Krull 次元（素イデアルの鎖の長さで環の大きさを測る）

Krull 次元は、素イデアルを何段積み上げられるかで環の大きさを測ります。

真の包含で伸びる鎖を書き、その長さの上限をとる。それだけの定義です^[1]。

$${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$$

長さは項の個数ではなく、包含の記号の本数を数えます。$n$ 段の鎖なら長さ $n$。

以下では体・整数環・多項式環と順に計算し、幾何の次元と一致する理由を見ます。落ちる量を支配する標高定理まで進み、直観が破れる例も並べる。

長さの数え方

数え方をまず固定します。${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1$ という鎖は、素イデアルが 2 つで長さ $1$ です。

体では真の素イデアルが $(0)$ しかないので、鎖は ${\mathfrak{p}}_0=(0)$ の 1 項で終わります。長さ $0$ なので $\dim k=0$。

上限が存在しなければ $\dim R=\infty$ とします。ネーター環でもこれが起きる例があとで出てきます^[1]。

高さと余次元

鎖を素イデアル 1 つで区切ると、上下 2 つの量に分かれます。

素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さとは、$\mathfrak{p}$ で終わる鎖の長さの上限です。$\mathfrak{p}$ より下に何段あるかを数えています。

$$\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\sup \{n:{\mathfrak{p}}_0⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n=\mathfrak{p}\}$$

局所環では、極大イデアルの高さがそのまま次元です。$\dim R=\mathrm{ht}\mathfrak{m}$ になります。

幾何では高さを余次元と呼びます。周りの空間に対して、どれだけ細いかを表す量です。

例: 整数環と 1 変数多項式環

$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ と $(p)$ です。鎖は $(0)⊊(p)$ で長さ $1$、これ以上は伸びません。

$(p)$ は極大イデアルなので、上に真の素イデアルがないためです。したがって $\dim \mathbb{Z}=1$。

体 $k$ 上の $k[x]$ も同じ形です。素イデアルは $(0)$ と既約多項式が生成するものだけで、後者は極大です。

$$(0)⊊(x-a)$$

やはり長さ $1$ で止まります。単項イデアル整域が体でなければ次元 $1$ になる、と一般に言えます^[1]。

例: 多変数多項式環

$k[x_1,\dots ,x_n]$ の次元は $n$ です^[1]。鎖を実際に書き下せます。

$$(0)⊊(x_1)⊊(x_1,x_2)⊊\cdots ⊊(x_1,\dots ,x_n)$$

各段でイデアルが真に大きくなり、どの段も素イデアルです。剰余環が $k[x_{i+1},\dots ,x_n]$ という整域になるためです。

長さは $n$ なので $\dim \ge n$ が出ます。逆向きの不等号は、次に見る超越次数の議論で示せます。

変数の本数が次元になる。いちばん覚えやすい例です。

鎖を階段として見る

いま書いた鎖を絵にしておきます。

イデアルが増えると図形は減ります。$(x)$ は平面 $x=0$、$(x,y)$ は直線、$(x,y,z)$ は原点です。

包含の向きが逆になっている点が要です。素イデアルの鎖は、図形の側では小さくなる鎖に対応します。

幾何の次元と一致する

いまの対応を定理として書きます。アフィン多様体 $V$ の座標環を $A$ とすると、次の 4 つが一致します^[4]。

1 つ目と 2 つ目が対応するのは、既約閉集合と素イデアルが 1 対 1 に対応するからです。閉集合が小さくなるほどイデアルは大きくなる。

3 つ目は計算に効きます。$k[x_1,\dots ,x_n]$ の商体は $k(x_1,\dots ,x_n)$ で、超越次数は $n$ です。だから次元も $n$ になります。

4 つ目は滑らかな点でだけ成り立ちます。特異点では接空間のほうが大きくなるので、次元の定義には使えません。

図形の鎖をたどる

平面の中の鎖を、実際に動かして見ましょう。

平面、その中の曲線、その上の点。3 つの既約閉集合が真に縮む鎖をなしています。

段数は 3 つで、包含の記号は 2 本です。だから次元は $2$ になります。

対応する素イデアルの鎖は $(0)⊊(y-x^2)⊊(x,y)$ です。図形の鎖をそのまま裏返した形になっている。

標高定理

次元がどれだけ落ちるかを支配する定理があります。クルルの標高定理です^[1]。

ネーター環において、素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さが $n$ 以下であることと、$n$ 個の元で生成されるイデアルの上に $\mathfrak{p}$ が極小であることが同値になります。

