商環をとると次元はどう変わるか｜落ちる場合と落ちない場合

商環をとると、素イデアルの一部だけが生き残ります。

$R/I$ の素イデアルは、$I$ を含む $R$ の素イデアルと 1 対 1 に対応します。$I$ を含まないものは、商へ移った時点で消える。

鎖を作る材料が減るので、次元は上がりません。どれだけ減るかが本題です。

以下では対応を確かめてから、落ちる量を左右する条件を並べます。落ちない例と、落ちすぎるように見える例まで扱う。

商環の素イデアル

$\pi :R\to R/I$ を自然な全射とします。$R/I$ の素イデアル $\bar{\mathfrak{q}}$ に対して $\mathfrak{q}={\pi }^{-1}(\bar{\mathfrak{q}})$ をとりましょう。

$\mathfrak{q}$ は $R$ の素イデアルで、$I$ を含みます。逆に $I$ を含む素イデアル $\mathfrak{q}$ からは $\mathfrak{q}/I$ が作れます。

2 つの対応は互いに逆で、包含関係も保ちます。したがって次が成り立ちます。

$$\mathrm{Spec}(R/I)\cong V(I)=\{\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}R:I\subseteq \mathfrak{q}\}$$

鎖もそのまま対応します。$R/I$ の鎖は、$I$ を含む素イデアルだけからなる $R$ の鎖です。

材料が部分集合になったので $\dim R/I\le \dim R$ が出ます。等号もありえます。

根基だけで決まる

次元を左右するのは $I$ そのものではなく、その根基です。

素イデアルは冪根に閉じています。$f^r\in \mathfrak{q}$ なら $f\in \mathfrak{q}$ です。

したがって $I$ を含む素イデアルと $\sqrt{I}$ を含む素イデアルは同じ集合になります^[3]。

$$\dim R/I=\dim R/\sqrt{I}$$

$k[x,y]/(x^2)$ と $k[x,y]/(x)$ を比べましょう。前者には $x\ne 0$ で $x^2=0$ という冪零元がありますが、次元はどちらも $1$ です。

環としては違い、次元では差が出ない。冪零元は素イデアルに全部入るので、鎖に影響しません。

残る素イデアルを絞る

対応のようすを動かします。

$I$ が大きくなるほど、それを含む素イデアルは少なくなります。最後は $I=R$ で 1 つも残りません。

材料が減れば鎖も短くなる。ただし減り方は一定ではありません。

$I=(x)$ の段では、まだ長い鎖が残っています。どの素イデアルが消えたかで、落ち方が決まります。

素イデアルで割ると余高さになる

$I$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ の場合は、量に名前が付いています。

$\dim R/\mathfrak{p}$ を $\mathfrak{p}$ の余高さといいます。$\mathfrak{p}$ から上へ伸びる鎖の長さです。

反対に $\mathrm{ht}\mathfrak{p}$ は下へ伸びる鎖の長さでした。上と下を分けて数えています。

体上有限生成な整域では、この 2 つを足すと全体になります^[2]。

$$\dim R/\mathfrak{p}+\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\dim R$$

$R=k[x,y,z]$、$\mathfrak{p}=(x)$ で確かめましょう。$R/\mathfrak{p}\cong k[y,z]$ で $2$、高さは $1$、合わせて $3$ です。

例: 計算を 6 つ並べる

実際に手を動かします。

上から 3 つは、$2$ 次元の環を割って $1$ 次元にした例です。$1$ 本の式で $1$ 落ちています。

4 つ目は極大イデアルで割ったので $0$ になりました。$2$ 本の式で $2$ 落ちています。

5 つ目は $2$ 本の式で $1$ しか落ちていません。$xz$ と $yz$ に $z$ という共通因子があるためです。

成分ごとに見る

落ち方が読みにくいときは、極小素イデアルへ分けます。

$\sqrt{I}$ の極小素イデアルを ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_s$ とすると、$V(I)$ の既約成分がこれらに対応します。

次元は成分ごとの次元の最大値です。

$$\dim R/I=\underset{i}{\max }\dim R/{\mathfrak{p}}_i$$

$k[x,y,z]/(xz,yz)$ なら $\sqrt{I}=(z)\cap (x,y)$ で、極小素イデアルは $(z)$ と $(x,y)$ です。

$R/(z)\cong k[x,y]$ が $2$ 次元、$R/(x,y)\cong k[z]$ が $1$ 次元なので、最大をとって $2$ になります。

成分の次元がそろっていないので、等次元ではありません。落ちる量が読みにくかったのは、この非対称のせいです。

対応を絵にする

$V(I)$ と $\mathrm{Spec}(R/I)$ の関係を描きます。

$\mathrm{Spec}(R/I)$ は、$\mathrm{Spec}R$ の閉部分集合 $V(I)$ とそっくり同じ空間です。

環の側では冪零元の分だけ情報が増えます。図では帯の厚みが、その増えた分にあたります。

位相空間としては同じでも、環としては違う。この差が次元には効きません。

例: 落ちない場合と、消える場合

両端の例を確かめます。

$I$ が冪零元だけからなるなら、$\sqrt{I}=\sqrt{0}$ なので次元は変わりません。$k[x]/(0)$ と $k[x]$ は同じです。

$I=R$ なら $R/I$ は零環です。素イデアルが 1 つもないので、鎖が作れません。慣習として次元を $-\infty$ とします。

$I$ が極小素イデアルの 1 つに等しいなら、その成分だけが残ります。$k[x,y]/(xy)$ をさらに $(x)$ で割ると $k[y]$ で、次元は $1$ のままです。

零因子で割ったときに落ちないのは、この形になっているためです。成分を選び出しただけで細くなっていません。

落ちる量の下限

上限は $\dim R$ でした。下限のほうも押さえられます^[1]。

$I$ が $n$ 個の元で生成されるなら、$\dim R/I\ge \dim R-n$ が成り立ちます。標高定理から出る形です。

$n=1$ なら $1$ しか落ちません。$n$ 本なら $n$ までしか落ちない。

$k[x,y,z]/(xz,yz)$ は $n=2$ で $3-2=1$ 以上、実際は $2$ です。下限に届いていません。

下限に届くのが完全交叉の場合です。正則列で生成されていれば、ちょうど $n$ 落ちます。

幾何の側から読む

商をとる操作は、閉部分スキームを切り出す操作です^[4]。

$V(I)$ が図形、$R/I$ がその座標環になります。次元は図形の次元です。

イデアルを大きくするほど図形は小さくなります。包含が逆転する対応の、いちばん基本的な現れです^[5]。

根基まで込みで考えると、図形は根基しか見ません。太さを見たいときは環の側へ下りる必要があります。

練習

まず根基を求める。それだけで次元の計算はほとんど終わります。

よくある誤り

まとめます。

根基をとってから極小素イデアルに分ける。この 2 手で、たいていの計算は片づきます。

参考文献