多様体の次元と座標環の次元

アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱える理由の一つです。

アフィン多様体の座標環

体 $k$ 上のアフィン多様体 $X \subset A^{n}$ が多項式 $f_{1}, \dots, f_{r}$ の共通零点として定義されるとき、座標環は

$k [X] = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (f_{1}, \dots, f_{r})$

と定義されます。座標環は $X$ 上の多項式関数全体のなす環です。

$X$ が既約なアフィン多様体のとき、座標環 $k [X]$ は整域であり

$dim X = dim k [X]$

が成り立ちます。左辺は多様体としての次元、右辺は環の Krull 次元です。

幾何学的な次元

$X$ の次元は、 $X$ に含まれる既約閉部分集合の列 $X_{0} ⊊ X_{1} ⊊ \dots ⊊ X_{n} = X$ の長さの上限です。

Krull 次元

$k [X]$ の次元は、素イデアルの列 $p_{0} ⊋ p_{1} ⊋ \dots ⊋ p_{n}$ の長さの上限です。

既約閉部分集合と素イデアルは一対一に対応し、包含関係が逆転します。したがって、部分多様体の昇鎖と素イデアルの降鎖が対応し、両方の長さの上限が一致するのです。

平面曲線 $C : f (x, y) = 0$ を考えます。 $C$ が既約なら座標環は $k [x, y] / (f)$ であり、これは1次元整域です。実際、素イデアルの鎖は

$(0) ⊊ m$

の形（ $m$ は極大イデアル）しか取れず、長さは1です。曲線が1次元であることと整合しています。

曲面 $S : g (x, y, z) = 0$ なら座標環 $k [x, y, z] / (g)$ は2次元で、曲面が2次元であることに対応します。

座標環が整域のとき、その商体を関数体 $k (X)$ と呼びます。 $X$ の次元は、 $k (X)$ の $k$ 上の超越次数とも一致します。

$dim X = tr.deg_{k} k (X)$

これは次元の別の特徴付けで、「独立な関数が何個取れるか」を表しています。 $n$ 次元多様体では、 $n$ 個の代数的に独立な関数が取れるのです。