円の方程式（標準形と一般形）

円も直線と同じく方程式で表すことができます。円の方程式には標準形と一般形の2つの表し方があります。

標準形

中心が $(a, b)$ 、半径が $r$ の円の方程式は次のようになります。

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

これを標準形と呼びます。円の定義「中心からの距離が $r$ である点の集合」をそのまま式にしたものです。

中心が原点の場合

中心が原点 $(0, 0)$ のときは、 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ とシンプルになります。

具体例

中心 $(2, - 3)$ 、半径 $4$ の円は $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ です。 $y + 3$ は $y - (- 3)$ なので、符号に注意しましょう。

標準形を展開すると一般形になります。

$x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$

一般形から標準形への変換は、平方完成を使います。

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ を標準形に変換してみましょう。

$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成します。

$(x^{2} - 4 x) + (y^{2} + 6 y) = 3$

$(x^{2} - 4 x + 4) - 4 + (y^{2} + 6 y + 9) - 9 = 3$

$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$

よって中心 $(2, - 3)$ 、半径 $4$ の円です。

標準形

中心と半径がすぐわかる。グラフを描くときに便利。

一般形

展開された形。式の計算で出てきやすい。

3点を通る円の方程式を求めるときは、一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$ に3点の座標を代入し、 $l$ 、 $m$ 、 $n$ についての連立方程式を解きます。

例えば、3点 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(0, 2)$ を通る円を求める場合、それぞれ代入すると

n = 0

16 + 4 l + n = 0

4 + 2 m + n = 0

これを解くと $l = - 4$ 、 $m = - 2$ 、 $n = 0$ となり、円の方程式は $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ です。