$n=1$ の場合を主イデアル定理といいます。$1$ 本の式で切ると、次元は $1$ しか落ちない。

$$\dim A/(f)\ge \dim A-1$$

不等号が等号になるのは、$f$ が零因子でも単元でもないときです。切る式が新しい条件を課している場合、と読めます。

例: 式で切って次元を落とす

$A=k[x,y,z]$ は $3$ 次元です。$f=z-xy$ で切りましょう。

$A/(f)\cong k[x,y]$ となり、次元は $2$ です。ちょうど $1$ 落ちました。

もう 1 本切ります。$g=y$ を加えると $k[x]$ になり、次元は $1$ です。式を 1 本足すたびに 1 ずつ落ちている。

余次元 $c$ の部分多様体を $c$ 本の式で切れるとき、完全交叉といいます。標高定理は、$c$ 本より少ない本数では切れないことを保証しています。

例: 落ちない場合

いつでも落ちるわけではありません。$A=k[x,y]/(xy)$ を考えます。

$A$ は $2$ 直線の和に対応し、次元は $1$ です。ここで $f=x$ で割ると $k[x,y]/(xy,x)\cong k[y]$ になります。

次元は $1$ のまま落ちていません。$x$ が $A$ の中で零因子だからです。$y$ 軸の成分をまるごと残してしまいます。

零因子で切ると、成分を選び出すだけで細くならない。標高定理の不等号が等号になる条件は、ここで効きます。

変数を 1 本足すと 1 増える

多項式環との関係も定理になっています。$R$ がネーター環なら次が成り立ちます^[1]。

$$\dim R[x]=\dim R+1$$

$R=\mathbb{Z}$ とすると $\dim \mathbb{Z}[x]=2$ です。$(0)⊊(p)⊊(p,x)$ という鎖が実際に書けます。

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x]$ が「算術的な曲面」と呼ばれるのは、この $2$ 次元性によります。

べき級数環でも同じ形が成り立ちます。$\dim R[[x]]=\dim R+1$ です^[2]。

ネーター性を外すと崩れます。一般の環では $\dim R[x]$ が $\dim R+1$ より大きくなることがある。

例: 次元 0 の環

$\dim R=0$ とは、すべての素イデアルが極大だということです。鎖が伸びる余地がありません。

体はこの形です。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ や $k[x]/(x^3)$ も $0$ 次元になります。

ネーター環では、$0$ 次元であることとアルティン環であることが同値です。降鎖条件が入るぶん、構造がかなり限られます。

局所環で言い直すと、極大イデアルの元がすべて冪零であることと $0$ 次元であることが同値になります^[1]。

例: 局所環の次元

局所化は次元を落とします。$\dim A_{\mathfrak{p}}=\mathrm{ht}\mathfrak{p}$ となるためです。

$A=k[x,y]$、$\mathfrak{p}=(x)$ とすると、$A_{\mathfrak{p}}$ は $1$ 次元です。$(0)⊊(x)$ より下しか残らないからです。

$\mathfrak{m}=(x,y)$ でとれば $A_{\mathfrak{m}}$ は $2$ 次元になります。局所化する場所で答えが変わる。

離散付値環はこの形の代表です。$1$ 次元の局所整域のうち、整閉なものが離散付値環になります^[3]。

例: 無限次元のネーター環

直観が破れる例も挙げておきます。永田はネーターで Krull 次元が無限大の環を構成しました^[1]。

ネーター環では、どの素イデアルも高さが有限です。それでも高さに上限がなければ、全体の次元は無限になります。

高さが $1,2,3,\dots$ と際限なく上がる素イデアルを並べて作ります。有限性が各点でしか効いていない、という例です。

有限型代数に限れば、こういうことは起きません。体上有限生成なら次元は超越次数と等しく、有限です^[1]。

例: 成分ごとに次元が違う図形

既約でない図形では、成分ごとに次元が違うことがあります。

${\mathbb{A}}^3$ の中で、平面 $z=0$ と $z$ 軸の和を考えましょう。イデアルは $(z)\cap (x,y)$ です。

平面の成分は $2$ 次元、直線の成分は $1$ 次元です。鎖の長さの上限をとるので、全体の次元は $2$ になります。

次元は最大値です。すべての成分がその値をもつとは限りません。成分の次元がそろっている場合を等次元といいます。

局所的に見ると差が出ます。原点を通る局所環は $2$ 次元ですが、$z$ 軸の上で原点以外の点をとれば $1$ 次元です。

例: 有限な拡大では次元が変わらない

$k[x]\subset k[x,y]/(y^2-x)$ を考えます。右辺は $y$ について整な拡大です。

右辺は $k[y]$ に同型なので次元は $1$ です。左辺も $1$ なので変わっていません。

超越次数で見ると当たり前になります。$y^2=x$ という代数的な関係があるので、商体の超越次数は増えません^[4]。

一般に、整な拡大では次元が保たれます。有限射で図形を写しても、次元は動かない。

$k[x]\subset k[x,y]$ では次元が $1$ から $2$ へ上がります。$y$ が $x$ 上代数的でないためです。整であるかどうかが分かれ目になります。

例: 積をとると次元は足し算になる

${\mathbb{A}}^m$ と ${\mathbb{A}}^n$ の積は ${\mathbb{A}}^{m+n}$ です。次元は $m+n$ になります。

座標環はテンソル積で、$k[x_1,\dots ,x_m]{\otimes }_{k}k[y_1,\dots ,y_n]=k[x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n]$ です。

超越次数で見ると、$m$ 本と $n$ 本の独立な元を合わせて $m+n$ 本になります^[4]。だから次元も足し算です。

体上の既約多様体どうしなら、この足し算はいつでも成り立ちます。曲線と曲線の積は曲面になる。

いくつかの環の次元

数を並べて見ておきます。

$\mathbb{Z}$ と $k[x]$ が同じ $1$ なのは偶然ではありません。どちらも単項イデアル整域で、体ではないからです。

$\mathbb{Z}[x]$ と $k[x,y]$ が同じ $2$ になるところに、整数と多項式の似方が出ています。

練習

消去できる形かどうかを最初に見ると、計算がとても軽くなります。

よくある誤り

つまずきやすい点を並べます。

定義に戻れば、どれも短く決着します。鎖を 1 本書いてみるのがいちばん早い。

参考文献