主イデアル定理と標高定理：素イデアルの鎖はどこで止まるか

素イデアルの鎖の長さは、段の数から 1 を引いた値です。

$${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$$

この鎖の長さは $n$、素イデアルの個数は $n+1$ 個になります^[1]。

数え方が決まっても、鎖のふるまいはそこから先です。両端をそろえた鎖の長さが一致するとは限らず、鎖に上限があること自体にも証明が必要になる。

鎖にまつわる 4 つの言葉

鎖を扱うときに使い分ける言葉を並べます。

Krull 次元は、すべての鎖の長さの上限です^[1]。極大鎖だけを見れば足りるため、両端は極小素イデアルと極大イデアルに限られる。

高さの反対にあたる量もあります。$\dim R/\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{p}$ から上へ伸びる鎖の長さで、余高さと呼ばれる。

局所化と剰余で鎖を切り出す

高さと余高さは、どちらも環をとりかえると次元そのものになります。ここは証明が短いため、先に済ませます。

$S=R\setminus \mathfrak{p}$ で局所化します。素イデアル $\mathfrak{q}$ が $R_{\mathfrak{p}}$ に残る条件は $\mathfrak{q}\cap S=\varnothing$、つまり $\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}$。

残ったものが元に戻ることを見ます。$y\in \mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{p}}\cap R$ とすると $y=q/s$、$q\in \mathfrak{q}$、$s\notin \mathfrak{p}$ と書ける。分母を払うと $tsy=tq\in \mathfrak{q}$ となる $t\notin \mathfrak{p}$ がとれる。

$ts\notin \mathfrak{p}$ で $\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}$ だから $ts\notin \mathfrak{q}$ です。$\mathfrak{q}$ は素イデアルなので $y\in \mathfrak{q}$ になる。よって $\mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{p}}\cap R=\mathfrak{q}$。

これで包含を保つ 1 対 1 対応が決まりました。$\mathfrak{p}$ で終わる鎖と $R_{\mathfrak{p}}$ の鎖が対応するため、次の等式が成り立ちます^[2]。

$$\dim R_{\mathfrak{p}}=\mathrm{ht}\mathfrak{p}$$

剰余のほうは対応がもっと素直です。$R/\mathfrak{p}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルだけで、$\dim R/\mathfrak{p}$ が上向きの鎖の長さになる。

$R=k[x,y,z]$、$\mathfrak{p}=(x)$ で確かめます。$R_{\mathfrak{p}}$ は $1$ 次元、$R/\mathfrak{p}\cong k[y,z]$ は $2$ 次元で、足すと $3$。

一意分解整域なら高さ 1 は単項

高さ $1$ は、$(0)$ のすぐ上の一段です。一意分解整域では、この段が単項イデアルに限られます^[2]。

$R$ を一意分解整域、$\mathfrak{p}$ を高さ $1$ の素イデアルとします。$\mathfrak{p}\ne (0)$ から $0$ でない $x\in \mathfrak{p}$ がとれ、$\mathfrak{p}\ne R$ より $x$ は単元ではない。

$x$ を素元に分解して $x=x_1{x}_2\cdots x_r$ と書きます。積が素イデアル $\mathfrak{p}$ に入るため、どれかの $x_i$ が $\mathfrak{p}$ に入る。

