多項式環の次元はなぜ変数の個数か

体 $k$ 上の多項式環 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の Krull 次元は $n$ です。この事実は直感的には明らかですが、きちんと示すには少し議論が必要です。

次元が $n$ 以上であること

まず、長さ $n$ の素イデアルの鎖を具体的に作ります。

$(0) ⊊ (x_{1}) ⊊ (x_{1}, x_{2}) ⊊ \dots ⊊ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$

各 $(x_{1}, \dots, x_{i})$ が素イデアルであることは、商環

$k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (x_{1}, \dots, x_{i}) ≅ k [x_{i + 1}, \dots, x_{n}]$

が整域であることからわかります。この鎖の長さは $n$ なので、 $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] \geq n$ です。

逆向きの不等式を示すには、いくつかの方法があります。

超越次数を使う方法

$k$ 上の有限生成整域 $A$ の Krull 次元は、 $A$ の商体の $k$ 上の超越次数と一致します。 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の商体は $k (x_{1}, \dots, x_{n})$ で、超越次数は $n$ です。

帰納法を使う方法

$dim k [x] = 1$ を示し、 $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] = dim k [x_{1}, \dots, x_{n - 1}] + 1$ を帰納的に示します。後者は、 $x_{n}$ による整拡大の性質から従います。

$k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ は $n$ 次元アフィン空間 $A^{n}$ の座標環です。 $n$ 次元空間の次元が $n$ であることは当然ですが、Krull 次元の言葉では「座標軸に沿って一つずつ次元を落とせる」ことを意味します。

$(x_{1}, \dots, x_{i})$ で割ることは、最初の $i$ 個の座標を $0$ に固定することに対応します。これにより $n - i$ 次元の部分空間（座標部分空間）が得られ、段階的に次元が下がっていきます。

一般に、 $R$ が整域のとき

$dim R [x] = dim R + 1$

が成り立ちます。多項式環に変数を一つ追加すると、次元が一つ上がるのです。これを繰り返し使うと、 $dim k = 0$ から始めて $dim k [x_{1}, \dots, x_{n}] = n$ が従います。

この関係式は、変数 $x$ を添加すると「新しい方向」が一つ加わることを反映しています。新しい素イデアルの鎖として、既存の鎖に $(x)$ を絡めたものが作れるからです。