なぜ正則関数は一周すると消えるのか？コーシーの積分定理をたどる

正則関数を閉じた経路にそって一周積分すると、値は $0$ になります。

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

条件は 2 つだけ。積分路を囲む範囲で $f$ が正則であること、その範囲に穴がないことです^[1]。

実関数の積分では、こんなことは起きません。${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}xdx$ は $\pi$ になり、一周しても $0$ には戻らない。複素平面では、正則という条件だけで一周ぶんがきれいに打ち消し合います。

打ち消し合うのは、複素微分可能という条件がきついため。実 2 変数の写像として見ると、正則関数は各点で回転と拡大だけをしています。ずれを生む余地が残らない。

複素線積分の定義

複素平面の曲線 $C$ を $z(t)$（$a\le t\le b$）とパラメータ表示すると、線積分は次の形で定義されます。

$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f(z(t))z^{\prime }(t)dt$$

右辺は複素数値の 1 変数積分で、実部と虚部に分けてそれぞれ積分するだけ。定義そのものは実の線積分と変わりません。

向きを逆にすると符号も逆になる。$C$ を逆向きにたどった経路を $-C$ と書けば、${\int }_{-C}f=-{\int }_{C}f$ です。

閉曲線にそう積分は $\oint$ と書き、反時計回りを正の向きとします。

積分値の大きさには、いつでも効く粗い上界がある。$|f|\le M$ が経路上で成り立ち、経路の長さが $L$ なら次の評価が成り立ちます。

$$\left|{\int }_{C}f(z)dz\right|\le ML$$

三角不等式を積分に持ち込んだだけの式ですが、円弧の寄与が消えることを示すときに何度も使う道具になる。

例：単位円で $z^2$ を積分する

$z=e^{i\theta }$、$dz=i{e}^{i\theta }d\theta$ を代入します。

$${\oint }_{|z|=1}{z}^{2}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{2i\theta }\cdot i{e}^{i\theta }d\theta =i{\int }_0^{2\pi }{e}^{3i\theta }d\theta$$

$e^{3i\theta }$ を $0$ から $2\pi$ まで積分すると $0$ になる。指数関数が 3 周ぶん回り、ちょうど元へ戻るためです。

$z^2$ は複素平面全体で正則なので、積分定理の結論とも合っています。

同じ計算は $z^n$ でも通ります。$n$ が $-1$ でない整数なら ${\oint }_{|z|=1}{z}^{n}dz=0$ で、値が残るのは $n=-1$ のときだけ。

例：単位円で $1/z$ を積分する

$f(z)=1/z$ で同じ計算をすると、様子が変わります。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{1}{z}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{-i\theta }\cdot i{e}^{i\theta }d\theta =i{\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi i$$

$0$ ではありません。$1/z$ が原点で正則でないからで、単位円の内側に穴が空いた状態にあたります。

この $2\pi i$ が、あとで留数を測るときの基準になる。積分定理は穴がなければ $0$ だと言い、穴があるときいくつになるかは別の定理が答えます。

例：$\bar{z}$ には特異点がないのに $0$ にならない

正則でなければ、値が発散する点がなくても $0$ になりません。$f(z)=\bar{z}$ で試します。

$${\oint }_{|z|=1}\bar{z}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{-i\theta }\cdot i{e}^{i\theta }d\theta =2\pi i$$