$x_i$ は素元だから $x_{i}R$ は素イデアルで、$x_i\ne 0$ から $x_{i}R\ne (0)$ です。並べると素イデアルの鎖ができます。

$$(0)⊊x_{i}R\subseteq \mathfrak{p}$$

$\mathrm{ht}\mathfrak{p}=1$ だから、この鎖はこれ以上伸びない。よって $x_{i}R=\mathfrak{p}$ となる。

例：平面の鎖を全部書く

$R=k[x,y]$ の素イデアルを分類しましょう。$k$ は代数閉体とします。

$(0)$ が唯一の極小素イデアルです。$R$ が整域だから。

高さ $1$ は、いま示した通り単項です。$k[x,y]$ は一意分解整域で、既約多項式 $f$ による $(f)$ に限られる。

高さ $2$ の素イデアルは極大イデアル $(x-a,y-b)$ で、平面の点に対応します^[5]。

極大鎖はどれも長さ $2$ です。$(0)⊊(f)⊊\mathfrak{m}$ の形しかない。

下端が 1 つ、上へ枝分かれしていく。どの経路も 2 段で上端に届く。

上端の点は無限にありますが、鎖の長さはどれも同じです。このそろい方が、次の例では崩れます。

極大鎖の長さがそろわない例

$A=k[x,y,z]/(xz,yz)$ をとります。まず極小素イデアルを求めましょう。

主張は $(xz,yz)=(z)\cap (x,y)$ です。左辺が右辺に入ることは、$xz$ も $yz$ も両方のイデアルに属することから分かる。

逆を見ます。$f\in (z)\cap (x,y)$ とすると $f=zg$ と書けて、$zg\in (x,y)$ です。$(x,y)$ は素イデアルで $z\notin (x,y)$ だから $g\in (x,y)$。

$g=xa+yb$ と書けるため $f=xza+yzb$ となり、$(xz,yz)$ に入ります。これで等号が示せました。

$k[x,y,z]/(z)\cong k[x,y]$ と $k[x,y,z]/(x,y)\cong k[z]$ はどちらも整域で、$(z)$ と $(x,y)$ は素イデアル。互いに含み合わないため、極小素イデアルはこの 2 つになる。

それぞれから極大イデアル $(x,y,z)$ まで伸ばします。

$$(z)⊊(z,x)⊊(z,x,y),(x,y)⊊(x,y,z)$$

飽和であることを剰余環で確かめます。左の鎖を $k[x,y,z]/(z)\cong k[x,y]$ で見ると $(0)⊊(x)⊊(x,y)$ で、高さは $0$、$1$、$2$。段のあいだに何も挟めません。

右の鎖は $k[x,y,z]/(x,y)\cong k[z]$ で $(0)⊊(z)$ になります。$k[z]$ は $1$ 次元で、こちらも挟めない。

上の鎖は長さ $2$、下の鎖は長さ $1$ です。どちらも極大鎖なのに長さが違う。

図形の側で見ると当たり前になります。$V(xz,yz)$ は $xy$ 平面と $z$ 軸の和で、平面の中では点まで 2 段、直線の中では 1 段しか下りられません。

次元は上限をとるため $2$ です。極大鎖の長さがすべて次元に等しいとは限らない、という例になる。

カテナリー環

長さのそろい方には名前がついている。

$\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$ を結ぶ飽和鎖がどれも同じ長さになるとき、環をカテナリーといいます^[4]。

さきほどの例はカテナリーです。長さが違ったのは両端が違う極小素イデアルにあるためで、同じ 2 点を結ぶ鎖どうしはそろっている。

飽和かどうかは、鎖として正しいかどうかとは別です。$k[x,y,z]$ で $(0)⊊(x,y)$ をとると長さ $1$ の鎖になりますが、$(x)$ を挟めるため飽和ではない。

刻めるところまで刻んだ鎖の長さが、2 点のあいだの本当の距離です。カテナリー性は、この距離が経路によらないことを言っている。

有限生成代数まですべてカテナリーになるとき、普遍カテナリーといいます^[4]。体上有限生成な環や、コーエン・マコーレー環がこの仲間です。

鎖定理を証明する

体 $K$ 上有限生成な整域 $R$ では、次の等式が成り立つ^[2][3]。

$$\mathrm{ht}\mathfrak{p}+\dim R/\mathfrak{p}=\dim R$$

出発点は鎖定理です。$t$ を商体の $K$ 上の超越次数とすると、$R$ の極大鎖はどれも長さ $t$ になる^[3]。ネーターの正規化定理で $R$ を多項式環上有限にし、下降定理で鎖を移して示します^[5]。

これを認めて等式を出しましょう。$(0)$ から $\mathfrak{p}$ までの飽和鎖を 1 本とり、長さを $a$ とします。

$\mathfrak{p}$ から極大イデアルまでの飽和鎖のうち、長さが $\dim R/\mathfrak{p}$ のものをとります。$R/\mathfrak{p}$ の中でいちばん長い鎖は飽和で、上端が極大イデアルになるためです。

2 本を $\mathfrak{p}$ でつなぐと、$(0)$ から極大イデアルまでの飽和鎖ができる。長さは $a+\dim R/\mathfrak{p}$ で、下端は $(0)$、上端は極大イデアルだから極大鎖になる。

鎖定理より、この長さは $t=\dim R$ に等しい。つまり $a=\dim R-\dim R/\mathfrak{p}$ が、飽和鎖の選び方によらず決まります。

