コーシーの積分公式と正則関数の値の計算

コーシーの積分公式は、正則関数の値を積分で表す公式です。関数の値やその導関数を、周囲の積分から求められます。

積分公式

$f(z)$ が閉曲線 $C$ とその内部で正則であるとき、内部の任意の点 $a$ について

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$$

が成り立ちます。

この公式の驚くべき点は、関数の値が周囲の情報だけで完全に決まることです。正則関数には強い「剛性」があると言えます。

導関数への拡張

$n$ 階導関数についても同様の公式があります。

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

この公式から、正則関数は何回でも微分可能で、導関数もまた正則であることがわかります。

具体例：関数値の計算

$f(z)=e^z$ として、原点での値をコーシーの積分公式で求めてみます。$C$ を単位円 $|z|=1$ とすると

$$f(0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz$$

$f(0)=e^0=1$ なので

$${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz=2\pi i$$

が得られます。

具体例：導関数の計算

$f(z)=\sin z$ の $z=0$ での 2 階導関数を求めます。

$$f^{\prime \prime }(0)=\frac{2!}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^3}dz$$

$(\sin z{)}^{\prime \prime }=-\sin z$ なので $f^{\prime \prime }(0)=-\sin 0=0$ です。したがって

$${\oint }_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^3}dz=0$$

平均値の性質

コーシーの積分公式を $z=a+r{e}^{i\theta }$ でパラメータ表示すると

$$f(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+r{e}^{i\theta })d\theta$$

となります。これは、正則関数の中心での値が、周上の値の平均に等しいことを示しています。

積分公式の応用

コーシーの積分公式は、複素解析の多くの定理の基礎になっています。リウヴィルの定理、モレラの定理、テイラー展開の存在証明など、さまざまな結果がここから導かれます。

また、実用面では、複雑な積分の計算に使えます。被積分関数が $f(z)/(z-a)$ の形をしていれば、$f(a)$ を計算するだけで積分値がわかります。