コーシーの積分定理で経路積分を理解する

複素関数の積分で最も重要な定理がコーシーの積分定理です。正則関数を閉曲線に沿って積分すると、その値は 0 になります。

定理の内容

$f (z)$ が単連結領域 $D$ で正則であるとき、 $D$ 内の任意の閉曲線 $C$ について

$\oint_{C} f (z) d z = 0$

が成り立ちます。

「単連結」とは、領域の中に穴がないことを意味します。穴があると、その周りを回る積分は 0 にならないことがあります。

なぜ成り立つのか

コーシー・リーマンの方程式を使って直感的に説明します。 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ とおくと、複素積分は

$\oint_{C} f (z) d z = \oint_{C} (u d x - v d y) + i \oint_{C} (v d x + u d y)$

と書けます。グリーンの定理を適用すると、それぞれの積分は領域内での偏微分の差に帰着します。コーシー・リーマンの方程式 $u_{x} = v_{y}$ 、 $u_{y} = - v_{x}$ が成り立っているので、その差は 0 になります。

経路によらない積分

コーシーの積分定理から、正則関数の積分は経路によらないことがわかります。

閉曲線の積分が 0

始点と終点が同じなら、積分値は 0。

経路に依存しない

始点 $a$ から終点 $b$ への積分は、途中の経路をどう取っても同じ値になる。

たとえば、 $f (z) = z^{2}$ を点 $0$ から点 $1 + i$ まで積分する場合、直線で結んでも、一度実軸を通ってから虚軸方向に進んでも、答えは同じになります。

具体例

$f (z) = z^{2}$ を単位円 $∣ z ∣ = 1$ に沿って積分してみます。 $f (z) = z^{2}$ は全複素平面で正則なので、コーシーの積分定理から

$\oint_{∣ z ∣ = 1} z^{2} d z = 0$

実際に計算しても確かめられます。 $z = e^{i θ}$ （ $0 \leq θ \leq 2 π$ ）とパラメータ表示すると、 $d z = i e^{i θ} d θ$ なので

$\oint_{∣ z ∣ = 1} z^{2} d z = \int_{0}^{2 π} e^{2 i θ} \cdot i e^{i θ} d θ = i \int_{0}^{2 π} e^{3 i θ} d θ = i [\frac{e ^{3 i θ}}{3 i}]_{0}^{2 π} = 0$

正則でない場合

$f (z) = 1/ z$ を原点中心の単位円で積分するとどうなるでしょうか。

$\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{1}{z} d z = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{e ^{i θ}} \cdot i e^{i θ} d θ = i \int_{0}^{2 π} d θ = 2 πi$

$1/ z$ は原点で正則でないため、コーシーの積分定理は適用できず、積分値は 0 になりません。このように「穴」の周りを回ると、積分は 0 にならないことがあります。これが留数定理につながっていきます。