対数不等式の解き方

対数を含む不等式を対数不等式と呼びます。方程式と違って、底が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わる点に注意が必要です。

底と不等号の関係

対数関数の単調性から、次のルールが成り立ちます。

a > 1

のとき

$lo g_{a} A < lo g_{a} B \Leftrightarrow A < B$ （不等号の向きはそのまま）

0 < a < 1

のとき

$lo g_{a} A < lo g_{a} B \Leftrightarrow A > B$ （不等号の向きが逆転）

底が 1 より小さいときに不等号が逆転するのは、グラフが右下がり（単調減少）だからです。

基本例題（ $a > 1$ の場合）

$lo g_{2} (x + 1) < 3$ を解きます。

底 2 は 1 より大きいので、不等号はそのままです。

$lo g_{2} (x + 1) < lo g_{2} 8$

よって $x + 1 < 8$ 、つまり $x < 7$ です。

真数条件 $x + 1 > 0$ より $x > - 1$ も必要なので、解は $- 1 < x < 7$ です。

基本例題（ $0 < a < 1$ の場合）

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) > - 2$ を解きます。

底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので、不等号が逆転します。

$- 2 = lo g_{\frac{1}{2}} 4$ なので、

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) > lo g_{\frac{1}{2}} 4$

不等号を逆転させて $x - 2 < 4$ 、つまり $x < 6$ です。

真数条件 $x - 2 > 0$ より $x > 2$ も必要なので、解は $2 < x < 6$ です。

覚え方

$a > 1$ なら「そのまま」、 $0 < a < 1$ なら「逆転」と覚えましょう。

グラフで確認

$y = lo g_{a} x$ のグラフを思い浮かべると、なぜ不等号が逆転するか理解できます。

両辺が対数の場合

$lo g_{3} (2 x - 1) > lo g_{3} (x + 2)$ を解きます。

底 3 は 1 より大きいので、 $2 x - 1 > x + 2$ より $x > 3$ です。

真数条件は $2 x - 1 > 0$ かつ $x + 2 > 0$ 、つまり $x > \frac{1}{2}$ かつ $x > - 2$ です。

これと $x > 3$ を合わせると、解は $x > 3$ です。

真数条件と解の共通部分

不等式を解く

真数条件を求める

両方を満たす範囲を求める

真数条件を忘れると、存在しない対数を使った「幽霊の解」を出してしまいます。必ず最後に共通部分をとりましょう。

置換を使う場合

$(lo g_{2} x)^{2} - 5 lo g_{2} x + 6 > 0$ を解きます。

$t = lo g_{2} x$ とおくと $t^{2} - 5 t + 6 > 0$ 、 $(t - 2) (t - 3) > 0$ より $t < 2$ または $t > 3$ です。

$lo g_{2} x < 2$ より $x < 4$ 、 $lo g_{2} x > 3$ より $x > 8$ です。

真数条件 $x > 0$ と合わせて、解は $0 < x < 4$ または $x > 8$ です。