円周の値だけで中身が決まる、コーシーの積分公式と導関数の公式

正則関数の値は、その点を囲む円周の値だけで決まります。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$$

内部をのぞかずに、まわりを一周しただけで中心の値が出てくる。コーシーの積分公式と呼ばれる関係です^[1]。

実関数にはこんな性質がありません。区間の両端で値を決めても、内部は自由に動かせる。正則関数は境界と内部が固く結びついていて、境界を決めた時点で内部も決まってしまいます。

この固さが複素解析の性格そのものです。以下に並ぶ定理のほとんどは、この公式の言い換えか、そこからの一歩。

公式の形と条件

$f$ が単純閉曲線 $C$ とその内部を含む領域で正則で、点 $a$ が $C$ の内部にあるとき、冒頭の等式が成り立ちます。$C$ は反時計回りにとる。

条件は 3 つ。$C$ が自分自身と交わらない閉曲線であること、$a$ が内部にあること、$f$ が $C$ と内部で正則であることです。

$a$ が $C$ の外にあると答えが変わる。被積分関数 $f(z)/(z-a)$ が $C$ の内部で正則になるので、値は $0$ になります^[2]。

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz=0(a\text{ は }C\text{ の外})$$

内か外かだけで答えが 2 通りに分かれる。位置関係を確かめずに公式を当てると、ここで間違えます。

例：$e^z$ の原点での値

$C$ を単位円、$f(z)=e^z$、$a=0$ とします。$e^z$ は整関数なので条件を満たす。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz=2\pi i{e}^0=2\pi i$$

被積分関数を展開して項ごとに積分してもよいのですが、公式なら $f(0)$ を読むだけで終わります。

分母の $z$ を $z-3$ に変えると答えは $0$。$3$ は単位円の外にあり、被積分関数が単位円の内部で正則になるためです。

なぜ成り立つのか

被積分関数 $f(z)/(z-a)$ は $a$ を除いて正則です。だから積分路を、$a$ を囲んだまま自由に動かせる。

$C$ を $a$ 中心の半径 $\rho$ の小さな円 $C_{\rho }$ へ縮めても、値は変わりません^[3]。

縮めたところで、被積分関数を 2 つに分けます。

$${\oint }_{C_{\rho }}\frac{f(z)}{z-a}dz=f(a){\oint }_{C_{\rho }}\frac{dz}{z-a}+{\oint }_{C_{\rho }}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz$$

第 1 項の積分は半径によらず $2\pi i$ なので、$2\pi if(a)$ になります。

第 2 項は長さによる評価で消える。$f$ の連続性から $\rho$ を小さくすれば $|f(z)-f(a)|\le \epsilon$ にでき、分母の大きさは $\rho$、経路の長さは $2\pi \rho$ です。

$$\left|{\oint }_{C_{\rho }}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz\right|\le \frac{\epsilon }{\rho }\cdot 2\pi \rho =2\pi \epsilon$$

$\epsilon$ はいくらでも小さくできるので、第 2 項は $0$ です。残った第 1 項が公式そのもの。

導関数の公式

$a$ について微分を繰り返すと、導関数の公式が出ます。積分記号の下で $1/(z-a)$ を $a$ で微分するだけ。

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

グルサーの公式と呼ぶこともあります。$n=0$ とすれば、もとの積分公式に戻る。

微分と積分の順序交換は、被積分関数が $a$ について一様に振る舞うことから正当化されます。差分商を作って評価すれば、極限の存在も直接示せる。

例：$\sin z$ の 2 階導関数から積分を出す

$f(z)=\sin z$、$a=0$、$n=2$ で公式を使います。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^3}dz=\frac{2\pi i}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)$$

$(\sin z{)}^{\prime \prime }=-\sin z$ なので $f^{\prime \prime }(0)=0$、積分も $0$ です。

$z^3$ を $z^2$ に変えると話が変わる。$n=1$ になり $f^{\prime }(0)=\cos 0=1$ なので、積分は $2\pi i$ になります。

1 回微分できれば無限回微分できる

導関数の公式が意味するのは、正則関数が自動的に何回でも微分できるという事実です。$f^{\prime }$ の存在だけを仮定したのに、$f^{\prime \prime }$ も $f^{\prime \prime \prime }$ も出てくる。

実関数ではまったく成り立ちません。$g(x)=x|x|$ は $1$ 回微分できて $g^{\prime }(x)=2|x|$ ですが、原点で $2$ 回目は無理です。

差を生むのは、複素微分可能という条件が 2 次元のあらゆる方向からの極限を要求すること。方向を選べる実関数の微分より、はるかにきつい条件です。

テイラー展開が出てくる

積分公式から、正則関数がべき級数に開けることも出ます。$1/(z-a)$ を $a_0$ のまわりで等比級数に展開する。

$$\frac{1}{z-a}=\frac{1}{(z-a_0)-(a-a_0)}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(a-a_0{)}^n}{(z-a_0{)}^{n+1}}$$

