局所化で何が見え、何が隠れるか、分母を許すという操作

局所化は、選んだ元を可逆にする操作です。分母に使ってよい元を増やす、と言い換えられます。

分母が増えると関数は増えます。同時に、その分母が $0$ になる点は見えなくなる。

見えるものと隠れるものが同時に決まります。以下では定義を整えてから、何が残り何が消えるかを例で追います。

定義

$R$ を可換環、$S\subset R$ を乗法的集合とします。$1\in S$ で、積について閉じている集合のことです。

$R\times S$ に次の同値関係を入れます^[1]。

$$(r_1,s_1)\sim (r_2,s_2)⟺\exists t\in S,t(s_1{r}_2-s_2{r}_1)=0$$

商集合を $S^{-1}R$ と書き、$(r,s)$ の類を $r/s$ と記します。和と積は分数の計算と同じ形です。

$t$ を掛ける余地を残している点が要です。$S$ に零因子が入っていると、この $t$ がないと推移律が壊れます。

例: $t$ が効く場面

$R=k[x,y]/(xy)$、$S=\{1,x,x^2,\dots \}$ としましょう。

$y/1$ と $0/1$ を比べます。$x\cdot (1\cdot 0-1\cdot y)=-xy=0$ なので、$t=x$ をとれば同値です。

つまり $R_x$ の中では $y=0$ になります。$xy=0$ で $x$ が可逆だからです。

$$R_x\cong k[x,x^{-1}]$$

$y$ 軸の成分が丸ごと消えました。$x\ne 0$ という条件が、$y$ 軸を視界から外しています。

零因子を可逆にすると、こういうことが起きる。分母に何を許すかで、見える図形が変わります。

2 つの代表的な局所化

よく使う $S$ は 2 通りです。

$\mathfrak{p}$ が素だから $S$ が積で閉じます。$a,b\notin \mathfrak{p}$ なら $ab\notin \mathfrak{p}$ が素の定義そのものです。

前者は開集合、後者は点の近傍。どちらも「一部だけを見る」操作になっています。

素イデアルの対応

局所化で素イデアルがどう変わるかを見ます^[1]。

$S^{-1}R$ の素イデアルは、$S$ と交わらない $R$ の素イデアルと 1 対 1 に対応します。

$S=\{1,f,\dots \}$ なら、$f$ を含まない素イデアルだけが残ります。幾何では $D(f)$ の点です。

$S=R\setminus \mathfrak{p}$ なら、$\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルだけが残ります。$\mathfrak{p}$ より下の鎖しか生き延びません。

したがって $\dim R_{\mathfrak{p}}=\mathrm{ht}\mathfrak{p}$ です^[2]。局所化すると、上向きの鎖が切り落とされます。

局所環になる理由

$R_{\mathfrak{p}}$ が局所環であることを確かめます。

$r/s\in R_{\mathfrak{p}}$ が単元であることと、$r\notin \mathfrak{p}$ であることが同値です。$r\notin \mathfrak{p}$ なら $s/r$ が逆元になるためです。

単元でない元の全体は $\{r/s:r\in \mathfrak{p}\}=\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ で、これはイデアルです。

単元でない元の全体がイデアルをなす環は局所環でした。したがって $R_{\mathfrak{p}}$ は局所環で、極大イデアルは $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ です。

$\mathfrak{p}$ 以外の素イデアルは、$\mathfrak{p}$ に含まれるものだけが残り、すべて極大ではなくなります。1 点だけが特別扱いされる形です。

見える範囲を絵にする

$D(f)$ がどこを見ているかを描きます。

白丸が $f$ の零点で、$D(f)$ から抜けています。残った青い部分の上で $1/f$ が定義されます。

抜いた点のぶんだけ、使える関数が増える。この交換が局所化の中身です。

点の近くへ寄る

$\mathfrak{p}$ での局所化を、拡大として動かします。

赤い点が局所化する場所です。寄るほど、ほかの点が枠から出ていきます。

環の側では、それらの点で消える関数が可逆になります。$0$ でない値をとる関数として扱えるためです。

極限まで寄せた姿が茎です。${\mathcal{O}}_{X,\mathfrak{p}}=R_{\mathfrak{p}}$ が構造層の茎になります^[3]。

完全関手であること

局所化には、扱いやすさを支える性質があります^[1]。

完全列を局所化すると、また完全列になります。核も像も余核も、局所化と交換します。

したがって $S^{-1}R$ は $R$ 上平坦加群です。テンソルしても完全性が崩れません。

計算面では、商と局所化を入れ替えてよいことになります。$S^{-1}(R/I)\cong S^{-1}R/S^{-1}I$ が成り立つ。

準連接層の理論が回るのも、この性質のおかげです。開集合を絞る操作が、加群の側の局所化とぴったり対応します。

普遍性

局所化は普遍性で特徴づけられます^[1]。

$f:R\to T$ が $S$ の元をすべて単元へ送るなら、$g:S^{-1}R\to T$ がただ 1 つあって $f=g\circ j$ となります。ここで $j$ は自然な写像です。

「$S$ を可逆にする最小の環」という言い方ができます。余計なものを足していません。

$j$ は単射とは限りません。$S$ に零因子が入っていると、核が出てきます。さきほど $y$ が消えたのがその例です。

$S$ に $0$ が入ると $S^{-1}R$ は零環になります。$0$ を可逆にすると全部つぶれるためです。

局所的な性質

多くの性質は、すべての局所化で確かめれば十分です^[1]。

局所的でない性質もあります。整域であることは、局所化で確かめられません。

$k[x,y]/(xy)$ は整域ではありませんが、原点以外の点で局所化するとどれも整域になります。原点でだけ整域でない。

貼り合わせて元へ戻すときに、この差が出ます。局所で見えないものがある、という例です。

例: 次元がどう落ちるか

局所化による次元の変化を計算します。

$R=k[x,y,z]$、$\mathfrak{p}=(x)$ とすると $\dim R_{\mathfrak{p}}=\mathrm{ht}(x)=1$ です。$3$ 次元から $1$ へ落ちます。

$\mathfrak{m}=(x,y,z)$ でとれば $\dim R_{\mathfrak{m}}=3$ です。極大イデアルで局所化しても次元は落ちません。

$R_f$ では落ちないことが多い。$D(f)$ が空でなければ、$\dim R_f=\dim R$ が既約の場合に成り立ちます。

開集合をとるか点をとるかで、結果が大きく変わります。前者は広さを保ち、後者は 1 点へ絞ります。

練習

よくある誤り

まとめます。

分母に何を許したか、それだけを追えば見える範囲が決まります。

参考文献