下からは鎖を 1 本書けば済みますが、上からの評価には別の道具が要ります。$(0) \subsetneq (x_1) \subsetneq \cdots$ という鎖を作って $\dim \geq n$ を出し、鎖が 1 段上がるたびに超越次数が 1 下がることから $\dim \leq n$ を示す。正規化定理と整拡大で次元が動かないことも使います。変数を 1 本足すと次元が 1 上がる等式にはネーター性が要り、$\mathbb{Z}[x]$ やべき級数環でも同じ規則が働きます。