対数不等式は定義域と重ねて答える｜高校数学の指数・対数関数

$lo g_{2} (x + 1) < 3$ の解は $- 1 < x < 7$ です。 $x < 7$ だけでは足りません。

不等式を解いて出る範囲と、対数が書ける範囲。この 2 つの重なりが答えになります^[3]。

方程式なら、出た値を範囲と照らして残すだけで済みました。不等式では範囲どうしを重ねる作業になる。

もう 1 つ、方程式にはなかった分かれ道があります。底が $1$ より小さいと不等号の向きが入れかわる。

向きは底で決まる

a > 1

のとき

$lo g_{a} M < lo g_{a} N$ なら $M < N$ 。向きはそのまま真数へ移る

0 < a < 1

のとき

$lo g_{a} M < lo g_{a} N$ なら $M > N$ 。向きが入れかわる

底が $1$ より大きい対数関数は増える一方なので、値の順序が真数の順序とそろいます^[1]。

底が $1$ より小さいと減る一方になり、順序が逆に写る。グラフの向きがそのまま規則になっています。

定義域は解く前に書く

$lo g_{2} (x + 1) < 3$ では、 $x + 1 > 0$ から $x > - 1$ が最初に決まります。

そのうえで $3 = lo g_{2} 8$ と書き直す。底が $1$ より大きいため向きはそのままで、 $x + 1 < 8$ から $x < 7$ 。

$x > - 1 かつ x < 7$

重ねて $- 1 < x < 7$ です。 $x = - 3$ を最初の式に入れると $lo g_{2} (- 2)$ になり、式として成り立ちません。

定義域を書き忘れると、左端が閉じないまま答えになります。図の 1 段目を使わなかった状態です。

例：底が $1$ より小さいとき

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) > - 2$ を解きます。定義域は $x - 2 > 0$ から $x > 2$ 。

右辺を同じ底の対数に直します。 $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ なので $- 2 = lo g_{\frac{1}{2}} 4$ です。

$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) > lo g_{\frac{1}{2}} 4$

底が $1$ より小さいので向きが入れかわり、 $x - 2 < 4$ から $x < 6$ 。定義域と重ねて $2 < x < 6$ になります。

底を $2$ に直しても答えは同じ。 $lo g_{\frac{1}{2}} M = - lo g_{2} M$ なので、 $- lo g_{2} (x - 2) > - 2$ 、両辺を $- 1$ 倍して $lo g_{2} (x - 2) < 2$ 。

不等号を裏返す場面が、対数のところか数の計算のところかに移るだけです。どちらか一方でだけ裏返す。

例：両辺が対数

$lo g_{3} (2 x - 1) > lo g_{3} (x + 2)$ を解きます。定義域は $2 x - 1 > 0$ かつ $x + 2 > 0$ 。

前者から $x > \frac{1}{2}$ 、後者から $x > - 2$ なので、重ねて $x > \frac{1}{2}$ です。

底 $3$ は $1$ より大きいから向きはそのまま。 $2 x - 1 > x + 2$ から $x > 3$ 。

定義域 $x > \frac{1}{2}$ と重ねると $x > 3$ が答えです。今回は定義域のほうが広く、結果に効きませんでした。

効かない場合もありますが、書かずに済ませるわけにはいきません。効くかどうかは重ねてみるまで分からないためです。

例：置きかえて二次不等式にする

$(lo g_{2} x)^{2} - 5 lo g_{2} x + 6 > 0$ を解きます。定義域は $x > 0$ です。

$t = lo g_{2} x$ と置くと $t^{2} - 5 t + 6 > 0$ 、 $(t - 2) (t - 3) > 0$ から $t < 2$ または $t > 3$ ^[1]。

$t$ を戻します。 $lo g_{2} x < 2$ から $x < 4$ 、 $lo g_{2} x > 3$ から $x > 8$ 。

定義域 $x > 0$ と重ねて、答えは $0 < x < 4$ または $x > 8$ です。

戻すときも底の向きが効きます。もし底が $\frac{1}{2}$ なら $lo g_{\frac{1}{2}} x < 2$ は $x > \frac{1}{4}$ になる。

例：法則でまとめる形

$lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 3) < 2$ を解きます。定義域は $x > 0$ かつ $x > 3$ で、 $x > 3$ 。

