商環をとると次元はどう変わるか

環をイデアルで割ると、次元はどう変化するでしょうか。一般には次元が下がりますが、どれだけ下がるかはイデアルの性質に依存します。

基本的な原理

$R$ を環、$I$ をイデアルとします。商環 $R/I$ の素イデアルは、$I$ を含む $R$ の素イデアルと一対一に対応します。

商をとると、$I$ を含まない素イデアルは「消えて」しまいます。残るのは $I$ を含むものだけなので、素イデアルの鎖は一般に短くなり、次元は下がります。

次元の公式

一般に $\dim R/I\le \dim R$ が成り立ちます。等号が成り立つのは、$I$ が「小さい」とき、例えば $I$ がべき零元のみからなるときです。

より精密な結果として、$R$ がネーター環で $I$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ のとき

$$\dim R/\mathfrak{p}+\mathrm{ht}(\mathfrak{p})=\dim R$$

が成り立つことがあります（カテナリー環の場合）。ここで $\mathrm{ht}(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ の高さ（height）で、$(0)$ から $\mathfrak{p}$ までの素イデアルの鎖の長さの上限です。

具体例

主イデアルで割る場合

$R$ が整域で $f\ne 0$ のとき、$\dim R/(f)=\dim R-1$ が期待されます。$f=0$ という一つの方程式で次元が一つ下がるのです。

ただし、$f$ が零因子の場合は事情が異なります。$R$ が整域でないとき、$(f)$ で割っても次元が下がらないことがあります。

余次元の概念

部分多様体 $Y\subset X$ の余次元（codimension）は $\dim X-\dim Y$ と定義されます。$Y$ が $f_1=\cdots =f_r=0$ で定義されるとき、「理想的には」余次元は $r$ になりますが、方程式に依存関係があると余次元は $r$ より小さくなります。