$a$ の上限が $\mathrm{ht}\mathfrak{p}$ だから、$\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\dim R-\dim R/\mathfrak{p}$ です。移項すると等式になる。

永田の反例

カテナリーでも普遍カテナリーとは限りません。永田雅宜が 1956 年に反例を構成しました^[4]。

$2$ 次元のネーター局所整域で、カテナリーだが普遍カテナリーでないものです。$k[[x]]$ の中に $k(x)$ 上超越的なべき級数をとり、そこから作った半局所環の 2 つの極大イデアルを貼り合わせて得られます^[4]。

貼り合わせる 2 つの高さが違うところで、鎖の長さがそろわなくなる。

同じ永田は、ネーターで Krull 次元が無限になる環も構成しました^[1]。どの素イデアルも高さは有限なのに、高さに上限がありません。

ネーター性は各点でしか効かない、という例です。全体を縛るには有限生成のような条件が別に必要になる。

主イデアル定理

鎖の長さを上から縛る定理に移ります。証明の中心はここです^[2][3]。

ネーター環 $R$ と $(x)\ne R$ をみたす $x\in R$ をとります。$\mathfrak{p}$ が $(x)$ の極小素因子なら $\mathrm{ht}\mathfrak{p}\le 1$。これが主イデアル定理です。

背理法で示します。$\mathrm{ht}\mathfrak{p}\ge 2$ とすると、$\mathfrak{s}⊊\mathfrak{q}⊊\mathfrak{p}$ となる素イデアルがとれる。

まず $\mathfrak{p}$ で局所化します。さきほどの対応で鎖はそのまま残り、$\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ は $x{R}_{\mathfrak{p}}$ の極小素因子のままです。次に $\mathfrak{s}$ で割ります。局所環であることも極小素因子であることも保たれる。

こうして $(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所整域、$\mathfrak{m}$ を $(x)$ の極小素因子、$0⊊\mathfrak{q}⊊\mathfrak{m}$ としてよくなりました。

$\mathfrak{m}$ は唯一の極大イデアルで、しかも $(x)$ の極小素因子です。だから $(x)$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけで、$\dim R/(x)=0$ になります。ネーターかつ $0$ 次元なので $R/(x)$ は有限長で、降鎖条件が成り立つ^[2]。

ここで記号的べきを持ちこみます。

${\mathfrak{q}}^{(n+1)}\subseteq {\mathfrak{q}}^{(n)}$ より、$R/(x)$ の中に降鎖ができる。有限長のため止まり、ある $n$ で次が成り立つ^[2]。

$${\mathfrak{q}}^{(n)}+(x)={\mathfrak{q}}^{(n+1)}+(x)$$

$y\in {\mathfrak{q}}^{(n)}$ をとって $y=a+xb$、$a\in {\mathfrak{q}}^{(n+1)}$ と書きます。$xb=y-a$ は ${\mathfrak{q}}^{(n)}$ に入るため、$sxb\in {\mathfrak{q}}^n$ となる $s\notin \mathfrak{q}$ がとれる。

$\mathfrak{m}$ が $(x)$ の極小素因子で $\mathfrak{q}⊊\mathfrak{m}$ だから、$x\notin \mathfrak{q}$。$s$ も $\mathfrak{q}$ の外にあるため $sx\notin \mathfrak{q}$ となり、$b$ も ${\mathfrak{q}}^{(n)}$ に入ります。

$b$ が ${\mathfrak{q}}^{(n)}$ に入るということは、${\mathfrak{q}}^{(n)}$ が次の形に書けるということです。

$${\mathfrak{q}}^{(n)}={\mathfrak{q}}^{(n+1)}+x{\mathfrak{q}}^{(n)}$$

$x\in \mathfrak{m}$ より右辺は ${\mathfrak{q}}^{(n+1)}+\mathfrak{m}{\mathfrak{q}}^{(n)}$ に含まれる。$R$ がネーターで ${\mathfrak{q}}^{(n)}$ が有限生成なため、中山の補題から ${\mathfrak{q}}^{(n)}={\mathfrak{q}}^{(n+1)}$。

