体上有限生成とは何か

体上有限生成な環（finitely generated algebra over a field）は、代数幾何学で扱う環の基本的なクラスです。アフィン多様体の座標環がまさにこの条件を満たします。

定義

体 $k$ 上の環 $A$ が有限生成であるとは、有限個の元 $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ が存在して

$A = k [a_{1}, \dots, a_{n}]$

と書けることです。これは、 $A$ が多項式環 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ からの全射準同型

$k [x_{1}, \dots, x_{n}] ↠ A, x_{i} \mapsto a_{i}$

の像として得られることを意味します。したがって $A ≅ k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I$ という形に書けます。

有限生成（環として）

$k$ -代数として有限個の生成元で書ける。 $k [x]$ は $k$ 上有限生成（生成元は $x$ ）。

有限（加群として）

$k$ -ベクトル空間として有限次元。 $k [x]$ は $k$ 上有限ではない（無限次元）。

有限生成のほうがはるかに広いクラスです。 $k [x]$ は有限生成ですが有限ではありません。一方、 $k [x] / (x^{2} - 1) ≅ k \times k$ は有限生成かつ有限（2次元）です。

$k$ を代数閉体とします。体 $k$ 上有限生成な整域は、ある既約アフィン多様体の座標環になります。逆に、既約アフィン多様体の座標環は有限生成整域です。

例：放物線

$k [x, y] / (y - x^{2}) ≅ k [t]$ は $k$ 上有限生成（生成元は $t$ ）で、放物線の座標環です。

例：双曲線

$k [x, y] / (x y - 1)$ は $k$ 上有限生成（生成元は $x, y$ ）で、双曲線の座標環です。これは $k [t, t^{- 1}]$ と同型です。

体上有限生成な環には多くのよい性質があります。

ネーター環である（すべてのイデアルが有限生成）

Krull 次元が有限

極大イデアルで局所化すると剰余体は

k

の有限次拡大

特に3番目はヌルステレンサッツの一般形と関係し、極大イデアルが「点」に対応することの代数的な根拠を与えます。

体上有限生成という条件は、環と幾何学を結びつける鍵です。この条件がないと、環に対応する幾何学的対象がうまく定義できません。代数幾何学が扱えるのは本質的にこのクラスの環であり、有限生成性は理論の出発点となる仮定なのです。