消せる特異点、消せない特異点、手に負えない特異点（孤立特異点の三分類）

正則でない点が 1 つだけぽつんとあるとき、その点は 3 種類のどれかに落ちます。除去可能特異点、極、真性特異点の 3 つ^[1]。

見分け方は 2 通りあります。ローラン展開の主要部を数えるか、$z\to a$ の極限がどうなるかを見るか。どちらでも同じ分類になります。

3 つの性格はまるで違う。除去可能なら値を 1 つ決めるだけで正則に戻り、極なら絶対値がまっすぐ発散し、真性特異点では近づく向きしだいで何にでも化けます。

孤立特異点とは

点 $a$ が $f$ の孤立特異点であるとは、$a$ では正則でないのに、$a$ を抜いた近くの円板 $0<|z-a|<r$ では正則であることを言います。

まわりに仲間がいない、という意味で孤立。$1/z$ の原点、$1/\sin z$ の $z=n\pi$ がこれにあたります。

孤立でない特異点もあります。$\log z$ の原点は分岐点で、まわりを一周すると値が戻らない。$1/\sin (1/z)$ の原点には極が無限に押し寄せます。

以下の分類は、孤立している場合だけの話です。ローラン展開が使えることが前提になります。

主要部で分ける

$a$ を抜いた円板でローラン展開し、負の次数の項を数えます。

3 つで尽きています。負の次数の個数は $0$ か有限か無限のどれかで、それ以外の場合がないため^[4,5]。

除去可能特異点

主要部がなければ、展開はふつうのべき級数です。

$$f(z)=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a{)}^2+\cdots$$

右辺は $a$ でも意味を持ちます。$f(a)=c_0$ と定め直せば、$f$ は $a$ を含めて正則になる。

特異点が消えてしまうので、除去可能と呼びます。もともと関数の定義に穴が空いていただけで、性質が悪かったわけではありません。

リーマンの除去可能定理

見た目より弱い条件で判定できます。$a$ の近くで $f$ が有界でありさえすればよい。

この 4 つは同値です^[2]。いちばん確かめやすい 3 番目を見れば、正則に延ばせるという強い結論まで届く。

証明は $h(z)=(z-a{)}^{2}f(z)$ を作る流れです。$h$ は $a$ で正則になり $h(a)=h^{\prime }(a)=0$ なので、テイラー展開が 2 次から始まる。$(z-a{)}^2$ で割れば $f$ の展開が出ます。

実関数では、有界だから滑らかに延ばせるという話にはなりません。正則関数の固さがここにも出ています。

例：$\sin z/z$

$z=0$ で分母が消えますが、分子も消えます。展開すれば主要部がないと分かる。

$$\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots$$

$f(0)=1$ と定めれば整関数になります。実の解析でも極限が $1$ になる、よく知られた形。

例：$(\cos z-1)/z^2$

分子は $-z^2/2+z^4/24-\cdots$ です。分母の $z^2$ で割ると負の次数が残りません。

$$\frac{\cos z-1}{z^2}=-\frac{1}{2}+\frac{z^2}{24}-\cdots$$

原点での値を $-1/2$ とすれば正則です。分母の次数だけを見て 2 位の極と決めると外します。

分子が原点で 2 位の零点を持つので、ちょうど打ち消し合う。約分してから位数を数えるという手順が要ります。

極

主要部が有限項で止まるとき、$a$ は極です。最高の負の次数を位数と呼ぶ。

$$f(z)=\frac{c_{-n}}{(z-a{)}^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}+c_0+\cdots$$

$c_{-n}\ne 0$ なら $n$ 位の極。位数 $1$ の極を単純極と言います。

極では $|f(z)|\to \infty$ が近づき方によらず成り立ちます。向きを選んでも逃げ道はない。

逆に $|f(z)|\to \infty$ なら極です。$1/f$ が $a$ の近くで有界になり、リーマンの定理から正則に延ばせて、その零点の位数が $f$ の極の位数になります。

位数は $(z-a{)}^{m}f(z)$ が正則に延ばせる最小の $m$ としても測れます。$m$ が足りなければ極が残り、余分にとれば零点ができる。

例：位数を数える

$f(z)=\frac{z+3}{(z-1{)}^2(z+2)}$ の特異点は $z=1$ と $z=-2$ です。

$z=1$ では分子が $4$ で $0$ にならないので、2 位の極。$z=-2$ では分子が $1$ なので、1 位の極です。

分子が特異点で $0$ になるときだけ位数が下がります。まず値を入れて、消えるかどうかを確かめる。

極と零点は裏表

$f$ が $a$ で $m$ 位の零点を持てば、$1/f$ は $a$ で $m$ 位の極を持ちます。逆も成り立つ。

$$f(z)=(z-a{)}^{m}g(z),g(a)\ne 0⟺\frac{1}{f(z)}=\frac{1}{(z-a{)}^m}\cdot \frac{1}{g(z)}$$

