ローラン展開で特異点まわりの関数を表す

テイラー展開は正則な点のまわりでの展開でしたが、特異点のまわりでは使えません。代わりにローラン展開を使います。

ローラン展開とは

$f(z)$ が $r<|z-a|<R$ の環状領域で正則であるとき、その領域で

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n$$

と展開できます。これがローラン展開です。

負のべきの部分 $\sum _{n=-\infty }^{-1}{c}_n(z-a{)}^n$ を主要部、非負のべきの部分を正則部と呼びます。

係数の公式

係数 $c_n$ は

$$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

で与えられます。ただし、実際には直接計算やテイラー展開の利用で求めることが多いです。

例：$1/(z-1)$

$f(z)=\frac{1}{z-1}$ は $z=1$ で特異点を持ちます。$z=1$ のまわりでは

$$\frac{1}{z-1}=(z-1{)}^{-1}$$

これがそのままローラン展開で、$c_{-1}=1$、他の係数は 0 です。

例：$e^{1/z}$

$f(z)=e^{1/z}$ を $z=0$ のまわりで展開します。

$e^w={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{w^n}{n!}$ に $w=1/z$ を代入すると

$$e^{1/z}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!z^n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots$$

この場合、主要部が無限に続きます。$c_{-1}=1$ なので、原点での留数は 1 です。

例：$\sin z/z^3$

$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots$ を使うと

$$\frac{\sin z}{z^3}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-\cdots$$

$z^{-1}$ の項がないので、$\mathrm{Res}(f,0)=0$ です。

2 通りの展開

同じ関数でも、展開する領域によってローラン展開が変わることがあります。

$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$ を考えます。

$0<|z|<2$ の領域では

$$\frac{1}{z(z-2)}=-\frac{1}{2z}\cdot \frac{1}{1-z/2}=-\frac{1}{2z}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{z}{2}\right)}^n=-\frac{1}{2z}-\frac{1}{4}-\frac{z}{8}-\cdots$$

$|z|>2$ の領域では

$$\frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{z^2}\cdot \frac{1}{1-2/z}=\frac{1}{z^2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{2}{z}\right)}^n=\frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}+\frac{4}{z^4}+\cdots$$

展開する環状領域によって、収束するローラン級数が異なります。