図形の次元と座標環の次元、なぜこの 2 つは一致するのか

図形の次元と、座標環の Krull 次元は同じ数になります。

図形の側では、真に縮んでいく既約閉集合の鎖を数えます。環の側では、真に大きくなる素イデアルの鎖を数える。

数えているものが裏返しの関係にあるので、長さがそろいます。以下ではこの対応を作り、4 通りの定義が一致することを確かめます。

体は代数閉体とします。閉体でないと、点とイデアルの対応が崩れるためです^[4]。

座標環

$X\subset {\mathbb{A}}^n$ をアフィン代数的集合とし、$I(X)$ を $X$ の上で消える多項式の全体とします。

$$k[X]=k[x_1,\dots ,x_n]/I(X)$$

これを座標環といいます。$X$ の上の多項式関数がなす環です。

$I(X)$ は根基イデアルです。$f^r$ が $X$ で消えるなら $f$ も消えるためです。

零点定理から、代数的集合と根基イデアルが 1 対 1 に対応します^[4]。この対応は包含を逆にします。

既約であることと素であること

$X$ が既約であることと、$I(X)$ が素イデアルであることが同値になります。

$I(X)$ が素でないとしましょう。$fg\in I(X)$ かつ $f,g\notin I(X)$ となる 2 つがとれます。

$X\cap V(f)$ と $X\cap V(g)$ はどちらも $X$ の真の閉部分集合で、合わせて $X$ を覆います。したがって $X$ は既約ではありません。

逆向きも同じ形の議論です。$X=X_1\cup X_2$ と真に分かれるなら、それぞれで消える多項式をとれば積が $I(X)$ に入ります。

既約閉集合と素イデアルの 1 対 1 対応が、これで得られました。

包含が裏返る

対応の向きを図にしておきます。

左では図形が縮み、右ではイデアルが太ります。段の数は変わりません。

長さは段の数から 1 を引いた値です。どちらの側で数えても $2$ になります。

定理: 2 つの次元は一致する

$X$ を既約なアフィン多様体とすると、次が成り立ちます^[1]。

$$\dim X=\dim k[X]$$

左辺は $X$ に含まれる既約閉集合の鎖の長さの上限、右辺は $k[X]$ の素イデアルの鎖の長さの上限です。

証明は対応をたどるだけです。$X$ の既約閉部分集合と $k[X]$ の素イデアルが 1 対 1 に対応し、包含が逆になります。

したがって長さ $n$ の鎖どうしが対応し、上限も一致します。新しい計算はどこにも要りません。

対応が閉体でだけ成り立つ点に注意が要ります。$\mathbb{R}[x]$ では $(x^2+1)$ が極大なのに、実数の点に対応しません^[4]。

例: 平面と曲線と曲面

具体的に数えます。

最後の例は整域でないので、定理の仮定を外れています。それでも次元は最大値として定まる。

既約でない場合は、成分ごとに次元を測って最大をとります。成分の次元がそろっているとは限りません。

超越次数という第 3 の定義

$X$ が既約なら座標環は整域で、その商体を関数体 $k(X)$ といいます。

$$\dim X={tr.deg}_{k}k(X)$$

代数的に独立な関数を何本とれるか、を数えています^[1]。

${\mathbb{A}}^n$ なら $k(x_1,\dots ,x_n)$ で、$x_1,\dots ,x_n$ が独立です。超越次数は $n$ になります。

放物線 $y=x^2$ の関数体は $k(x)$ です。$y$ は $x$ に代数的に従うので、独立なのは $x$ だけ。超越次数は $1$ です。

この定義は双有理不変です。関数体が同型な 2 つの多様体は、同じ次元をもちます。

ネーターの正規化定理

3 つの定義が一致することの根拠になるのが、正規化定理です^[3]。

$A$ を $k$ 上有限生成な代数とすると、代数的に独立な $y_1,\dots ,y_d\in A$ がとれて、$A$ が $k[y_1,\dots ,y_d]$ 上有限生成加群になります。