これを $R_{\mathfrak{q}}$ へ送ります。${\mathfrak{q}}^k{R}_{\mathfrak{q}}={\mathfrak{q}}^{(k)}{R}_{\mathfrak{q}}$ が成り立つため、次の等式になる。

$${\mathfrak{q}}^n{R}_{\mathfrak{q}}=\mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{q}}\cdot {\mathfrak{q}}^n{R}_{\mathfrak{q}}$$

局所環 $(R_{\mathfrak{q}},\mathfrak{q}{R}_{\mathfrak{q}})$ と有限生成加群 ${\mathfrak{q}}^n{R}_{\mathfrak{q}}$ に中山をもう一度当てて、${\mathfrak{q}}^n{R}_{\mathfrak{q}}=0$ を得ます。

すると ${\mathfrak{q}}^{(n)}$ は $R_{\mathfrak{q}}$ で $0$ に送られる元の全体になり、$R$ が整域なので ${\mathfrak{q}}^{(n)}=0$。${\mathfrak{q}}^n\subseteq {\mathfrak{q}}^{(n)}$ から ${\mathfrak{q}}^n=0$ です。

整域で $z^n=0$ なら $z=0$ だから $\mathfrak{q}=0$ となり、$0⊊\mathfrak{q}$ に反します。これで背理法が閉じました。

標高定理へ広げる

$n$ 個の元に広げたものが標高定理です。ネーター環で $\mathfrak{p}$ が $(x_1,\dots ,x_n)$ の極小素因子なら $\mathrm{ht}\mathfrak{p}\le n$ になります^[2][3]。

$n$ についての帰納で示します。$n=1$ がいま証明した主イデアル定理です。

$\mathrm{ht}\mathfrak{p}\ge n+1$ と仮定し、鎖 $\mathfrak{p}={\mathfrak{p}}_{n+1}⊋\cdots ⊋{\mathfrak{p}}_0$ をとる。ここで $x_1\in {\mathfrak{p}}_1$ が言えたとしましょう。

そのとき $R/{\mathfrak{p}}_1$ の中で $\mathfrak{p}/{\mathfrak{p}}_1$ は $x_2,\dots ,x_n$ の像が生成するイデアルの極小素因子になり、長さ $n$ の鎖が残ります。$n-1$ 個の元に対する帰納法の仮定に反する。

あとは $x_1$ を下の段まで押し下げる手順です。$x=x_1$ が ${\mathfrak{p}}_k$ に入って ${\mathfrak{p}}_{k-1}$ に入らないとします。

局所整域 $D=R_{{\mathfrak{p}}_k}/{\mathfrak{p}}_{k-2}{R}_{{\mathfrak{p}}_k}$ を考え、$xD$ の極小素因子 ${\mathfrak{p}}^{\prime }$ をとる。主イデアル定理から $\mathrm{ht}{\mathfrak{p}}^{\prime }\le 1$ です。${\mathfrak{p}}_{k}D$ は高さ $2$ 以上なので、${\mathfrak{p}}^{\prime }\ne {\mathfrak{p}}_{k}D$。

$x\ne 0$ より ${\mathfrak{p}}^{\prime }\ne 0$ でもある。${\mathfrak{p}}^{\prime }$ を $R$ へ引き戻すと、${\mathfrak{p}}_{k-2}$ と ${\mathfrak{p}}_k$ のあいだにあって $x$ を含む素イデアルが手に入る^[3]。

これで ${\mathfrak{p}}_{k-1}$ を置き換えると、$x$ を含む段が 1 つ下がります。繰り返せば $x_1\in {\mathfrak{p}}_1$ にできて、帰納が回ります。

高さ 1 に戻る

主イデアル定理があると、高さ $1$ の話が両方向に伸びる。

まず逆向きの特徴づけです。ネーター整域で高さ $1$ の素イデアルがすべて単項なら、その環は一意分解整域になる^[2]。

素因数分解を持たない元があるとして、そういう $x$ のうち $xR$ が極大なものをとります。$xR$ の極小素因子 $\mathfrak{p}$ は主イデアル定理より高さ $1$ 以下で、$x\ne 0$ から $\mathfrak{p}\ne (0)$ だから高さはちょうど $1$。

仮定より $\mathfrak{p}=tR$ と書けます。$x\in \mathfrak{p}$ から $x=ty$ となり、$xR⊊yR$ が示せる。$xR$ の極大性から $y$ は素因数分解を持ちます。$t$ は素元だから、$t$ をかけた $x$ も分解を持つことになり矛盾する。

