多様体の次元と座標環の次元

アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱える理由の一つです。

アフィン多様体の座標環

体 $k$ 上のアフィン多様体 $X\subset {\mathbb{A}}^n$ が多項式 $f_1,\dots ,f_r$ の共通零点として定義されるとき、座標環は

$$k[X]=k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_r)$$

と定義されます。座標環は $X$ 上の多項式関数全体のなす環です。

次元の一致

$X$ が既約なアフィン多様体のとき、座標環 $k[X]$ は整域であり

$$\dim X=\dim k[X]$$

が成り立ちます。左辺は多様体としての次元、右辺は環の Krull 次元です。

なぜ一致するのか

既約閉部分集合と素イデアルは一対一に対応し、包含関係が逆転します。したがって、部分多様体の昇鎖と素イデアルの降鎖が対応し、両方の長さの上限が一致するのです。

具体例

平面曲線 $C:f(x,y)=0$ を考えます。$C$ が既約なら座標環は $k[x,y]/(f)$ であり、これは1次元整域です。実際、素イデアルの鎖は

$$(0)⊊\mathfrak{m}$$

の形（$\mathfrak{m}$ は極大イデアル）しか取れず、長さは1です。曲線が1次元であることと整合しています。

曲面 $S:g(x,y,z)=0$ なら座標環 $k[x,y,z]/(g)$ は2次元で、曲面が2次元であることに対応します。

関数体の超越次数

座標環が整域のとき、その商体を関数体 $k(X)$ と呼びます。$X$ の次元は、$k(X)$ の $k$ 上の超越次数とも一致します。

$$\dim X={tr.deg}_{k}k(X)$$

これは次元の別の特徴付けで、「独立な関数が何個取れるか」を表しています。$n$ 次元多様体では、$n$ 個の代数的に独立な関数が取れるのです。