有限生成な k 代数〜多項式で書ける環と外れる有理関数体

体 $k$ 上の代数 $A$ が有限生成であるとは、有限個の元 $a_1,\dots ,a_n\in A$ がとれて、$A$ のどの元も $a_i$ たちの多項式として書けることをいいます。

$$A=k[a_1,\dots ,a_n]$$

かっこの中に並ぶ $a_i$ が生成元です。使えるのは足し算と引き算とかけ算だけで、割り算は入らない。

定義は、多項式環からの全射としても書ける。$x_i\mapsto a_i$ と決めれば、変数 $n$ 本の多項式環から $A$ へ全射がとれます。

$$k[x_1,\dots ,x_n]\twoheadrightarrow A$$

核を $I$ と置けば $A\cong k[x_1,\dots ,x_n]/I$ です。有限生成な $k$ 代数はすべてこの形をしている。

生成元の選び方は 1 通りではなく、本数も変わります。

有限生成と有限は違う

有限生成と、$k$ 加群として有限。この 2 つは別の条件です。

有限のほうが強い条件です。$k$ 加群として有限なら、$k$ 代数としても有限生成になる。

逆は成り立たず、$k[x]$ が反例。$k[x]/(x^2-1)$ のほうは両方をみたし、$k$ 上 2 次元で $x$ 1 本で生成される。

代数幾何が座標環として直接に扱うのは、真ん中の段までです。最も外の段は、完備化や関数体として脇に現れる。

例：多項式で書ける環

後ろの 2 つは、分母を 1 つだけ許した形です。その分母を新しい生成元に加えれば、多項式の枠に収まる。

分母を無制限に許すと、この手は通らない。

有理関数体は外れる

有理関数体 $k(x)$ は、$k$ 代数としては有限生成ではありません^[1]。

$k(x)=k[f_1/g_1,\dots ,f_n/g_n]$ と書けたとします。$g=g_1\cdots g_n$ と置く。

生成元の多項式として書ける元は、分母が $g$ の冪になる。$k(x)$ のどの元も $h/g^m$ の形になるはずです。

$k[x]$ には既約多項式が無限にある。そこから $g$ を割らないものを 1 つとり、$p$ と呼びます。

$1/p=h/g^m$ とすると $g^m=ph$。$p$ は既約だから素元でもあり、$p$ が $g^m$ を割るなら $g$ も割る。

$p$ は $g$ を割らないと決めていました。矛盾するため、有限生成ではない。

同じ議論は $k$ が有限体でも通ります。$k[x]$ の既約多項式が無限にあること、それだけを使っているため。

例：形式的べき級数環

$k[[t]]$ も有限生成ではありません。こちらは数え上げで分かる。

$k$ を有理数体にとります。有限生成な $\mathbb{Q}$ 代数は多項式環の商で、単項式が可算個しかないため、集合として可算になる。

$\mathbb{Q}[[t]]$ のほうは係数の列全体と対応するので、非可算です。濃度が違うため、有限生成にはなれない。

例：部分環では壊れる

有限生成な環の部分環が、また有限生成とは限りません^[1]。

$k[x,y]$ の中で、$y$ 軸の上で定数になる多項式を全部集めます。$f(0,y)$ が $y$ によらない、という条件。

集めたものは環になり、$A=k[x,xy,x{y}^2,x{y}^3,\dots ]$ と書ける。

$A$ は有限生成ではありません。生成元を有限個とると、$x$ の 1 次の項に現れる $y$ の次数に上限ができるためです。

上限を $N$ と置く。生成元をかけ合わせると $x$ の次数が上がるため、積の $x$ の 1 次の項は、もとの $x$ の 1 次の項の定数倍を足したものにしかならない。

そこに現れる $y$ の次数は $N$ 以下のままです。$x{y}^{N+1}$ は $A$ に属するのに、選んだ生成元からは作れない。

商と 1 つの元での局所化では壊れない

$A=k[a_1,\dots ,a_n]$ とし、$I$ をイデアルとします。$A/I$ は像 $\overline{a_1},\dots ,\overline{a_n}$ で生成されるため、有限生成になる。

$f\in A$ での局所化 $A_f$ も $k[a_1,\dots ,a_n,1/f]$ と書けます。生成元が 1 本増えるだけ。

素イデアルでの局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ は違う。分母に $\mathfrak{p}$ の外の元をすべて許すため、一般には有限生成でなくなります。

$k[x{]}_{(x)}$ が例です。$a\ne 0$ の $x-a$ をいくらでも分母に使えるため、有理関数体と同じ数え上げが通る。

体拡大の有限生成とは別のもの

体の話では、有限生成という言葉が別の意味で使われます。

体拡大 $K/k$ が有限生成とは、有限個の元 ${\alpha }_i$ をとって $K=k({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ と書けること。こちらは分数を許します。

