アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱える理由の一つです。
アフィン多様体の座標環
体 上のアフィン多様体 が多項式 の共通零点として定義されるとき、座標環は
と定義されます。座標環は 上の多項式関数全体のなす環です。
次元の一致
が既約なアフィン多様体のとき、座標環 は整域であり
が成り立ちます。左辺は多様体としての次元、右辺は環の Krull 次元です。
なぜ一致するのか
幾何学的な次元
の次元は、 に含まれる既約閉部分集合の列 の長さの上限です。
Krull 次元
の次元は、素イデアルの列 の長さの上限です。
既約閉部分集合と素イデアルは一対一に対応し、包含関係が逆転します。したがって、部分多様体の昇鎖と素イデアルの降鎖が対応し、両方の長さの上限が一致するのです。
具体例
平面曲線 を考えます。 が既約なら座標環は であり、これは1次元整域です。実際、素イデアルの鎖は
の形（ は極大イデアル）しか取れず、長さは1です。曲線が1次元であることと整合しています。
曲面 なら座標環 は2次元で、曲面が2次元であることに対応します。
関数体の超越次数
座標環が整域のとき、その商体を関数体 と呼びます。 の次元は、 の 上の超越次数とも一致します。
これは次元の別の特徴付けで、「独立な関数が何個取れるか」を表しています。 次元多様体では、 個の代数的に独立な関数が取れるのです。
