有界な整関数はどれも定数になってしまう〜リウヴィルの定理から代数学の基本定理へ

複素平面全体で正則な関数が有界なら、それは定数です^[1]。

$$f\text{ が整関数で }|f(z)|\le M⟹f\text{ は定数}$$

実関数では通りません。$\sin x$ は実数全体で何回でも微分でき、$-1$ から $1$ に収まり、それでも定数ではない。

複素では、この 2 つが両立しません。全平面で正則という条件と有界という条件がぶつかり、動く余地が残らなくなります。

理由はコーシーの評価式にあります。導関数の大きさが、半径を大きくとるほど小さく抑えられてしまう^[3]。

整関数

複素平面全体で正則な関数を整関数と呼びます。多項式、$e^z$、$\sin z$、$\cos z$ がその例。

$1/z$ は原点で正則でないので外れます。$\tan z$ も極が並ぶので整関数ではない。

整関数は原点まわりのテイラー級数が全平面で収束します。収束半径をさえぎる特異点がどこにもないため。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n(\text{すべての }z\text{ で収束})$$

多項式は係数が途中で止まった整関数です。止まらない整関数を超越整関数と言います。

定理と証明

コーシーの積分公式から、導関数は円周上の積分で書けます。半径 $R$ の円をとる。

$$f^{\prime }(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z-a|=R}\frac{f(z)}{(z-a{)}^2}dz$$

長さによる評価を当てます。分子は $M$ 以下、分母は $R^2$、経路の長さは $2\pi R$。

$$|f^{\prime }(a)|\le \frac{1}{2\pi }\cdot \frac{M}{R^2}\cdot 2\pi R=\frac{M}{R}$$

$f$ が整関数なら、$R$ をいくらでも大きくとれます。右辺は $0$ へ行く。

したがって $|f^{\prime }(a)|=0$ です。$a$ は任意だったので $f^{\prime }\equiv 0$ となり、連結な平面の上で $f$ は定数になります^[2]。

テイラー係数で書いた証明も同じ形です。$|c_n|\le M/R^n$ で $R\to \infty$ とすれば、$n\ge 1$ の係数がすべて消える。

例：$e^z$ は有界にならない

$e^z$ が有界だとすると、リウヴィルの定理から定数になってしまいます。$e^0=1$、$e^1=e$ なので定数ではない。

実際、$z=x$ を実軸上で大きくすれば $e^x$ はいくらでも大きくなります。有界でない理由を直接見るのも簡単。

面白いのは逆向きの読み方です。$e^z$ が定数でないという当たり前の事実だけから、どこかで発散することが言えます。

例：$\sin z$ も複素では有界でない

実軸上では $|\sin x|\le 1$ です。ところが虚軸へ出ると様子が変わる。

$$\sin (iy)=i\sinh y=\frac{i}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$$

