マイナス次数まで許すとどうなる？ローラン展開と主要部を読む

テイラー展開は正の次数しか使いません。負の次数まで許すと、特異点のまわりでも級数に開けるようになります。

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

これがローラン展開です^[1]。中心 $a$ で正則である必要はなく、$a$ を抜いた輪の形の領域で正則でありさえすればよい。

$a$ 自身は展開の中心でありながら、そこで関数が定義されていなくてもよい。輪の内側を見ないまま、輪の上での振る舞いを級数で書く仕掛けです。

定理の形

$f$ が円環領域 $r<|z-a|<R$ で正則であるとします。このとき、その領域のすべての点で冒頭の級数が収束し、$f$ に一致します。

$r$ は $0$ でもよく、$R$ は無限大でもよい。$r=0$ なら $a$ を抜いた円板、$R$ が無限大なら外側全体が対象になります。

収束は円環の内部で広義一様。コンパクトな部分集合の上で一様に収束するので、項別の積分も微分も許されます^[1]。

主要部と正則部

級数を負の次数と非負の次数で切り分けます。

$$f(z)=\underset{\text{主要部}}{\underbrace{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{c_{-n}}{(z-a{)}^n}}}+\underset{\text{正則部}}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n}}$$

正則部はふつうのべき級数で、$|z-a|<R$ で収束します。主要部は $w=1/(z-a)$ と置けばべき級数になり、$|z-a|>r$ で収束する。

2 つの収束域が重なった部分が円環です。内側からと外側からの制限が同時にかかるので、円板ではなく輪になる。

$r$ が $R$ 以上になると円環が空になり、級数はどこでも収束しません。輪が残っているかどうかが、展開が意味を持つ条件です。

係数の公式

係数は積分で書けます。$C$ を円環の中にある、$a$ を囲む閉曲線とする。

$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

$n\ge 0$ ならコーシーの導関数公式と同じ形です^[7]。負の $n$ でも同じ式が通る点が、ローラン展開の便利なところ。

実際の計算でこの積分を使うことは、ほとんどありません。既知の級数を組み合わせるほうが速いためです。公式は理論の側で効きます。

内側と外側の半径は、係数の増え方から決まります。コーシー・アダマールの形で、正の側と負の側の係数列それぞれから上極限をとる^[2]。

一意性

円環が決まれば、展開はただ一通りです。どんな方法で作った級数でも、その円環で $f$ に一致するならローラン展開そのもの。

証明は係数の公式から出ます。級数を項別に積分すると、$(z-a{)}^{-1}$ の項だけが残って $c_n$ が復元される。

この一意性のおかげで、幾何級数を組み合わせて作った式をそのまま答えにできます。積分を計算する必要がない理由もここ。

例：$1/(z-1)$ を $z=1$ のまわりで

$f(z)=1/(z-1)$ はすでにローラン展開の形をしています。

$$\frac{1}{z-1}=(z-1{)}^{-1}$$

$c_{-1}=1$ で、他の係数はすべて $0$ です。主要部が 1 項だけの、いちばん短い例。

有効な円環は $0<|z-1|<\infty$。中心を抜いた平面全体で、この式がそのまま成り立ちます。

例：$e^{1/z}$ を原点のまわりで

$e^w=\sum w^n/n!$ に $w=1/z$ を入れます。

$$e^{1/z}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!z^n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots$$

主要部が無限に続きます。$c_{-1}=1$ なので、原点での留数は $1$。

$e^w$ の級数は全平面で収束するので、この展開は $0<|z|<\infty$ で通用します。

例：$\sin z/z^3$ を原点のまわりで

$\sin z=z-z^3/3!+z^5/5!-\cdots$ を $z^3$ で割るだけ。

$$\frac{\sin z}{z^3}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-\cdots$$

主要部は $1/z^2$ の 1 項で終わり、$1/z$ の項がありません。したがって留数は $0$ です。

主要部の長さは 2 項ぶんに見えて、実際には最高次が $-2$ の 1 項だけ。奇関数を奇数乗で割ったので、偶数次だけが残ります。

主要部の様子で特異点の種類が決まります。主要部がなければ除去可能、有限項で止まれば極、無限に続けば真性特異点^[4,5]。

同じ関数で展開が変わる

中心が同じでも、どの円環をとるかで係数が変わります。ここがテイラー展開といちばん違うところ。

$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$ を原点のまわりで考えます。特異点は $0$ と $2$ なので、円環は $0<|z|<2$ と $|z|>2$ の 2 つ。

