有限生成な k 代数〜多項式で書ける環と外れる有理関数体

体 $k$ 上の代数 $A$ が有限生成であるとは、有限個の元 $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ がとれて、 $A$ のどの元も $a_{i}$ たちの多項式として書けることをいいます。

$A = k [a_{1}, \dots, a_{n}]$

かっこの中に並ぶ $a_{i}$ が生成元です。使えるのは足し算と引き算とかけ算だけで、割り算は入らない。

定義は、多項式環からの全射としても書ける。 $x_{i} \mapsto a_{i}$ と決めれば、変数 $n$ 本の多項式環から $A$ へ全射がとれます。

$k [x_{1}, \dots, x_{n}] ↠ A$

核を $I$ と置けば $A ≅ k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I$ です。有限生成な $k$ 代数はすべてこの形をしている。

生成元の選び方は 1 通りではなく、本数も変わります。

有限生成と有限は違う

有限生成と、 $k$ 加群として有限。この 2 つは別の条件です。

k

代数として有限生成

有限個の元の多項式で全部が書ける。 $k [x]$ は $x$ 1 本で生成される。 $k$ 上のベクトル空間としては無限次元でよい

k

加群として有限

$k$ 上のベクトル空間として有限次元。 $k [x]$ は $1, x, x^{2}, \dots$ が 1 次独立なので有限ではない

有限のほうが強い条件です。 $k$ 加群として有限なら、 $k$ 代数としても有限生成になる。

逆は成り立たず、 $k [x]$ が反例。 $k [x] / (x^{2} - 1)$ のほうは両方をみたし、 $k$ 上 2 次元で $x$ 1 本で生成される。

代数幾何が座標環として直接に扱うのは、真ん中の段までです。最も外の段は、完備化や関数体として脇に現れる。

例：多項式で書ける環

多項式環

$k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ は定義そのものです。生成元は変数 $n$ 本。

放物線の座標環

$k [x, y] / (y - x^{2})$ は $k [t]$ に同型です。2 本でとれますが、 $t$ 1 本でも足ります。

双曲線の座標環

$k [x, y] / (x y - 1)$ は $k [t, t^{- 1}]$ に同型です。生成元は $t$ と $t^{- 1}$ の 2 本で、 $t$ だけでは $t^{- 1}$ が作れません。

1 つの元での局所化

$k [x]_{f}$ は $k [x, 1/ f]$ と書けます。生成元は $x$ と $1/ f$ の 2 本。

後ろの 2 つは、分母を 1 つだけ許した形です。その分母を新しい生成元に加えれば、多項式の枠に収まる。

分母を無制限に許すと、この手は通らない。

有理関数体は外れる

有理関数体 $k (x)$ は、 $k$ 代数としては有限生成ではありません^[1]。

$k (x) = k [f_{1} / g_{1}, \dots, f_{n} / g_{n}]$ と書けたとします。 $g = g_{1} \dots g_{n}$ と置く。

生成元の多項式として書ける元は、分母が $g$ の冪になる。 $k (x)$ のどの元も $h / g^{m}$ の形になるはずです。

$k [x]$ には既約多項式が無限にある。そこから $g$ を割らないものを 1 つとり、 $p$ と呼びます。

$1/ p = h / g^{m}$ とすると $g^{m} = p h$ 。 $p$ は既約だから素元でもあり、 $p$ が $g^{m}$ を割るなら $g$ も割る。

$p$ は $g$ を割らないと決めていました。矛盾するため、有限生成ではない。

同じ議論は $k$ が有限体でも通ります。 $k [x]$ の既約多項式が無限にあること、それだけを使っているため。

例：形式的べき級数環

$k [[t]]$ も有限生成ではありません。こちらは数え上げで分かる。

$k$ を有理数体にとります。有限生成な $Q$ 代数は多項式環の商で、単項式が可算個しかないため、集合として可算になる。

$Q [[t]]$ のほうは係数の列全体と対応するので、非可算です。濃度が違うため、有限生成にはなれない。

例：部分環では壊れる

有限生成な環の部分環が、また有限生成とは限りません^[1]。

$k [x, y]$ の中で、 $y$ 軸の上で定数になる多項式を全部集めます。 $f (0, y)$ が $y$ によらない、という条件。

集めたものは環になり、 $A = k [x, x y, x y^{2}, x y^{3}, \dots]$ と書ける。

$A$ は有限生成ではありません。生成元を有限個とると、 $x$ の 1 次の項に現れる $y$ の次数に上限ができるためです。

上限を $N$ と置く。生成元をかけ合わせると $x$ の次数が上がるため、積の $x$ の 1 次の項は、もとの $x$ の 1 次の項の定数倍を足したものにしかならない。