$1/g$ は $a$ の近くで正則なので、位数がそのまま移ります。零点の数え方と極の数え方が同じ形になるのはこのため。

$1/\sin z$ が $z=n\pi$ で単純極を持つのも、$\sin z$ の零点がすべて 1 位だからです。

真性特異点

主要部が無限に続くとき、$a$ は真性特異点です。極限は存在せず、絶対値も一方向へ逃げません。

代表例は $e^{1/z}$ の原点。展開すると負の次数がいつまでも現れます。

$$e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots$$

近づく向きで結果が変わります。正の実軸ぞいなら $1/z$ が正の大きな数になって発散し、負の実軸ぞいなら $0$ へ落ちる。

虚軸ぞいでは $1/z$ が純虚数になり、絶対値がずっと $1$ のまま回り続けます。3 通りの向きで 3 通りの結末。

極なら向きを変えても発散という結論は動きません。真性特異点との差はここに出ます。

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理

暴れ方には形があります。真性特異点のどんな小さな近傍をとっても、その像は複素平面全体で稠密になる。

つまり、どんな複素数 $w$ を選んでも、$a$ のいくらでも近くに $f(z)$ が $w$ にいくらでも近くなる点があります。

証明は背理法です。ある $b$ の近くへ来ないと仮定すると $g=1/(f-b)$ が有界になり、リーマンの定理で正則に延びる。$g$ の極限が $0$ なら $f$ は極を持ち、$0$ でなければ除去可能となって、どちらも仮定に反します^[3]。

ピカールの大定理

稠密よりさらに強い結論があります。真性特異点の近くで、$f$ は高々 1 つの例外を除くすべての複素数値を、無限回とる^[3]。

近づくのではなく、実際にその値をとる。しかも 1 回ではなく無限回とります。

$e^{1/z}$ の例外値は $0$ です。指数関数は $0$ にならないので、この 1 つだけが漏れる。

例：$e^{1/z}$ がすべての値をとる

$0$ でない $w$ に対して $e^{1/z}=w$ を解きます。$1/z=\log w+2\pi ik$ とおけばよい。

$$z=\frac{1}{\log w+2\pi ik}$$

$k$ を大きくすると分母が大きくなり、$z$ は $0$ へ近づきます。どの近傍にも解が無限個ある。

$w=0$ だけは解がありません。ピカールの言う例外がちょうど 1 つ現れる形です。

極限で分類する

主要部を書き出さずに、極限だけで分類することもできます。

絶対値が無限へ発散するなら極、極限がまったく定まらないなら真性特異点です。3 つの場合分けはこれで尽きます。

分類の道具としては極限のほうが速い。留数まで欲しいときは、結局ローラン展開へ戻ることになります。

孤立していない特異点

分類の前提は孤立していることでした。外れる例も押さえておきます。

$\sqrt{z}$ や $\log z$ の原点は分岐点です。原点を一周すると値が別の枝へ移るので、そもそも一価な関数として展開できません。

$1/\sin (1/z)$ の原点には、$z=1/(n\pi )$ という極が無限に集まります。どんなに小さな近傍をとっても中に極が入るので、孤立しない。

境界のすべての点が特異点になる例もあります。$\sum z^{2^n}$ は単位円板で正則ですが、円周のどこからも外へ延ばせません。自然境界と呼ばれる状況。

有理型関数

領域の中の特異点が極だけなら、その関数を有理型と言います。真性特異点も分岐点も持たない、という条件。

有理関数、$\tan z$、$1/\sin z$ が例です。$e^{1/z}$ は原点が真性特異点なので外れます。

有理型関数は $g/h$ という形の商として扱えるので、零点と極を数える議論がそのまま通ります。偏角の原理や留数定理が効くのもこの範囲^[6,7]。

よくある誤り

3 つの分類は、主要部という 1 つのものさしから出ています。負の次数がいくつ立っているかを数えるだけで、関数の近くでの振る舞いがそこまで決まってしまう。

参考文献