内側の円環では、$1/(z-2)$ を $|z|<2$ で使える形に開きます。

$$\frac{1}{z(z-2)}=-\frac{1}{2z}\cdot \frac{1}{1-z/2}=-\frac{1}{2z}-\frac{1}{4}-\frac{z}{8}-\frac{z^2}{16}-\cdots$$

外側では割り方を変えます。$|z|>2$ なら $2/z$ が $1$ より小さいので、そちらで開ける。

$$\frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{z^2}\cdot \frac{1}{1-2/z}=\frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}+\frac{4}{z^4}+\cdots$$

内側の展開には $1/z$ の項があり、外側にはありません。留数を読むときは、原点に接する内側の円環をとります。

例：円環が 3 つに分かれる

$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ を原点のまわりで展開します。特異点は $1$ と $2$ なので、円環は 3 つ。

部分分数に分けておくと見通しがよくなります。

$$\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$$

$|z|<1$ では両方を $z$ のべきに開けます。これは負の次数を持たないふつうのテイラー展開。

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)z^n$$

$1<|z|<2$ では、$1/(z-1)$ だけ開き方を裏返します。

$$-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{2^{n+1}}-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{z^n}$$

$|z|>2$ では両方を裏返し、負の次数だけになります。

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n-1}{z^{n+1}}$$

3 つとも同じ関数を表しているのに、係数はまったく違う。どの円環の話をしているかを先に決めないと、答えが定まりません。

展開の作り方

実際には積分の公式ではなく、幾何級数を組み立てて作ります。手順はいつも同じ。

$|z|<2$ なら $z/2$ を、$|z|>2$ なら $2/z$ を選ぶ。どちらを $w$ にとるかだけが分かれ目です。

指数関数や三角関数が混じるときは、既知のテイラー級数に代入してから割ります。$e^{1/z}$ と $\sin z/z^3$ がその例。

例：極の位数を係数から読む

$f(z)=\frac{\cos z-1}{z^4}$ を原点のまわりで展開します。$\cos z-1=-z^2/2+z^4/24-\cdots$ を使う。

$$\frac{\cos z-1}{z^4}=-\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{24}-\frac{z^2}{720}+\cdots$$

最高の負の次数が $-2$ なので、原点は 2 位の極です。分母が $z^4$ だからといって 4 位ではない。

分子が原点で $2$ 位の零点を持つぶん、位数が下がっています。位数は約分してから数える。

テイラー展開との関係

主要部が空なら、ローラン展開はテイラー展開そのものです。負の次数の係数がすべて $0$ という場合。

このとき $a$ は除去可能特異点で、$f(a)=c_0$ と定めれば $a$ でも正則になります。もともと正則な点なら、はじめから主要部は出ません^[3]。

つまりローラン展開はテイラー展開を含んでいる。素直に見れば、負の次数を許した拡張です。

無限遠点での展開

$|z|>R$ で正則な関数を、無限遠点のまわりで調べることもできます。$w=1/z$ と置いて $w=0$ での様子を見る。

$|z|>R$ での展開に正の次数がなければ、無限遠点は除去可能です。有限個なら極で、その最高次が位数になります。

多項式は無限遠点で極を持ちます。$e^z$ は正の次数が無限に続くので、無限遠点が真性特異点。

整関数のうち多項式だけが無限遠点でおとなしい、という事情がここに出ています。

留数との関係

留数は $c_{-1}$ そのものです。ローラン展開が求まれば、留数は読むだけで手に入る。

逆に、留数だけが必要なら展開を全部作る必要はありません。極の位数が分かっていれば、掛けて微分する公式のほうが速い^[6]。

真性特異点では公式が使えないので、展開に戻ることになります。$e^{1/z}$ の留数を出す道はそれしかない。

よくある誤り

級数を負の側へ伸ばすという一つの工夫で、特異点のまわりまで手が届くようになりました。特異点の分類も、留数の定義も、実積分の計算も、この展開を足場にしています。

参考文献