そこに現れる $y$ の次数は $N$ 以下のままです。 $x y^{N + 1}$ は $A$ に属するのに、選んだ生成元からは作れない。

商と 1 つの元での局所化では壊れない

$A = k [a_{1}, \dots, a_{n}]$ とし、 $I$ をイデアルとします。 $A / I$ は像 $\overset{a_{1}}{ˉ}, \dots, \overset{a_{n}}{ˉ}$ で生成されるため、有限生成になる。

$f \in A$ での局所化 $A_{f}$ も $k [a_{1}, \dots, a_{n}, 1/ f]$ と書けます。生成元が 1 本増えるだけ。

素イデアルでの局所化 $A_{p}$ は違う。分母に $p$ の外の元をすべて許すため、一般には有限生成でなくなります。

$k [x]_{(x)}$ が例です。 $a \neq = 0$ の $x - a$ をいくらでも分母に使えるため、有理関数体と同じ数え上げが通る。

体拡大の有限生成とは別のもの

体の話では、有限生成という言葉が別の意味で使われます。

体拡大 $K / k$ が有限生成とは、有限個の元 $α_{i}$ をとって $K = k (α_{1}, \dots, α_{n})$ と書けること。こちらは分数を許します。

$k (x)$ は体拡大としては有限生成で、 $x$ 1 本で生成される。ところが $k$ 代数としては有限生成ではありません。

2 つを分けているのは、かっこの形が $k [\dots]$ と $k (\dots)$ で変わるところ。

ネーター環になる

ヒルベルトの基底定理から、 $k$ がネーターなら $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ もネーターです。剰余環もネーターなので、有限生成な $k$ 代数はすべてネーターになる。

どのイデアルも有限個の元で生成されます。方程式を有限個で書ける、ということ。

極小素イデアルも有限個しかないため、図形の既約成分が有限個に収まる。無限個の成分をもつ図形は、この枠には現れません。

逆は成り立たない。 $k [[t]]$ はネーターですが、有限生成ではありません。

次元が有限になる

Krull 次元も有限です。ネーターの正規化定理から従う^[3]。

$A$ が $k$ 上有限生成なら、代数的に独立な $y_{1}, \dots, y_{d} \in A$ がとれて、 $A$ が $k [y_{1}, \dots, y_{d}]$ 上の加群として有限になります。

この $d$ がちょうど $dim A$ 。 $A$ が整域なら、商体の $k$ 上の超越次数とも一致します^[1]。

整域ならもう 1 つ、素イデアル $p$ について次が成り立つ^[4]。

$dim A / p + ht p = dim A$

余次元と次元を足すと全体に戻る、という形です。

ザリスキの補題

体 $K$ が体 $k$ 上の代数として有限生成なら、 $K$ は $k$ の有限次拡大になります^[2]。ザリスキの補題という。

$k$ に条件はつきません。代数閉でなくても成り立つ。

$k (x)$ が $k$ 代数として有限生成でなかったのは、この補題の特別な場合でもあります。 $k (x)$ は $k$ 上有限次でないため、有限生成にはなれない。

非可算な体なら証明が短い

$k$ が非可算のときは、次元を数えるだけで証明が済みます^[1]。

有限生成な $k$ 代数 $L = k [e_{1}, \dots, e_{n}]$ は、生成元の単項式で張られる。単項式は可算個しかないため、 $L$ の $k$ 上の次元はたかだか可算です。

いっぽう $k (T)$ の次元は非可算になる。 $λ \in k$ に対する $\frac{1}{T - λ}$ たちが 1 次独立なので、 $k$ の濃度だけ独立な元が並びます。

$L$ が体で、 $k$ 上超越的な元 $t$ を持ったとします。 $T \mapsto t$ で $k (T)$ が $L$ に埋め込まれ、 $L$ の次元が非可算になる。可算だったことに反します。

だから $L$ のどの元も $k$ 上代数的。有限個の代数的な元で生成される環は $k$ 上有限次なので、 $L$ は有限次拡大になる。

$C$ 上の代数ならこれで済みます。一般の体では別の筋がいる^[2]。

極大イデアルが点になる

$A$ を $k$ 上有限生成、 $m$ を極大イデアルとすると、 $A / m$ は $k$ 上有限生成な体です。ザリスキの補題から、 $k$ の有限次拡大になる。