この $d$ が $A$ の Krull 次元です。$A$ が整域なら、商体の超越次数とも一致します^[3]。

幾何の言葉では、どのアフィン多様体も ${\mathbb{A}}^d$ への有限射をもつということです。分岐被覆として $d$ 次元空間の上に乗る。

有限射は次元を変えません。だから ${\mathbb{A}}^d$ の次元 $d$ が、そのまま $X$ の次元になります。

例: 正規化を作ってみる

正規化の $y$ を実際に選びます。

$A=k[x,y]/(y-x^2)$ は $k[x]$ に同型です。$y_1=x$ をとれば $A$ 自身が $k[x]$ なので、$d=1$ になります。

$A=k[x,y]/(xy-1)$ は $k[t,t^{-1}]$ に同型です。$y_1=x$ ととると、$y=1/x$ は $k[x]$ 上整ではありません。

代わりに $y_1=x+y$ をとります。$x$ は $T^2-y_{1}T+1=0$ をみたすので $k[y_1]$ 上整で、$d=1$ が出ます。

座標をうまくとり替えると整になる。正規化定理が保証しているのは、このとり替えがいつでも可能だという点です。

有限射として見る

有限射がどう見えるかを動かします。

円の上の点を横軸へ落とすと、たいていの点の上に 2 点が乗ります。左右の端でだけ 1 点に重なる。

どこでも有限個なので、円と直線の次元は同じ $1$ です。有限射は次元を変えません。

$xy=1$ を $x$ へ落とすと、$x=0$ の上に点がなくなります。これは有限射ではなく、座標のとり替えが要る場合にあたります。

接空間という第 4 の定義

滑らかな点でだけ使える定義もあります^[1]。

点 $P$ での局所環を $(R,\mathfrak{m})$ とすると、接空間は $(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2{)}^{\ast }$ です。$P$ が滑らかならこの次元が $\dim X$ に一致します。

特異点では使えません。接空間のほうが大きくなるためです。尖点では曲線が $1$ 次元なのに接空間は $2$ 次元になります。

滑らかな点は稠密に存在するので、どこか 1 点で測れば十分です。実用上は計算しやすい点を選びます。

例: 部分多様体と余次元

$Y\subset X$ を既約閉部分多様体とすると、余次元を $\dim X-\dim Y$ と定めます。

環の側では、$Y$ に対応する素イデアル $\mathfrak{p}$ の高さがこれにあたります。$(0)$ から $\mathfrak{p}$ までに何段あるかを数えている。

$X={\mathbb{A}}^3$、$Y$ を $z$ 軸とすると $\mathfrak{p}=(x,y)$ です。鎖は $(0)⊊(x)⊊(x,y)$ で高さ $2$、余次元も $2$ になります。

$k$ 上有限生成な整域では、$\dim k[X]/\mathfrak{p}+\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\dim k[X]$ が成り立ちます。上の例なら $1+2=3$ です。

この等式は一般の環では崩れます。有限生成という条件が効いている場面です。

例: 積をとる

$X$ と $Y$ を体 $k$ 上の既約多様体とすると、積の次元は足し算になります。

関数体の超越次数で見ると分かりやすい。$X$ から $\dim X$ 本、$Y$ から $\dim Y$ 本の独立な関数がとれ、合わせて独立なままです^[1]。

${\mathbb{A}}^m\times {\mathbb{A}}^n={\mathbb{A}}^{m+n}$ なら座標環が $k[x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n]$ で、次元は $m+n$ です。

曲線と曲線の積は曲面になります。${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ が $2$ 次元であることも同じ理由から出る。

例: グラフとして書き直す

写像のグラフを使うと、次元の計算が楽になることがあります。

$f:X\to {\mathbb{A}}^1$ を多項式写像とし、グラフ ${\Gamma }_f=\{(x,f(x))\}\subset X\times {\mathbb{A}}^1$ を考えましょう。

${\Gamma }_f$ は $X$ と同型です。第 1 成分への射影が逆写像を与えるためです。

したがって $\dim {\Gamma }_f=\dim X$ になります。$X\times {\mathbb{A}}^1$ の次元より $1$ 小さく、$y=f(x)$ という 1 本の式で切った形と辻褄が合う。

放物線 $y=x^2$ が ${\mathbb{A}}^1$ と同型で $1$ 次元なのも、この見方の特別な場合です。

4 つの定義を並べる

上の 2 つは対応で直結しています。3 番目は正規化定理を経由し、4 番目は滑らかな点でだけ成り立ちます。

計算するときは 3 番目が最も速いことが多い。関数体を見て独立な変数を数えるだけで済みます。

例: 次元を 4 つ計算する

$k[x,y,z]/(z-xy)$ は $k[x,y]$ に同型なので次元 $2$ です。関数体は $k(x,y)$ で超越次数も $2$。

$k[x,y]/(y^2-x^3)$ の関数体は $k(t)$ です。$x=t^2$、$y=t^3$ で書けるので超越次数は $1$、次元も $1$ になります。

$k[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2)$ は既約な曲面の座標環で、次元は $2$ です。$1$ 本の式で $3$ 次元から $1$ 落ちています。

$k[x,y]/(x^2,xy)$ は被約でありません。根基をとると $(x)$ になるので、台は $y$ 軸で次元は $1$ です。

被約でない環でも Krull 次元は定まります。冪零元は素イデアルにすべて含まれるので、次元には効きません^[2]。

練習

成分に分けて、それぞれの次元の最大をとる。既約でない場合の基本手順です。

よくある誤り

並べておきます。

どの定義で測っているかを言えるようにしておくと、迷ったときに別の道へ移れます。

参考文献