$\bar{z}$ は複素平面のどこでも連続で、どこへ行っても値は有限です。それでも積分は $0$ にならない。

効いているのは正則性のほうです。$\bar{z}$ はコーシー・リーマンの方程式を満たさず、複素微分可能な点が一つもありません^[4]。

$\bar{z}$ を $u+iv$ で書くと $u=x$、$v=-y$ です。$u_x=1$ に対して $v_y=-1$ なので、1 本目から崩れています。

グリーンの定理から見る

$f=u+iv$、$dz=dx+idy$ と分けると、複素線積分は実の線積分 2 つに分かれる。

$${\oint }_{C}fdz={\oint }_C(udx-vdy)+i{\oint }_C(vdx+udy)$$

それぞれにグリーンの定理を当てると、囲まれた領域 $S$ 上の面積分に変わります。

$${\oint }_{C}fdz=-{\iint }_S(v_x+u_y)dxdy+i{\iint }_S(u_x-v_y)dxdy$$

コーシー・リーマンの方程式を入れると、2 つの被積分関数はどちらも $0$ です。定理はこれで出ます。

見通しはよいのですが、グリーンの定理は偏導関数の連続性を要求する。$f^{\prime }$ が連続だと仮定してよい場面なら、この筋がいちばん短い。

グルサーの補題

グルサーは $f^{\prime }$ の連続性を使わずに証明しました。複素微分可能というだけで定理が出る^[2]。

細かい改良に見えて、実は要になります。積分定理からは $f$ が何回でも微分できることが導かれるので、証明の入口で $f^{\prime }$ の連続性を使うと循環しかねない。

グルサーの筋は三角形から始まります。三角形 $\Delta$ の周にそう積分を $I$ とし、各辺の中点を結んで 4 つの小三角形に分ける。

内側の辺は隣り合う小三角形で向きが逆になり、足すと消えます。だから 4 つの周積分の和が $I$ に等しい。

4 つのうち、絶対値がいちばん大きいものを ${\Delta }_1$ とします。$|I|\le 4|I_1|$ が成り立ち、同じ操作を繰り返せます。

$n$ 回目には $|I|\le 4^n|I_n|$ です。${\Delta }_n$ の直径と周長はどちらも $2^{-n}$ 倍になる。

三角形は入れ子に縮んでいくので、共通点 $z_0$ がただ一つ残ります。そこで $f$ が $z_0$ で微分可能だという条件を使う。

$$f(z)=f(z_0)+f^{\prime }(z_0)(z-z_0)+\epsilon (z)(z-z_0)$$

定数項と 1 次の項はどちらも原始関数を持つので、閉曲線にそう積分は $0$ です。残るのは誤差項だけ。

$z\to z_0$ で $\epsilon (z)\to 0$ なので、長さによる評価から $|I_n|\le \epsilon \cdot 2^{-n}d\cdot 2^{-n}L$ が出ます。ここで $d$ と $L$ はもとの三角形の直径と周長。

これを $|I|\le 4^n|I_n|$ に入れると $|I|\le \epsilon dL$ となり、$\epsilon$ はいくらでも小さくとれます。したがって $I=0$ です。

三角形で示せれば、多角形は三角形に切り分けられる。一般の閉曲線は多角形で近似できるので、そこまで届きます。

単連結という条件

穴がないことを正確に言うと単連結です。領域内のどの閉曲線も、領域からはみ出さずに 1 点へ縮められるという条件。

円板、長方形、複素平面全体は単連結です。原点を抜いた $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ や円環領域は単連結ではありません。

$1/z$ の例で穴が効いていたのは、まさにこの意味です。原点のまわりを回る円は、原点を通らずには縮められない。

例：穴を避ければ $0$ に戻る

$f(z)=1/z$ でも、原点を囲まない閉曲線なら積分は $0$ です。中心 $2$、半径 $1$ の円で確かめます。

この円は右半平面に収まり、そこで $1/z$ は正則。右半平面は単連結なので、積分定理がそのまま効いて値は $0$ になります。

穴があるかどうかは関数だけでは決まりません。関数と積分路の位置関係で決まる。

原始関数と経路によらない積分

積分定理には、始点と終点が同じなら経路を変えても値が変わらない、という言い換えがあります。

2 つの経路 $C_1$、$C_2$ が同じ 2 点を結ぶとき、$C_1$ を行って $C_2$ を逆にたどれば閉曲線になる。その周積分が $0$ なら ${\int }_{C_1}f={\int }_{C_2}f$ が出ます。