$k$ が代数閉なら有限次拡大は $k$ 自身しかないため、 $A / m = k$ 。

$A = k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ でこれを使うと、 $x_{i}$ の像が $a_{i} \in k$ と書けます。 $x_{i} - a_{i}$ は $m$ に入るため $(x_{1} - a_{1}, \dots, x_{n} - a_{n}) \subseteq m$ 。

左辺がすでに極大だから、等号になる^[2]。極大イデアルを点と呼べる根拠がここにあります。

代数閉でないと崩れる。 $R [x]$ の $(x^{2} + 1)$ は極大ですが、剰余体が $C$ で、 $R$ の点には対応しません^[2]。

幾何との往復

k 上有限生成な整域をとる

多項式環の剰余として書き直す

定義イデアルの零点として図形を得る

逆向きもたどれます。既約アフィン多様体の座標環は、 $k$ 上有限生成な整域になる。

この往復があるため、環の言葉と図形の言葉を行き来できる。有限生成でない環には、対応する古典的な図形がありません。

スキーム論では枠が広がり、 $k [[t]]$ のような環も空間として扱えます。それでも有限型という条件は、多くの定理で仮定に残る。

例：生成元の本数を数える

同じ環でも生成元の本数は変わります。

$k [t]$ は $t$ 1 本。 $k [t^{2}, t^{3}]$ は 2 本いる。 $t^{2}$ だけでは $t^{3}$ が作れず、 $t^{3}$ だけでは $t^{2}$ が作れません。

$k [t^{2}, t^{3}]$ は $k [t]$ の部分環で、 $t$ を含まない。尖点の座標環にあたります。

$k [t]$	1 本
$k [t^{2}, t^{3}]$	2 本
$k [t, t^{- 1}]$	2 本。 $x y = 1$ を入れれば $k [x, y] / (x y - 1)$ と書ける
$k [x_{1}, \dots, x_{n}]$	$n$ 本
$k (x)$	有限本では足りない

最小の本数は、その図形が入る最小のアフィン空間の次元にあたる。 $k [t^{2}, t^{3}]$ なら平面までで、直線には入りません。

次のうち $k$ 代数として有限生成でないものはどれですか。

$k [x, y] / (x^{2} + y^{2} - 1)$
$k [t, t^{- 1}]$
$k (t)$
$k \times k \times k$

__RESULT__

有理関数体 $k (t)$ が外れます。生成元を有限個とると分母に使える既約多項式が有限個に限られ、それ以外を分母にもつ元が作れません。 $k [t, t^{- 1}]$ は分母が $t$ の冪だけなので 2 本で生成でき、 $k \times k \times k$ は $k$ 上 3 次元になる。

$k [[t]]$ について正しいのはどれですか。

ネーターだが $k$ 代数として有限生成ではない
$k$ 代数として有限生成だがネーターではない
どちらもみたす

__RESULT__

形式的べき級数環はネーターです。ところが $k$ を有理数体にとると、有限生成な $k$ 代数は可算集合になり、 $Q [[t]]$ の濃度に届かない。ネーターであることと有限生成であることは、別の条件です。

有限個の生成元で書けるかどうか。この 1 点を確かめれば、ネーターであることも、次元が有限であることも、剰余体が有限次拡大になることも、そこから導けます。

参考

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*. Universität Freiburg.

Nicolas Perrin. *Algèbre commutative*. Université de Versailles Saint-Quentin.

Florian Enescu. *Commutative Algebra, Lecture 13*. Georgia State University.

Dimension of finite type algebras over fields. The Stacks Project.

有限個の元の多項式で全部が書ける、それが体上有限生成です。多項式環からの全射 $k[x_1, \ldots, x_n] \twoheadrightarrow A$ と言いかえられ、$k$ 加群として有限であることとは別の条件になる。$k[x]$ は有限生成でも $k$ 上有限次元ではありません。有理関数体 $k(x)$ が外れるのは、分母に使える既約多項式が有限個に限られるため。部分環をとると壊れ、商と 1 つの元での局所化では保たれる。ここからネーター性も次元の有限性も導け、ザリスキの補題を通せば極大イデアルの剰余体が有限次拡大だと決まります。非可算な体なら、次元を数えるだけで証明が済む。