$y$ を大きくすれば指数関数の速さで伸びます。実軸だけを見ていると気づかない振る舞い。

同じことは $\cos z$ でも起きます。実軸で有界に見える関数が、複素平面では必ずどこかで発散する。

実部が抑えられているだけでも足りる

条件をもっと弱くできます。$f$ が整関数で、実部が上から抑えられているとする。

$g=e^f$ を作ると $|g|=e^{\mathrm{Re}f}$ です。実部に上界があれば $|g|$ にも上界があり、$g$ は有界な整関数になる。

リウヴィルの定理から $g$ は定数で、$e^f$ が定数なら $f$ も定数です。実部だけを見た条件で、関数全体が決まってしまう。

二重周期の整関数も定数になる

$f(z+1)=f(z)$ と $f(z+i)=f(z)$ を同時に満たす整関数を考えます。

値は 1 辺 $1$ の正方形の上だけで決まります。閉じた正方形はコンパクトなので、連続な $|f|$ はそこで最大値をとる。

平面全体の値がその繰り返しなので、$f$ は有界です。したがって定数になる。

零でない楕円関数が必ず極を持つのは、この議論の裏返しです。定数でない二重周期関数は、整関数ではいられない。

多項式まで広げる

有界という条件を、多項式の速さで伸びてよいという条件にゆるめられます。

$|f(z)|\le M|z{|}^n$ が十分大きい $|z|$ で成り立つなら、$f$ は $n$ 次以下の多項式です^[1,2]。

証明は係数の評価から。$|c_k|\le M{R}^{n-k}$ で $k>n$ とすれば、$R\to \infty$ で右辺が $0$ へ行きます。

$n=0$ とすればもとのリウヴィルの定理に戻る。定数は $0$ 次の多項式なので、話がつながっています。

例：増大度から次数を決める

整関数 $f$ が、大きい $|z|$ で $|f(z)|\le 3|z{|}^{3/2}$ を満たすとします。

係数の評価は $|c_k|\le 3R^{3/2-k}$ です。$k\ge 2$ なら指数が負になり、$R$ を大きくすると $0$ へ落ちる。

したがって $c_k=0$ が $k\ge 2$ で成り立ち、$f$ は 1 次以下です。増大度の $3/2$ が整数でなくても、次数のほうは整数に落ちます。

代数学の基本定理

複素係数の多項式は、次数が $1$ 以上なら必ず複素数の根を持ちます。

$$p(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0,a_n\ne 0,n\ge 1$$

実係数に限っても、実数の範囲では根がないことがあります。$x^2+1$ がその例。複素数まで広げると、この不足が完全に解消する。

名前は代数ですが、純粋に代数的な証明はありません。実数の連続性をどこかで使う必要があり、複素解析を使う筋がいちばん短くなります。

リウヴィルによる証明

根がないと仮定します。$p(z)\ne 0$ がすべての $z$ で成り立つので、$f=1/p$ は整関数。

$|z|$ が大きいところでは $|p(z)|$ が $|a_n||z{|}^n$ の程度で伸びます。したがって $|f|$ は $0$ へ落ちる。

十分大きい半径の外で $|f|\le 1$ とでき、内側の閉円板では連続関数として有界です。合わせて $f$ は全平面で有界。

リウヴィルの定理から $f$ は定数で、$p$ も定数になります。$n\ge 1$ に反するので、根がないという仮定が崩れました。

像が原点を何周するか

もう一つの見方が偏角の原理です。半径 $R$ の円を $p$ で写した像が、原点のまわりを何周するかを数える^[5]。

$R$ が小さいと像は原点から離れたところにあり、回転数は $0$ です。$R$ を大きくすると最高次の項が効き、$n$ 周するようになる。

回転数が途中で $0$ から $n$ へ変わるということは、その間のどこかで像が原点を通ります。像が原点を通る点が根。

ルーシェによる証明

ルーシェの定理は、同じ話を不等式の形で書いたものです。閉曲線の上で $|g|<|f|$ なら、$f$ と $f+g$ は内部に同じ個数の零点を持つ^[4]。

$f(z)=a_n{z}^n$、$g(z)=a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0$ とおきます。$|z|=R$ の上で次が成り立つよう $R$ を大きくとる。

$$|a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0|<|a_n{z}^n|$$

左辺は $R^{n-1}$ の程度、右辺は $R^n$ の程度なので、$R$ を大きくすれば必ず成り立ちます。

$a_n{z}^n$ は原点に $n$ 位の零点を持つので、零点の個数は重複を込めて $n$。したがって $p$ も $R$ の内側に $n$ 個の根を持ちます。

追い越したあとは、いくら $R$ を大きくしても差が広がる一方です。だから根はすべて有限の円板に収まる。

最小値からの証明

3 つ目の筋もあります。$|p(z)|$ は $|z|$ が大きいところで発散するので、最小値は有限の円板の中でとる。

その最小値が $0$ でないと仮定すると、矛盾が出ます。最小の点で $p$ を展開し、値の絶対値をさらに小さくする方向が必ず見つかるため。

正則関数の絶対値が内部で最小をとれるのは、そこが零点のときだけ。最大値原理を $1/p$ に当てた形になっています^[6,7]。

根の個数は次数に等しい

根が 1 つ見つかれば、あとは因数定理を繰り返すだけです。$p(z)=(z-\alpha )q(z)$ と分け、$q$ の次数は $1$ 下がる。

これを繰り返すと、$n$ 次式は 1 次式 $n$ 個の積に分かれます。重複を込めて根がちょうど $n$ 個。

$$p(z)=a_n(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$$

複素数の範囲では、多項式が因数分解できないという事態が起きません。代数閉体という言葉はこの性質を指します。

例：3 次方程式の根を数える

$p(z)=z^3-2z+2$ の根を、実数の範囲だけで探すと 1 つしか見つかりません。

複素数まで広げると 3 つあります。実根が 1 つと、互いに共役な複素根が 2 つ。

実係数の多項式では、複素根が必ず共役の組で現れます。$p(\bar{z})=\overline{p(z)}$ が成り立つため。

したがって実係数の奇数次方程式には、実根が必ず 1 つ以上あります。共役の組は偶数個しか作れない。

整関数の像はどこまで広がるか

リウヴィルの定理は、定数でない整関数の像が有界にならないと言っています。もっと強い結論も知られています。

像は複素平面で稠密になる。さらにピカールの小定理によれば、高々 1 つの例外を除いてすべての値を実際にとります^[8]。

$e^z$ の例外は $0$ です。指数関数だけが漏らす値で、それ以外はすべて拾う。

多項式には例外がありません。代数学の基本定理から、どの値についても $p(z)=w$ が解を持つためです。

よくある誤り

有界という弱そうな条件から定数という強い結論が出る。この落差が、正則性という条件の重さを示しています。代数学の基本定理が複素解析の側から落ちてくるのも、同じ重さの表れ。

参考文献