかはイデアルの性質に依存します。 ...

体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ の Krull 次元は $n$ です。この事実は直感的には...

Krull 次元は素イデアルの包含列（鎖）の長さで定義されます。なぜこのような定義が自然なのか、具体例を通じて理解しましょう。 ...

Krull 次元は、可換環の「大きさ」を測る基本的な不変量です。幾何学的には、対応する代数多様体の次元と一致するように定義されて...

正則局所環と接空間の間には密接な関係があります。接空間の次元が局所環の正則性を判定する鍵となります。 代数的な接空間の定義 代数...