方程式を 1 本足すと次元は「1 だけ」下がるのか

方程式を 1 本足すと、次元は 1 だけ落ちる。この期待は半分正しく、半分外れます。

落ちる量は $0$ か $1$ のどちらかで、$2$ 以上落ちることはありません。上からはこう縛られています^[2]。

ところが $0$ しか落ちない場合があります。切った式が新しい条件になっていないときです。

以下では落ちる場合と落ちない場合を並べ、きちんと落ちる条件を正則列という言葉でつかまえます。

標高定理が上限を与える

ネーター環 $R$ と元 $f$ をとります。$(f)$ の上に極小な素イデアルは、高さが $1$ 以下です^[2]。

これをクルルの主イデアル定理といいます。標高定理の $n=1$ の場合にあたります。

幾何の言葉では、$1$ 本の式で切った図形の各成分は、余次元が $1$ 以下だということです。

したがって $\dim R/(f)\ge \dim R-1$ が成り立ちます。$2$ 以上は落ちません。

上限の側は $\dim R/(f)\le \dim R$ です。商をとると素イデアルが減るためです。

落ちるか落ちないかを分けるもの

$f$ が単元なら $R/(f)=0$ で、これは例外です。空集合を切り出したことになります。

$f$ が零因子でも単元でもなければ、次元はちょうど $1$ 落ちます。$R$ が体上有限生成な整域なら、この形になります^[3]。

$f$ が零因子なら落ちないことがあります。ある成分をまるごと残してしまうためです。

$f=0$ なら $R/(f)=R$ で、まったく落ちません。何も課していないので当然です。

分かれ目は零因子かどうか。この 1 点に集約されます。

例: きちんと落ちる

$R=k[x,y,z]$ は $3$ 次元です。$f=z-xy$ で切りましょう。

$R/(f)\cong k[x,y]$ で次元は $2$、ちょうど $1$ 落ちています。$f$ は整域 $R$ の中で $0$ でないので零因子ではありません。

もう 1 本足します。$g=y$ を加えると $k[x]$ になり、次元は $1$ です。

3 本目に $h=x$ を足すと $k$ になり、次元は $0$。$3$ 本の式で $3$ 段落としました。

整域の中では、$0$ でない元はすべて非零因子です。だから $1$ 本ごとにきちんと落ちます。

例: 落ちない

$R=k[x,y]/(xy)$ を考えます。図形は $x$ 軸と $y$ 軸の和で、次元は $1$ です。

$f=x$ で切りましょう。$R/(x)=k[x,y]/(xy,x)\cong k[y]$ になります。

次元は $1$ のままです。$x$ は $R$ の中で零因子で、$x\cdot y=0$ が成り立ちます。

図形の側で見ると、$x=0$ という条件は $y$ 軸をそのまま残します。細くなっていません。

零因子で切ると、成分を選び出すだけで終わる。これが落ちない仕組みです。

切るたびに細くなる

うまく切れる場合を絵にします。

左から順に、空間・立体・曲面・点と細くなっています。式を 1 本ずつ足した結果です。

どの段でも、足した式が前の段の環で零因子になっていません。だからきちんと落ちます。

正則列

いまの条件に名前を付けます^[1]。

$f_1,\dots ,f_r\in R$ が正則列であるとは、次の 2 つが成り立つことです。

正則列なら次元はちょうど $r$ 落ちます。各段で 1 ずつ落ちるためです。

$k[x,y,z]$ で $x,y,z$ をとると正則列です。$R/(x)\cong k[y,z]$ の中で $y$ は非零因子、その先も同様になります。

順番に条件を確かめる形になっている点が要です。$f_i$ だけを見ても判定できません。

順序を変えると崩れる

正則列は、並べ替えると正則でなくなることがあります^[1]。

$R=\mathbb{C}[x,y,z]$ で $x$、$y(1-x)$、$z(1-x)$ をとると正則列になります。

順序を変えて $y(1-x)$、$z(1-x)$、$x$ とすると正則列ではありません。2 番目の段で零因子が現れます。

$R/(y(1-x))$ の中で、$z(1-x)$ を掛けて $0$ になる元があるためです。図形が 2 つの成分に割れ、片方が丸ごと残ります。

ネーター局所環で、$f_i$ がすべて極大イデアルに入っていれば、並べ替えても正則列のままです^[1]。局所化しておけば順序を気にせずに済みます。

1 本ずつ切る

切っていく手順を動かします。

球面から始めて $z=0$ で切ると円、さらに $y=0$ を足すと 2 点になります。

$1$ 本ごとに次元が $1$ ずつ落ちています。$x^2+y^2+z^2-1$、$z$、$y$ が正則列になっているためです。

最後に残るのが点で、次元は $0$ です。もう 1 本足すと空になり、そこから先は落としようがありません。

完全交叉

余次元 $r$ の図形が、ちょうど $r$ 本の式で書けるとき完全交叉といいます。

正則列で定義される図形は完全交叉です。上の球面と平面の例がそれにあたります。

$r$ 本より少ない本数では書けません。標高定理から、余次元が本数以下に押さえられるためです^[2]。

逆に、$r$ 本では足りない図形もあります。ねじれ 3 次曲線が有名な例です。

${\mathbb{P}}^3$ の中の余次元 $2$ の曲線ですが、定義イデアルの生成に $3$ 本の 2 次式が要ります。$2$ 本では生成しきれません。

深さとコーエン・マコーレー環

正則列の長さにも名前があります^[1]。

イデアル $I$ に含まれる正則列の長さの上限を、深さといいます。$\mathrm{depth}I$ と書く。

いつでも $\mathrm{depth}\mathfrak{m}\le \dim R$ が成り立ちます。等号が成り立つ環をコーエン・マコーレー環といいます^[1]。

コーエン・マコーレーなら、次元のぶんだけ正則列がとれます。切りたいだけ切れる、という状態です。

正則局所環はコーエン・マコーレーです。正則パラメータ系がそのまま正則列になります。

例: 冪零元で切る

零因子のうち、冪零なものは特別な振る舞いをします。

$R=k[x,y]$ を $(x^2)$ で割りましょう。$R/(x^2)=k[x,y]/(x^2)$ です。

$\sqrt{(x^2)}=(x)$ なので、台は $y$ 軸です。次元は $1$ で、$1$ 落ちています。

$(x)$ で割っても次元は $1$ です。冪零元は素イデアルにすべて含まれるので、次元には効きません^[2]。

図形としては同じでも、環としては違います。$k[x,y]/(x^2)$ には $x\ne 0$ で $x^2=0$ という元があり、直線を「太らせた」形になっている。

次元だけを見ていると、この違いは見えません。

練習

零因子かどうかを先に確かめる。この 1 手で結果が読めます。

よくある誤り

まとめます。

切る式が前の段で零因子かどうか。確かめる場所はここ 1 か所です。

参考文献