$k(x)$ は体拡大としては有限生成で、$x$ 1 本で生成される。ところが $k$ 代数としては有限生成ではありません。

2 つを分けているのは、かっこの形が $k[\dots ]$ と $k(\dots )$ で変わるところ。

ネーター環になる

ヒルベルトの基底定理から、$k$ がネーターなら $k[x_1,\dots ,x_n]$ もネーターです。剰余環もネーターなので、有限生成な $k$ 代数はすべてネーターになる。

どのイデアルも有限個の元で生成されます。方程式を有限個で書ける、ということ。

極小素イデアルも有限個しかないため、図形の既約成分が有限個に収まる。無限個の成分をもつ図形は、この枠には現れません。

逆は成り立たない。$k[[t]]$ はネーターですが、有限生成ではありません。

次元が有限になる

Krull 次元も有限です。ネーターの正規化定理から従う^[3]。

$A$ が $k$ 上有限生成なら、代数的に独立な $y_1,\dots ,y_d\in A$ がとれて、$A$ が $k[y_1,\dots ,y_d]$ 上の加群として有限になります。

この $d$ がちょうど $\dim A$。$A$ が整域なら、商体の $k$ 上の超越次数とも一致します^[1]。

整域ならもう 1 つ、素イデアル $\mathfrak{p}$ について次が成り立つ^[4]。

$$\dim A/\mathfrak{p}+\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\dim A$$

余次元と次元を足すと全体に戻る、という形です。

ザリスキの補題

体 $K$ が体 $k$ 上の代数として有限生成なら、$K$ は $k$ の有限次拡大になります^[2]。ザリスキの補題という。

$k$ に条件はつきません。代数閉でなくても成り立つ。

$k(x)$ が $k$ 代数として有限生成でなかったのは、この補題の特別な場合でもあります。$k(x)$ は $k$ 上有限次でないため、有限生成にはなれない。

非可算な体なら証明が短い

$k$ が非可算のときは、次元を数えるだけで証明が済みます^[1]。

有限生成な $k$ 代数 $L=k[e_1,\dots ,e_n]$ は、生成元の単項式で張られる。単項式は可算個しかないため、$L$ の $k$ 上の次元はたかだか可算です。

いっぽう $k(T)$ の次元は非可算になる。$\lambda \in k$ に対する $\frac{1}{T-\lambda }$ たちが 1 次独立なので、$k$ の濃度だけ独立な元が並びます。

$L$ が体で、$k$ 上超越的な元 $t$ を持ったとします。$T\mapsto t$ で $k(T)$ が $L$ に埋め込まれ、$L$ の次元が非可算になる。可算だったことに反します。

だから $L$ のどの元も $k$ 上代数的。有限個の代数的な元で生成される環は $k$ 上有限次なので、$L$ は有限次拡大になる。

$\mathbb{C}$ 上の代数ならこれで済みます。一般の体では別の筋がいる^[2]。

極大イデアルが点になる

$A$ を $k$ 上有限生成、$\mathfrak{m}$ を極大イデアルとすると、$A/\mathfrak{m}$ は $k$ 上有限生成な体です。ザリスキの補題から、$k$ の有限次拡大になる。

$k$ が代数閉なら有限次拡大は $k$ 自身しかないため、$A/\mathfrak{m}=k$。

$A=k[x_1,\dots ,x_n]$ でこれを使うと、$x_i$ の像が $a_i\in k$ と書けます。$x_i-a_i$ は $\mathfrak{m}$ に入るため $(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)\subseteq \mathfrak{m}$。

左辺がすでに極大だから、等号になる^[2]。極大イデアルを点と呼べる根拠がここにあります。

代数閉でないと崩れる。$\mathbb{R}[x]$ の $(x^2+1)$ は極大ですが、剰余体が $\mathbb{C}$ で、$\mathbb{R}$ の点には対応しません^[2]。

幾何との往復

逆向きもたどれます。既約アフィン多様体の座標環は、$k$ 上有限生成な整域になる。

この往復があるため、環の言葉と図形の言葉を行き来できる。有限生成でない環には、対応する古典的な図形がありません。

スキーム論では枠が広がり、$k[[t]]$ のような環も空間として扱えます。それでも有限型という条件は、多くの定理で仮定に残る。

例：生成元の本数を数える

同じ環でも生成元の本数は変わります。

$k[t]$ は $t$ 1 本。$k[t^2,t^3]$ は 2 本いる。$t^2$ だけでは $t^3$ が作れず、$t^3$ だけでは $t^2$ が作れません。

$k[t^2,t^3]$ は $k[t]$ の部分環で、$t$ を含まない。尖点の座標環にあたります。

最小の本数は、その図形が入る最小のアフィン空間の次元にあたる。$k[t^2,t^3]$ なら平面までで、直線には入りません。

有限個の生成元で書けるかどうか。この 1 点を確かめれば、ネーターであることも、次元が有限であることも、剰余体が有限次拡大になることも、そこから導けます。

参考