Krull 次元とは何か

Krull 次元は、可換環の「大きさ」を測る基本的な不変量です。幾何学的には、対応する代数多様体の次元と一致するように定義されています。

定義

環 $R$ の Krull 次元（単に次元ともいう）は、 $R$ における素イデアルの真の包含列

$p_{0} ⊊ p_{1} ⊊ \dots ⊊ p_{n}$

の長さ $n$ の上限として定義されます。これを $dim R$ と書きます。

上限が存在しない場合は $dim R = \infty$ とします。有限次元の場合、Krull 次元は「素イデアルが何段積み重ねられるか」を表しています。

体

体 $k$ では、 $(0)$ 以外の真の素イデアルがありません。したがって $dim k = 0$ です。

整数環

$Z$ では、 $(0) ⊊ (p)$ という長さ $1$ の列が取れます。 $(p)$ は極大イデアルなのでこれ以上伸ばせません。よって $dim Z = 1$ です。

多項式環

体 $k$ 上の多項式環 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の次元は $n$ です。これは変数の個数と一致します。

$dim R = 0$ となるのは、すべての素イデアルが極大イデアルのときです。ネーター環の場合、これは $R$ がアルティン環であることと同値です。体や $Z / n Z$ が典型例です。

整数環 $Z$ や、体上の1変数多項式環 $k [x]$ は1次元です。もう少し一般に、Dedekind 整域（例えば代数体の整数環）は1次元の整閉ネーター整域です。

アフィン多様体 $X$ の座標環 $A$ の Krull 次元は、 $X$ の次元と一致します。 $n$ 次元の多様体は、 $(n - 1)$ 次元の部分多様体を含み、それは $(n - 2)$ 次元の部分多様体を含み、…という入れ子構造をもちます。これが素イデアルの包含列に対応しています。

点は $0$ 次元、曲線は $1$ 次元、曲面は $2$ 次元であり、それぞれの座標環の Krull 次元もこれと一致します。