絶対値の「山」はなぜ境界にしか立たないのか（最大値原理と開写像定理）

定数でない正則関数の絶対値は、領域の内部で最大になれません。最大があるとすれば、それは境界の上です^[1]。

山を作れない、と言い換えてもよい。$|f|$ の値を高さに見立てると、どこにも頂上ができず、いちばん高い場所は必ず縁になります。

実の 2 変数関数ではふつうに山ができます。$1-x^2-y^2$ は原点で最大。正則関数だけが、この自由を失っています。

原因は平均値の性質です。中心の値が円周上の値の平均に等しいので、中心だけが飛び抜けて高いという状況が作れない^[6]。

定理の形

$D$ を連結な開集合とし、$f$ を $D$ で正則とします。ある点 $z_0\in D$ の近くで $|f(z_0)|\ge |f(z)|$ が成り立つなら、$f$ は $D$ 全体で定数です。

この形の強さは、局所的な最大まで許さないところにあります。ひとつでも山の頂があれば、関数は平らになるしかない。

$D$ が有界で、$f$ が閉包まで連続に延びるときは、次の形で使われます。

$$\underset{z\in \overline{D}}{\max }|f(z)|=\underset{z\in \partial D}{\max }|f(z)|$$

閉包はコンパクトなので最大値は必ずどこかでとれます。その場所が境界に限られる、という主張です^[2]。

平均値の性質から

コーシーの積分公式を円周でパラメータ表示すると、中心の値が周上の値の平均になります。

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+r{e}^{i\theta })d\theta$$

絶対値をとって三角不等式を当てると、次の不等式が出ます。

$$|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|f(z_0+r{e}^{i\theta })|d\theta$$

もし $|f(z_0)|$ が近くでの最大なら、右辺の被積分関数は $|f(z_0)|$ 以下です。すると右辺は $|f(z_0)|$ 以下になり、上の不等式と合わせて等号が成り立つ。

連続関数の積分で等号が出るには、周上のすべての点で $|f|=|f(z_0)|$ でなければなりません。半径を動かせるので、小さな円板全体で $|f|$ が一定になる。

$|f|$ が一定なら $f$ 自身も定数です。実部と虚部を $u$、$v$ とすると $u^2+v^2$ が一定で、これを偏微分してコーシー・リーマンの方程式を当てると $u$ と $v$ の偏導関数がすべて消える。

小さな円板で定数だと分かれば、一致の定理で $D$ 全体へ広がります。連結性が効くのはこの一歩。

開写像定理から

もう一つの筋は開写像定理です。定数でない正則関数は、開集合を開集合へ写す^[3]。

$$f(U)\text{ は開集合}(U\text{ は開集合})$$

証明はルーシェの定理を使います。$g(z)=f(z)-w_0$ の零点は孤立しているので、小さな閉円板をとって境界上で $|g|\ge \epsilon$ とできる。

$|w_1-w_0|<\epsilon$ なら、境界の上で $|(f-w_1)-(f-w_0)|=|w_1-w_0|<|f-w_0|$ です。ルーシェから $f-w_1$ も内部に零点を持ちます^[4]。

つまり $w_0$ を中心とする半径 $\epsilon$ の円板がまるごと像に入る。像の点はどれも内点になります。

ここから最大値原理はすぐ出ます。$|f(z_0)|$ が最大なら、$f(z_0)$ のまわりの小さな円板が像に含まれるはずですが、その円板には $|w|>|f(z_0)|$ となる点があるため。

像がつぶれないという性質が要です。実関数なら $x\mapsto x^2$ が区間 $(-1,1)$ を $[0,1)$ へ写し、端が閉じてしまう。複素では起きません。

