次元が下がるとはどういうことか

代数幾何学で「次元が下がる」とは、方程式を課して多様体を切り出すことに対応します。この直感を代数的に理解しましょう。

方程式と次元

$n$ 次元アフィン空間 $A^{n}$ から出発し、多項式方程式 $f = 0$ を課すと、一般には $(n - 1)$ 次元の超曲面が得られます。さらに方程式を追加するごとに次元が下がり、最終的には点（0次元）になります。

代数的には、座標環を見ると

$k [x_{1}, \dots, x_{n}] \to k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}) \to k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, f_{2}) \to \dots$

と商を取っていくことになり、各段階で Krull 次元が下がります。

次元が期待通り下がる場合

正則列

$f_{1}, \dots, f_{r}$ が正則列（regular sequence）をなすとき、各 $f_{i}$ は前のイデアル $(f_{1}, \dots, f_{i - 1})$ に対して零因子でありません。このとき次元はちょうど $r$ 下がり、 $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{r}) = n - r$ となります。

完全交叉

余次元 $r$ の多様体が $r$ 個の方程式で定義されるとき、完全交叉（complete intersection）と呼びます。正則列で定義される多様体は完全交叉です。

次元が期待より高くなる場合

方程式の本数と次元の落ち方が一致しないこともあります。

例えば、 $k [x, y, z]$ で $(x, y) \cap (z)$ を考えます。これは「 $x = y = 0$ または $z = 0$ 」という条件で、 $z$ 軸と $x y$ 平面の和集合です。方程式は $x z = yz = 0$ と書けますが、2本の方程式から次元が2だけ落ちるわけではなく、得られる多様体は2次元です。

次元が落ちない場合

イデアルがべき零元だけを含む場合、商を取っても次元は変わりません。例えば $k [x] / (x^{2})$ は $dim k [x] / (x^{2}) = 0$ で、 $dim k [x] = 1$ から下がっていますが、これは $(x^{2})$ に素元 $x$ の情報が含まれているからです。

$k [x, y] / (x^{2})$ では $dim k [x, y] / (x^{2}) = 1$ となり、 $k [y]$ と同じ次元です。 $x^{2} = 0$ という条件は幾何学的には $x = 0$ という直線を「太らせた」ものですが、次元としては1次元のままです。

まとめ

次元が下がるのは、本質的に新しい制約が加わったときです。方程式が既存の方程式から導かれたり、零因子を含んでいたりすると、期待通りには次元が下がりません。正則列の概念は、「次元がきちんと下がる」条件を代数的に特徴付けています。