積の法則でまとめると $lo g_{2} x (x - 3) < 2$ 、つまり $x (x - 3) < 4$ です。

$x^{2} - 3 x - 4 < 0$ から $(x - 4) (x + 1) < 0$ となり $- 1 < x < 4$ 。

定義域と重ねて $3 < x < 4$ が答えになります。まとめる操作でも範囲が広がるので、定義域が効いています。

方程式のときと同じ場所です。 $lo g M + lo g N = lo g (M N)$ が使えるのは $M > 0$ かつ $N > 0$ のときだけ^[2]。

例：定義域が 2 つに割れる

$lo g_{2} (x^{2} - 4) < 3$ を解きます。真数が二次式なので、定義域が 1 本の区間になりません。

$x^{2} - 4 > 0$ から $x < - 2$ または $x > 2$ 。この時点で数直線が 2 つに分かれます。

不等式のほうは $3 = lo g_{2} 8$ で、底が $1$ より大きいから $x^{2} - 4 < 8$ 。 $x^{2} < 12$ から $- 23 < x < 23$ です。

重ねると $- 23 < x < - 2$ または $2 < x < 23$ 。 $23$ はおよそ $3.46$ なので、幅の狭い区間が左右に 1 つずつ残ります。

定義域を書き落とすと、答えが $- 23 < x < 23$ という 1 つの区間になってしまいます。真ん中の $- 2 ≦ x ≦ 2$ では対数そのものが書けません。

グラフで確かめる

$lo g_{2} (x + 1) < 3$ を図で見ると、 $y = lo g_{2} (x + 1)$ が横線 $y = 3$ より下にある範囲を探す作業になります。

交点は $x = 7$ 。左へ行くほど値が下がるので、 $x < 7$ の側が条件を満たす。

ただし曲線が引かれているのは $x > - 1$ から先だけです。左端は $- 1$ で切れており、その手前には何もありません。

図の上では定義域を忘れる余地がない。描かれていないところは、選びようがないためです。

式だけで進めると、この「描かれていない部分」が見えなくなる。定義域を先に書く手続きは、それを文字で押さえておく作業にあたります。

例：底に文字があるとき

$lo g_{a} (x - 1) > 1$ を、 $a$ の値で分けて解きます。定義域は $x > 1$ です。

$1 = lo g_{a} a$ なので、比べる相手は $a$ 。ここから底の位置で 2 通りに分かれます。

$a > 1$ のときは向きがそのままで $x - 1 > a$ 、つまり $x > a + 1$ 。定義域は自動的に満たされます。

$0 < a < 1$ のときは向きが入れかわって $x - 1 < a$ 、 $x < a + 1$ 。定義域 $x > 1$ と重ねて $1 < x < a + 1$ 。

答えの形そのものが変わる。底に文字が入る問題では、場合分けがそのまま解答の組み立てになります。

$lo g_{\frac{1}{3}} (x + 1) ≧ - 1$ の解はどれですか。

$- 1 < x ≦ 2$
$x ≦ 2$
$x ≧ 2$

__RESULT__

定義域は $x + 1 > 0$ から $x > - 1$ です。 $- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ で底が $1$ より小さいため向きが入れかわり、 $x + 1 ≦ 3$ から $x ≦ 2$ 。重ねて $- 1 < x ≦ 2$ になります。

$lo g_{3} x + lo g_{3} (x - 2) < 1$ の解はどれですか。

$- 1 < x < 3$
$2 < x < 3$
$x < 3$

__RESULT__

定義域は $x > 2$ です。まとめて $x (x - 2) < 3$ から $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 、 $(x - 3) (x + 1) < 0$ より $- 1 < x < 3$ 。定義域と重ねて $2 < x < 3$ が残ります。

定義域を書く、底で向きを決める、最後に重ねる。対数不等式は、この 3 つの順序で進みます。

参考

Logarithmic Equations and Inequalities/06%3A_Exponential_and_Logarithmic_Functions/6.04%3A_Logarithmic_Equations_and_Inequalities). Stitz C, Zeager J. Precalculus, Mathematics LibreTexts.

Rechnen mit Logarithmus. Serlo Education.

Graphs of Logarithmic Functions. College Algebra 2e, OpenStax.

$\log_{2}(x+1) < 3$ の答えは $x < 7$ ではなく $-1 < x < 7$ です。不等式を解いて出る範囲と、対数が書ける範囲。この 2 本の帯が重なったところだけが残ります。方程式なら出た値を照らすだけで済みましたが、不等式では範囲どうしを重ねる作業になる。もう 1 つの分かれ道が底の位置で、$1$ より小さいと不等号が入れかわります。真数が二次式で定義域が 2 区間に割れる形、置きかえて戻すときにも向きが効くこと、底に文字が入って場合分けが解答の骨組みになる形まで。