例：閉円板での $z^2$

$f(z)=z^2$ を $|z|\le 1$ で考えます。$|f(z)|=|z{|}^2$ なので、値は $|z|$ だけで決まる。

最大は $|z|=1$ のときの $1$ で、境界上のすべての点で達成されます。内部では $|f|<1$。

内部に $|f|$ の山がひとつもないことが、直接見てとれる例です。

例：長方形での $e^z$

$z=x+iy$ とすると $|e^z|=e^x$ です。虚部はまったく効かない。

長方形 $0\le x\le 2$、$0\le y\le \pi$ での最大は $e^2$ で、右の辺全体で達成されます。最小は左の辺で $1$。

どちらも境界の上にあります。内部の点では $1<|e^z|<e^2$ に収まる。

最小値原理

最小のほうは、条件がひとつ増えます。$f$ が領域内で零点を持たなければ、$|f|$ の最小も境界でとる。

証明は $1/f$ に最大値原理を当てるだけ。零点がないので $1/f$ が正則になり、$|1/f|$ の最大が $|f|$ の最小に対応します。

零点があれば話は別です。その点で $|f|=0$ になり、最小は内部でとられる。

例：零点があると最小が内部に来る

$f(z)=z$ を $|z|\le 1$ で考えます。$|f|$ の最小は原点での $0$。

原点は内部の点なので、最小値原理の結論から外れています。$f$ が原点で零点を持つため。

$g(z)=z+2$ なら零点が円板の中にありません。$|g|$ の最小は $z=-1$ での $1$ で、境界の上に来ます。

一致の判定

差をとると、一意性の議論に使えます。$f$ と $g$ が閉領域で連続、内部で正則、境界で一致するとする。

$h=f-g$ は境界で $0$ なので、$|h|$ の最大が $0$ です。最大値原理から内部でも $|h|\le 0$ となり、$h\equiv 0$。

境界の値だけで内部が決まってしまう。物理でいえば、境界条件が解を一つに決めるという話にあたります。

シュワルツの補題

単位円板から単位円板への写像に、最大値原理を当てた結果があります。

$f$ が $|z|<1$ で正則、$|f(z)|\le 1$、$f(0)=0$ とする。このとき次の 2 つが成り立ちます^[5]。

$$|f(z)|\le |z|,|f^{\prime }(0)|\le 1$$

証明は $g(z)=f(z)/z$ を作る流れです。$f(0)=0$ なので原点は除去可能特異点になり、$g$ は円板全体で正則。

半径 $r<1$ の円周上では $|g|\le 1/r$ です。最大値原理から円板の内側でも同じ評価が成り立ち、$r\to 1$ とすれば $|g|\le 1$ が出ます。

等号の場合も決まります。どこか 1 点で $|f(z)|=|z|$ になるか、$|f^{\prime }(0)|=1$ になれば、$f$ は回転です。

$$f(z)=e^{i\alpha }z$$

$|g|\le 1$ の内点で最大 $1$ をとることになるので、最大値原理から $g$ が定数になる。その定数の絶対値が $1$ なので、回転の形に決まります。

シュワルツ・ピックの定理

原点が原点へ行くという条件を外した形もあります。単位円板から単位円板への正則写像について、次が成り立つ。

$$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$$

左辺と右辺は、双曲的な距離のはかり方に対応します。円板の自己写像は、この距離を縮めることしかできない。

等号が成り立つのは、写像が円板の自己同型のときだけです。メビウス変換の形に限られます^[5]。

調和関数でも同じことが起きる

正則関数の実部と虚部は調和関数です。調和関数にも最大値原理が成り立ちます。

$u$ が領域で調和で定数でないなら、$u$ の最大も最小も境界でとる。絶対値ではなく値そのものについての主張になります。

証明は平均値の性質から同じ流れ。調和関数も、中心の値が円周上の平均に等しい。

熱の定常分布が調和関数なので、内部の温度が境界の温度を超えない、という直観と一致します。

境界条件が解を決める

調和関数の最大値原理から、境界の値を決めれば内部が一つに決まることが出ます。

2 つの解の差をとると、境界で $0$ の調和関数です。最大も最小も境界でとるので、内部でも $0$ しかない。

境界値を与えて内部の調和関数を求める問題は、この一意性のおかげで意味を持ちます。物理の問題設定が成り立つ理由もここ。

よくある誤り

平均という一つの性質から、これだけの結論が並びます。正則関数が境界に支配されるという事実は、コーシーの積分公式のときからずっと同じことを言い続けている^[7]。

参考文献