図形の次元と座標環の次元、なぜこの 2 つは一致するのか

図形の次元と、座標環の Krull 次元は同じ数になります。

図形の側では、真に縮んでいく既約閉集合の鎖を数えます。環の側では、真に大きくなる素イデアルの鎖を数える。

数えているものが裏返しの関係にあるので、長さがそろいます。以下ではこの対応を作り、4 通りの定義が一致することを確かめます。

体は代数閉体とします。閉体でないと、点とイデアルの対応が崩れるためです^[4]。

座標環

$X \subset A^{n}$ をアフィン代数的集合とし、 $I (X)$ を $X$ の上で消える多項式の全体とします。

$k [X] = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I (X)$

これを座標環といいます。 $X$ の上の多項式関数がなす環です。

$I (X)$ は根基イデアルです。 $f^{r}$ が $X$ で消えるなら $f$ も消えるためです。

零点定理から、代数的集合と根基イデアルが 1 対 1 に対応します^[4]。この対応は包含を逆にします。

既約であることと素であること

$X$ が既約であることと、 $I (X)$ が素イデアルであることが同値になります。

$I (X)$ が素でないとしましょう。 $f g \in I (X)$ かつ $f, g \in / I (X)$ となる 2 つがとれます。

$X \cap V (f)$ と $X \cap V (g)$ はどちらも $X$ の真の閉部分集合で、合わせて $X$ を覆います。したがって $X$ は既約ではありません。

逆向きも同じ形の議論です。 $X = X_{1} \cup X_{2}$ と真に分かれるなら、それぞれで消える多項式をとれば積が $I (X)$ に入ります。

既約閉集合と素イデアルの 1 対 1 対応が、これで得られました。

包含が裏返る

対応の向きを図にしておきます。

左では図形が縮み、右ではイデアルが太ります。段の数は変わりません。

長さは段の数から 1 を引いた値です。どちらの側で数えても $2$ になります。

定理: 2 つの次元は一致する

$X$ を既約なアフィン多様体とすると、次が成り立ちます^[1]。

$dim X = dim k [X]$

左辺は $X$ に含まれる既約閉集合の鎖の長さの上限、右辺は $k [X]$ の素イデアルの鎖の長さの上限です。

証明は対応をたどるだけです。 $X$ の既約閉部分集合と $k [X]$ の素イデアルが 1 対 1 に対応し、包含が逆になります。

したがって長さ $n$ の鎖どうしが対応し、上限も一致します。新しい計算はどこにも要りません。

対応が閉体でだけ成り立つ点に注意が要ります。 $R [x]$ では $(x^{2} + 1)$ が極大なのに、実数の点に対応しません^[4]。

例: 平面と曲線と曲面

具体的に数えます。

平面

A^{2}

座標環は $k [x, y]$ です。鎖は $(0) ⊊ (x) ⊊ (x, y)$ で長さ $2$ 。図形の側は平面、 $y$ 軸、原点の 3 段です。

既約な平面曲線

$C : f (x, y) = 0$ が既約なら座標環は $k [x, y] / (f)$ です。素イデアルは $(0)$ と極大イデアルしかなく、鎖の長さは $1$ になります。曲線が $1$ 次元であることと合っています。

既約な曲面

$S : g (x, y, z) = 0$ なら座標環は $k [x, y, z] / (g)$ で、次元は $2$ です。 $(0) ⊊ (\overset{x}{ˉ}) ⊊ m$ のような鎖がとれます。

2 直線の和

$k [x, y] / (x y)$ は既約でありません。極小素イデアルが $(x)$ と $(y)$ の 2 つあり、どちらから伸ばしても長さは $1$ です。次元は $1$ になります。

最後の例は整域でないので、定理の仮定を外れています。それでも次元は最大値として定まる。

既約でない場合は、成分ごとに次元を測って最大をとります。成分の次元がそろっているとは限りません。

超越次数という第 3 の定義

$X$ が既約なら座標環は整域で、その商体を関数体 $k (X)$ といいます。

$dim X = tr.deg_{k} k (X)$

代数的に独立な関数を何本とれるか、を数えています^[1]。

$A^{n}$ なら $k (x_{1}, \dots, x_{n})$ で、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ が独立です。超越次数は $n$ になります。