次に、単項でない高さ $1$ の例です。$A=k[x,y,z]/(xy-z^2)$ で $\mathfrak{p}=(\bar{x},\bar{z})$ をとります。

$A/\mathfrak{p}\cong k[y]$ は整域なので、$\mathfrak{p}$ は素イデアル。$xy-z^2$ は $x$ について 1 次で $y$ と $z^2$ に共通因子がないため既約で、$A$ も整域になります。

高さを測ります。$A/(\bar{x})$ では ${\bar{z}}^2=\bar{x}\bar{y}=0$ となるため、$(\bar{x})$ を含む素イデアルは $\bar{z}$ も含む。だから $\mathfrak{p}$ が $(\bar{x})$ の唯一の極小素因子で、主イデアル定理より高さは $1$ 以下です。$\mathfrak{p}\ne (0)$ とあわせて、ちょうど $1$ になる。

単項でないことを次数で見ます。$xy-z^2$ は $2$ 次の斉次式なので $A$ は次数付き整域で、$\bar{x}$ と $\bar{z}$ はどちらも $1$ 次です。

$\mathfrak{p}=(f)$ と書けたとします。$\bar{x}=fg$ と $\bar{z}=fh$ をみたす $g$、$h$ がとれる。

次数付き整域では、積の最低次の成分も最高次の成分も消えない。$\bar{x}$ が $1$ 次の斉次式であることから、$f$ と $g$ は斉次で次数の和が $1$ になる。

$\mathrm{deg}f=0$ なら $f$ は $0$ でない定数で $\mathfrak{p}=A$ となり、素イデアルであることに反する。$\mathrm{deg}f=1$ なら $g$ は定数で、$\bar{z}=fh$ に同じ議論を当てると $h$ も定数になり、$\bar{z}=c\bar{x}$ が導けます。

ところが $A$ の $1$ 次部分は $\bar{x}$、$\bar{y}$、$\bar{z}$ を基底とする $3$ 次元空間です。$\bar{z}=c\bar{x}$ は成り立たず、$\mathfrak{p}$ は単項ではありません。

例：算術の側の鎖

$\mathbb{Z}[x]$ で鎖を書きます。ネーター環では $\dim R[x]=\dim R+1$ となるため $\dim \mathbb{Z}[x]=2$ です^[1]。

$$(0)⊊(p)⊊(p,x)$$

$(p)$ は素数が生成する高さ $1$ の素イデアル、$(p,x)$ は剰余体が ${\mathbb{F}}_p$ の極大イデアル。

別の鎖もとれる。$(0)⊊(x)⊊(p,x)$ で、$x$ は $\mathbb{Z}[x]$ の中で既約。

どちらも長さ $2$ です。$\mathbb{Z}[x]$ は普遍カテナリーで、長さがそろいます^[4]。

例：短い鎖しか作れない環

鎖が伸びない例も見ておきます。

最後の例では素イデアルが 2 つあっても長さは $0$ です。個数ではなく包含の段数を数えている、という点がここで効く。

幾何の側から数え直す

鎖の言葉は、図形の言葉にそのまま翻訳できます^[5]。

素イデアルの鎖 ${\mathfrak{p}}_0⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_n$ には、既約閉集合の鎖 $V({\mathfrak{p}}_0)⊋\cdots ⊋V({\mathfrak{p}}_n)$ が対応する。

高さは余次元にあたる量です。$\mathrm{ht}\mathfrak{p}=c$ なら、$V(\mathfrak{p})$ は周りの空間より $c$ 次元だけ細い。

余高さ $\dim R/\mathfrak{p}$ は $V(\mathfrak{p})$ 自身の次元です。さきほど証明した等式は、余次元と次元を足すと全体になる、と読めます。

補足：標高定理の逆向き

上からの縛りには逆もあります。高さ $n$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ は、$n$ 個の元で生成されるイデアルの極小素因子にとれる^[3]。

だから高さとは、$\mathfrak{p}$ の中に何本の式を置けば $\mathfrak{p}$ がその極小素因子になるか、その最小の本数です。上からの縛りと下からの構成が、同じ数を挟み込んでいる。

系として、ネーター局所環の次元は極大イデアルの生成元の本数以下になる^[3]。とくに有限です。

正則局所環の定義で使うのも、この向きの不等号でした。生成元の本数が鎖の長さを押さえている。

参考