Krull 次元は、可換環の「大きさ」を測る基本的な不変量です。幾何学的には、対応する代数多様体の次元と一致するように定義されています。
定義
環 の Krull 次元（単に次元ともいう）は、 における素イデアルの真の包含列
の長さ の上限として定義されます。これを と書きます。
上限が存在しない場合は とします。有限次元の場合、Krull 次元は「素イデアルが何段積み重ねられるか」を表しています。
基本的な例
体
体 では、 以外の真の素イデアルがありません。したがって です。
整数環
では、 という長さ の列が取れます。 は極大イデアルなのでこれ以上伸ばせません。よって です。
多項式環
体 上の多項式環 の次元は です。これは変数の個数と一致します。
次元 の環
となるのは、すべての素イデアルが極大イデアルのときです。ネーター環の場合、これは がアルティン環であることと同値です。体や が典型例です。
次元 の環
整数環 や、体上の1変数多項式環 は1次元です。もう少し一般に、Dedekind 整域（例えば代数体の整数環）は1次元の整閉ネーター整域です。
幾何学的な意味
アフィン多様体 の座標環 の Krull 次元は、 の次元と一致します。 次元の多様体は、 次元の部分多様体を含み、それは 次元の部分多様体を含み、…という入れ子構造をもちます。これが素イデアルの包含列に対応しています。
点は 次元、曲線は 次元、曲面は 次元であり、それぞれの座標環の Krull 次元もこれと一致します。
