留数定理を使って複素積分を求める

留数定理は、特異点を含む経路での複素積分を計算する強力な道具です。コーシーの積分定理が「穴がなければ 0」だったのに対し、留数定理は「穴があるときいくらになるか」を教えてくれます。

留数とは

関数 $f(z)$ が点 $a$ で孤立特異点を持つとき、$a$ のまわりでローラン展開すると

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

と書けます。このとき、$(z-a{)}^{-1}$ の係数 $c_{-1}$ を点 $a$ における留数といい、$\mathrm{Res}(f,a)$ または ${\mathrm{Res}}_{z=a}f(z)$ と書きます。

留数定理

$f(z)$ が閉曲線 $C$ の内部で、有限個の孤立特異点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ を除いて正則であるとき

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,a_k)$$

が成り立ちます。積分値は、内部の特異点での留数の総和に $2\pi i$ をかけたものです。

基本例：$1/z$ の積分

$f(z)=1/z$ のローラン展開は $f(z)=z^{-1}$ そのものなので、原点での留数は 1 です。原点を囲む単位円での積分は

$${\oint }_{|z|=1}\frac{1}{z}dz=2\pi i\cdot 1=2\pi i$$

以前直接計算した結果と一致します。

もう少し複雑な例

$f(z)=\frac{e^z}{z^2}$ を単位円で積分します。

$e^z$ のテイラー展開 $e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots$ を使うと

$$\frac{e^z}{z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!}+\frac{z}{3!}+\cdots$$

$z^{-1}$ の係数は 1 なので、$\mathrm{Res}(f,0)=1$ です。よって

$${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2}dz=2\pi i$$

複数の特異点がある場合

$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$ を $|z|=2$ で積分します。内部に $z=0$ と $z=1$ の 2 つの特異点があります。

部分分数分解すると

$$\frac{1}{z(z-1)}=\frac{-1}{z}+\frac{1}{z-1}$$

$z=0$ での留数は $-1$、$z=1$ での留数は $1$ です。したがって

$${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{z(z-1)}dz=2\pi i\cdot (-1+1)=0$$

留数定理は複素積分だけでなく、実積分の計算にも応用できます。