特異点の分類（極・真性特異点・除去可能特異点）

複素関数の特異点には、性質の異なる 3 種類があります。ローラン展開の主要部を見ると、どの種類かがわかります。

孤立特異点とは

点 $a$ が孤立特異点であるとは、$a$ では正則でないが、$a$ の近く（$0<|z-a|<r$ となる領域）では正則であることを意味します。

孤立特異点は次の 3 つに分類されます。

除去可能特異点

ローラン展開の主要部がない、つまり負のべきの項がすべて 0 の場合です。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

$f(a)=c_0$ と定義し直せば、$f$ は $a$ でも正則になります。特異点を「除去」できるので、この名前がついています。

例として $f(z)=\frac{\sin z}{z}$ を見ます。$z=0$ は定義されていませんが

$$\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z}\left(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots \right)=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots$$

主要部がないので、$f(0)=1$ と定義すれば原点でも正則になります。

極

主要部が有限項で終わる場合です。$c_{-n}\ne 0$ で $c_{-m}=0$（$m>n$）のとき、$a$ は $n$ 位の極といいます。

$$f(z)=\frac{c_{-n}}{(z-a{)}^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{z-a}+c_0+c_1(z-a)+\cdots$$

例として $f(z)=\frac{1}{(z-1{)}^3}$ は $z=1$ で 3 位の極を持ちます。

極の特徴は、$z\to a$ で $|f(z)|\to \infty$ となることです。

真性特異点

主要部が無限に続く場合です。

$$f(z)=\cdots +\frac{c_{-3}}{(z-a{)}^3}+\frac{c_{-2}}{(z-a{)}^2}+\frac{c_{-1}}{z-a}+c_0+\cdots$$

例として $f(z)=e^{1/z}$ があります。

$$e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots$$

負のべきが無限に現れるので、原点は真性特異点です。

真性特異点の奇妙な振る舞い

ピカールの定理によると、真性特異点の近くで関数はほとんどすべての複素数値を取ります。$z\to a$ での極限が存在しない、非常に「荒れた」振る舞いをします。

たとえば $e^{1/z}$ で $z\to 0$ を考えると、近づく方向によって値が大きく変わります。正の実軸から近づくと $+\infty$ へ、負の実軸から近づくと $0$ へ向かいます。

分類のまとめ

特異点の分類は、ローラン展開を見れば判定できます。