放物線 $y = x^{2}$ の関数体は $k (x)$ です。 $y$ は $x$ に代数的に従うので、独立なのは $x$ だけ。超越次数は $1$ です。

この定義は双有理不変です。関数体が同型な 2 つの多様体は、同じ次元をもちます。

ネーターの正規化定理

3 つの定義が一致することの根拠になるのが、正規化定理です^[3]。

$A$ を $k$ 上有限生成な代数とすると、代数的に独立な $y_{1}, \dots, y_{d} \in A$ がとれて、 $A$ が $k [y_{1}, \dots, y_{d}]$ 上有限生成加群になります。

この $d$ が $A$ の Krull 次元です。 $A$ が整域なら、商体の超越次数とも一致します^[3]。

幾何の言葉では、どのアフィン多様体も $A^{d}$ への有限射をもつということです。分岐被覆として $d$ 次元空間の上に乗る。

有限射は次元を変えません。だから $A^{d}$ の次元 $d$ が、そのまま $X$ の次元になります。

例: 正規化を作ってみる

正規化の $y$ を実際に選びます。

$A = k [x, y] / (y - x^{2})$ は $k [x]$ に同型です。 $y_{1} = x$ をとれば $A$ 自身が $k [x]$ なので、 $d = 1$ になります。

$A = k [x, y] / (x y - 1)$ は $k [t, t^{- 1}]$ に同型です。 $y_{1} = x$ ととると、 $y = 1/ x$ は $k [x]$ 上整ではありません。

代わりに $y_{1} = x + y$ をとります。 $x$ は $T^{2} - y_{1} T + 1 = 0$ をみたすので $k [y_{1}]$ 上整で、 $d = 1$ が出ます。

座標をうまくとり替えると整になる。正規化定理が保証しているのは、このとり替えがいつでも可能だという点です。

有限射として見る

有限射がどう見えるかを動かします。

円の上の点を横軸へ落とすと、たいていの点の上に 2 点が乗ります。左右の端でだけ 1 点に重なる。

どこでも有限個なので、円と直線の次元は同じ $1$ です。有限射は次元を変えません。

$x y = 1$ を $x$ へ落とすと、 $x = 0$ の上に点がなくなります。これは有限射ではなく、座標のとり替えが要る場合にあたります。

接空間という第 4 の定義

滑らかな点でだけ使える定義もあります^[1]。

点 $P$ での局所環を $(R, m)$ とすると、接空間は $(m / m^{2})^{*}$ です。 $P$ が滑らかならこの次元が $dim X$ に一致します。

特異点では使えません。接空間のほうが大きくなるためです。尖点では曲線が $1$ 次元なのに接空間は $2$ 次元になります。

滑らかな点は稠密に存在するので、どこか 1 点で測れば十分です。実用上は計算しやすい点を選びます。

例: 部分多様体と余次元

$Y \subset X$ を既約閉部分多様体とすると、余次元を $dim X - dim Y$ と定めます。

環の側では、 $Y$ に対応する素イデアル $p$ の高さがこれにあたります。 $(0)$ から $p$ までに何段あるかを数えている。

$X = A^{3}$ 、 $Y$ を $z$ 軸とすると $p = (x, y)$ です。鎖は $(0) ⊊ (x) ⊊ (x, y)$ で高さ $2$ 、余次元も $2$ になります。

$k$ 上有限生成な整域では、 $dim k [X] / p + ht p = dim k [X]$ が成り立ちます。上の例なら $1 + 2 = 3$ です。

この等式は一般の環では崩れます。有限生成という条件が効いている場面です。

例: 積をとる

$X$ と $Y$ を体 $k$ 上の既約多様体とすると、積の次元は足し算になります。

関数体の超越次数で見ると分かりやすい。 $X$ から $dim X$ 本、 $Y$ から $dim Y$ 本の独立な関数がとれ、合わせて独立なままです^[1]。

$A^{m} \times A^{n} = A^{m + n}$ なら座標環が $k [x_{1}, \dots, x_{m}, y_{1}, \dots, y_{n}]$ で、次元は $m + n$ です。