$|a-a_0|<|z-a_0|$ なら収束します。これを積分公式に入れて項別積分すると、係数に導関数の公式が現れる。

$$f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(a-a_0{)}^n,c_n=\frac{f^{(n)}(a_0)}{n!}$$

正則であることと、べき級数に展開できることが同じ意味になる。実関数では、何回でも微分できるのに級数が関数に一致しない例が作れます。

収束半径はいちばん近い特異点まで

テイラー級数が収束する範囲は、展開の中心からいちばん近い特異点までの距離で決まります。

級数が特異点を飛び越えて収束することはありません。飛び越えたなら、そこで関数が正則になってしまう。

例：実軸では見えない特異点

$1/(1+x^2)$ は実軸のどこでも滑らかで、値も有限です。それなのに原点まわりのテイラー級数は $|x|<1$ でしか収束しない。

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

実数の範囲だけを見ていると、$1$ で止まる理由がどこにもありません。複素平面へ出ると $\pm i$ に極があり、原点からの距離がちょうど $1$。

収束半径が実軸上の様子と合わないときは、たいてい虚軸の側に原因があります。

コーシーの評価式

導関数の公式に長さによる評価を当てると、導関数の大きさに上界が付きます。半径 $R$ の円周上で $|f|\le M$ とする。

$$|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M}{R^n}$$

分母の $R^n$ が効くので、$f$ が広い範囲で有界なら高次の導関数は小さく抑えられます。

べき級数の係数で書けば $|c_n|\le M/R^n$。テイラー係数が半径のべきで抑えられる、という形になります^[8]。

例：評価式から関数を決める

整関数 $f$ が $|f(z)|\le 5|z{|}^2$ を満たすとします。$R$ 上での上界は $5R^2$ なので、係数の評価は $|c_n|\le 5R^{2-n}$。

$n\ge 3$ では $R\to \infty$ で右辺が $0$ へ行き、$c_n=0$ が出ます。したがって $f$ は 2 次以下の多項式。

$z=0$ を代入すると $|f(0)|=0$ なので定数項も消え、$f(z)=c_{1}z+c_2{z}^2$ の形に決まります。

リウヴィルの定理

評価式で $n=1$ とすると $|f^{\prime }(a)|\le M/R$ です。$f$ が整関数で全平面で $|f|\le M$ なら、$R$ をいくらでも大きくとれる。

したがって $f^{\prime }(a)=0$ がすべての点で成り立ち、$f$ は定数です。有界な整関数は定数しかない、という強い結論が出ます^[5,6]。

証明に使ったのは積分公式だけ。$1$ 行の不等式から、これだけの主張が出てくるところに公式の力が出ています。

平均値の性質

積分公式で $C$ を $a$ 中心の円にとり、$z=a+r{e}^{i\theta }$ とパラメータ表示します。$dz=ir{e}^{i\theta }d\theta$ を入れると、分母と分子で $r{e}^{i\theta }$ が約分される。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+r{e}^{i\theta })d\theta$$

中心での値が、円周上の値の平均に等しい。半径 $r$ は円が領域に収まるかぎり自由です。

実部と虚部に分ければ、調和関数についての平均値の性質も同時に出ます。

最大値原理へ

平均値の性質から、$|f|$ が内部の点で最大になれないことが出ます。平均が最大値と等しくなるには、周上の値がすべて最大値に張り付くしかない。

そこから $f$ が定数だと結論できます。定数でない正則関数の絶対値は、必ず境界で最大をとる^[7]。

熱の定常分布が境界の温度を超えない、という物理の直観と同じ形をしています。

モレラの定理

逆向きの主張も成り立ちます。領域で連続な $f$ について、どの三角形の周にそう積分も $0$ なら $f$ は正則です。

積分だけで正則性が判定できるので、極限や積分で作った関数を扱うときに効きます^[4]。

導関数の列も導関数へ収束します。実関数では、微分可能な関数の一様極限が微分可能とは限りません。

例：積分で作った関数が正則になる

$g(z)={\int }_0^1\frac{e^{tz}}{1+t^2}dt$ を考えます。三角形の周にそう積分を作り、フビニの定理で順序を入れ替える。

内側は $t$ を止めた $e^{tz}$ の周積分なので $0$ です。したがって外側も $0$ になり、モレラの定理から $g$ は整関数。

同じ筋で、ガンマ関数やゼータ関数の正則性も示せます。定義が積分や級数で与えられる関数では、この道具がよく効く。

よくある誤り

最後の 2 つは同じ根から出ています。積分公式は $f$ を線形にとり出す式なので、絶対値を先にとると等式が不等式へ落ちてしまう。

正則関数の値が境界に支配されるという性質は、ここから先の理論をずっと支えます。有界な整関数が定数になることも、絶対値の最大が境界に立つことも、出発点はこの一つの積分です。

参考文献