最大値原理で正則関数の振る舞いを調べる

正則関数の絶対値は、領域の内部で最大値を取れません。最大値があるとすれば、それは境界上にあります。これが最大値原理です。

最大値原理

$f(z)$ が有界閉領域 $\overline{D}$ で連続で、内部 $D$ で正則であるとき、$|f(z)|$ の最大値は境界 $\partial D$ 上で達成されます。

さらに強い形として、もし $|f(z)|$ が内部の点で最大値を取るなら、$f$ は定数です。

なぜ内部で最大を取れないのか

コーシーの積分公式から導かれる平均値の性質を思い出してください。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+r{e}^{i\theta })d\theta$$

$|f(a)|$ が周囲の値より大きいなら、平均値が最大値より小さくなってしまいます。しかし正則関数では中心の値が平均に等しいので、矛盾が生じます。

具体例

$f(z)=z^2$ を閉円板 $|z|\le 1$ で考えます。

$|f(z)|=|z{|}^2$ なので、最大値は $|z|=1$ のとき、つまり境界上で達成されます。内部のどの点でも $|f(z)|<1$ です。

定数でない正則関数の開写像性

最大値原理の結果として、定数でない正則関数は開写像になります。つまり、開集合の像は開集合です。

閉写像にはなれません。閉円板の像を考えると、境界の像が像全体の境界になり、内部の点は内部に移ります。

最小値原理

$f(z)\ne 0$ のとき、$|f(z)|$ の最小値も境界上で達成されます。

$g(z)=1/f(z)$ を考えると、$g$ も正則で、$|g|$ の最大値は境界上にあります。これは $|f|$ の最小値が境界上にあることを意味します。

ただし、$f$ が領域内で零点を持つ場合は、その点で $|f|=0$ となるので、最小値は内部で達成されます。

シュワルツの補題

最大値原理の応用として有名なのがシュワルツの補題です。

$f(z)$ が単位円板 $|z|<1$ で正則で、$f(0)=0$、$|f(z)|<1$ を満たすとき

$$|f(z)|\le |z|,|f^{\prime }(0)|\le 1$$

が成り立ちます。さらに、どこかで等号が成り立てば $f(z)=e^{i\theta }z$ という回転になります。

これは $g(z)=f(z)/z$ に最大値原理を適用して証明できます。

調和関数の最大値原理

正則関数の実部・虚部である調和関数にも最大値原理が成り立ちます。調和関数 $u(x,y)$ の最大値・最小値は境界上で達成されます。

熱伝導方程式の定常解が調和関数なので、「温度は境界の温度を超えない」という物理的直感とも合います。