曲線と曲線の積は曲面になります。 $P^{1} \times P^{1}$ が $2$ 次元であることも同じ理由から出る。

例: グラフとして書き直す

写像のグラフを使うと、次元の計算が楽になることがあります。

$f : X \to A^{1}$ を多項式写像とし、グラフ $Γ_{f} = {(x, f (x))} \subset X \times A^{1}$ を考えましょう。

$Γ_{f}$ は $X$ と同型です。第 1 成分への射影が逆写像を与えるためです。

したがって $dim Γ_{f} = dim X$ になります。 $X \times A^{1}$ の次元より $1$ 小さく、 $y = f (x)$ という 1 本の式で切った形と辻褄が合う。

放物線 $y = x^{2}$ が $A^{1}$ と同型で $1$ 次元なのも、この見方の特別な場合です。

4 つの定義を並べる

定義	数えるもの
図形の鎖	既約閉集合の縮む鎖の長さ
Krull 次元	素イデアルの伸びる鎖の長さ
超越次数	代数的に独立な関数の本数
接空間	滑らかな点での接空間の次元

上の 2 つは対応で直結しています。3 番目は正規化定理を経由し、4 番目は滑らかな点でだけ成り立ちます。

計算するときは 3 番目が最も速いことが多い。関数体を見て独立な変数を数えるだけで済みます。

例: 次元を 4 つ計算する

$k [x, y, z] / (z - x y)$ は $k [x, y]$ に同型なので次元 $2$ です。関数体は $k (x, y)$ で超越次数も $2$ 。

$k [x, y] / (y^{2} - x^{3})$ の関数体は $k (t)$ です。 $x = t^{2}$ 、 $y = t^{3}$ で書けるので超越次数は $1$ 、次元も $1$ になります。

$k [x, y, z] / (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ は既約な曲面の座標環で、次元は $2$ です。 $1$ 本の式で $3$ 次元から $1$ 落ちています。

$k [x, y] / (x^{2}, x y)$ は被約でありません。根基をとると $(x)$ になるので、台は $y$ 軸で次元は $1$ です。

被約でない環でも Krull 次元は定まります。冪零元は素イデアルにすべて含まれるので、次元には効きません^[2]。

練習

$X \subset A^{3}$ を $x y = 0$ かつ $z = 0$ で定義される図形とします。 $X$ の次元はいくつですか。

__RESULT__

$z = 0$ は $x y$ 平面を切り出し、 $x y = 0$ はその中の 2 直線を残します。 $X$ は $x$ 軸と $y$ 軸の和で、どちらの成分も $1$ 次元です。座標環は $k [x, y] / (x y)$ に同型で、素イデアルの鎖は $(x) ⊊ (x, y)$ の長さ $1$ が最長になります。

成分に分けて、それぞれの次元の最大をとる。既約でない場合の基本手順です。

よくある誤り

並べておきます。

方程式の本数から次元を引き算する。依存関係があると期待どおりに落ちない。

既約でない図形に整域の議論を使う。座標環が整域でないと関数体が定義できない。

特異点で接空間を測って次元とする。接空間は大きくなるので使えない。

代数閉体でなくても点とイデアルが対応すると思う。

R [x]

の

(x^{2} + 1)

が反例になる。

冪零元があると次元が変わると思う。素イデアルには影響しないので変わらない。

超越次数を生成元の個数と混同する。

k [x, y] / (y - x^{2})

は生成元 2 本でも超越次数は

1

である。

どの定義で測っているかを言えるようにしておくと、迷ったときに別の道へ移れます。

参考文献

Dimension of an algebraic variety, Wikipedia (English).

Krull dimension, Wikipedia (English).

Noether normalization lemma, Wikipedia (English).

Hilbert's Nullstellensatz, Wikipedia (English).

Krulldimension, Wikipedia (Deutsch).

図形では縮んでいく既約閉集合の鎖を、環では伸びていく素イデアルの鎖を数えます。零点定理でこの 2 つが裏返しに対応することを示すと、長さがそろって次元が一致する。平面・曲線・曲面・2 直線の和で実際に鎖を書き、関数体の超越次数と滑らかな点の接空間という別の 2 つの定義もつなぎます。ネーターの正規化定理が保証する有限射、余次元の等式、積の次元まで扱います。