経路によらないなら、始点を固定して次のように書ける。

$$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )d\zeta$$

この $F$ は正則で $F^{\prime }=f$ を満たし、$f$ の原始関数になります。原始関数があれば、積分は実関数と同じく端点だけで決まる。

$${\int }_{C}f(z)dz=F(\beta )-F(\alpha )$$

例：原始関数で計算する

$0$ から $1+i$ まで $z^2$ を積分します。原始関数は $z^3/3$。

$${\int }_0^{1+i}{z}^{2}dz=\frac{(1+i{)}^3}{3}=\frac{-2+2i}{3}$$

$(1+i{)}^2=2i$ と $(1+i{)}^3=2i(1+i)=-2+2i$ を使いました。

直線で結んでも、実軸を進んでから虚軸方向へ折れても、答えは変わらない。$z^2$ が全平面で正則だからです。

積分路は動かしてよい

穴があるときも、その穴に引っかけたまま積分路を連続に動かせば、値は変わりません。変形の定理と呼ばれる形です^[3]。

原点を囲む円を、原点を囲んだままの正方形へ動かす。2 つの経路にはさまれた帯には特異点がないので、そこでは積分定理が効きます。

だから ${\oint }_{|z|=1}dz/z$ も、原点を囲む正方形にそう積分も、同じ $2\pi i$ です。経路の形ではなく、何を囲んでいるかだけが効く。

例：半径を変えても値が変わらない

${\oint }_{|z|=R}dz/z$ は $R$ によらず $2\pi i$ です。計算しても $R$ が約分されて消えます。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{1}{R{e}^{i\theta }}\cdot iR{e}^{i\theta }d\theta =2\pi i$$

半径をどれだけ小さくしても値は同じ。原点のごく近くだけを見ても $2\pi i$ が出てきます。

この性質が、留数を点に張り付いた量として扱う根拠になる。

ホモトピー版とホモロジー版

単連結という条件は強すぎるので、実用の場面では条件を経路の側へ移します。

ホモトピー版は、$f$ が正則な範囲のなかで閉曲線を 1 点へ縮められるなら積分が $0$ になる、という形。領域に穴があっても、その閉曲線さえ縮められればよい。

ホモロジー版はもう少し広くとります。閉曲線が領域の外の点をどれも囲まないとき、つまり零ホモローグなときに積分が $0$ になる。

3 つは順に一般化されていて、上の形は下の形の特別な場合にあたります。

モレラの定理

逆向きの主張も成り立ちます。領域 $D$ で連続な $f$ について、$D$ 内のどの三角形の周にそう積分も $0$ なら、$f$ は $D$ で正則です。

モレラの定理と呼ばれ、正則性を積分だけで判定する道具になる^[5]。微分の存在を直接調べずに済みます。

証明は原始関数を作る流れです。積分が経路によらないので $F(z)={\int }_{z_0}^{z}f$ が定義でき、$F^{\prime }=f$ が示せる。$F$ が正則なら、その導関数の $f$ も正則です。

正則関数の列が広義一様収束するとき、極限も正則になる。これはモレラの定理から出る典型的な結論です。

例：正則性を積分だけで確かめる

$g(z)={\int }_0^1\frac{e^{tz}}{1+t^2}dt$ が整関数だと示す場面で、モレラの定理が効きます。

三角形の周にそう積分を作り、フビニの定理で積分の順序を入れ替える。内側は $t$ を止めた $e^{tz}$ の周積分なので $0$ です。

したがって外側も $0$ になり、$g$ は正則。$g$ を直接微分して調べるより手数が少ない。

実積分への応用

積分定理は、実の広義積分を出すときにも使えます。フレネル積分がその例。

$${\int }_0^{\infty }\cos (x^2)dx={\int }_0^{\infty }\sin (x^2)dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

$e^{i{z}^2}$ を、実軸と円弧と偏角 $\pi /4$ の半直線でできた扇形の周にそって積分します^[6]。$e^{i{z}^2}$ は整関数なので、周積分は $0$。

円弧の寄与は半径を大きくすると消えます。偏角 $\pi /4$ の半直線上では $i{z}^2$ が負の実数になり、被積分関数がガウス積分の形へ変わる。

実部と虚部を比べれば上の値が出ます。特異点をひとつも使わず、正則性と経路のとり方だけで実積分が求まる例です。

よくある誤り

最後の項目は、囲む回数を数えるという話につながります。同じ特異点のまわりを 2 周する経路なら、値は 1 周のときの 2 倍。

積分定理そのものは $0$ を主張するだけですが、そこから先の理論はすべてこの $0$ を土台にしています。正則関数が何回でも微分できることも、有界な整関数が定数になることも、出発点はここ^[7]。

参考文献