接空間が大きすぎる点〜正則局所環とザリスキ接空間

接空間は、方程式から 1 次の項だけをとり出したものです。

${\mathfrak{m}}^2$ で割るという操作が、$2$ 次以上を捨てることにあたります。残った線形方程式の解空間が接空間になる^[1]。

滑らかな点では、この解空間が図形と同じ次元におさまります。特異点では大きくなる。

以下では余接空間の作り方から始め、6 つの点で実際に次元を計算します。導分としての読み方と、拡大したときの見え方まで進む。

余接空間

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$\kappa =R/\mathfrak{m}$ を剰余体とします。

$$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$$

これを余接空間といいます。$\mathfrak{m}$ の元を ${\mathfrak{m}}^2$ の差を無視して見たもので、$\kappa$ 上のベクトル空間になります。

$\mathfrak{m}$ が $R$ 加群、${\mathfrak{m}}^2$ がその部分加群で、商には $\mathfrak{m}$ が $0$ で作用します。だから $\kappa$ 上の空間になる。

接空間はこの双対です。

$$T_{P}X=(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2{)}^{\ast }$$

次元は同じなので、どちらで数えても結果は変わりません。

1 次の項だけが残る

${\mathfrak{m}}^2$ で割ることの意味を、座標で見ましょう。

$X\subset {\mathbb{A}}^n$ が原点を通り、$f_1=\cdots =f_r=0$ で定義されているとします。局所環の極大イデアルは $(x_1,\dots ,x_n)$ の像です。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の中では、$x_i{x}_j$ の形の項がすべて $0$ になります。$f$ を展開したとき、残るのは $1$ 次の部分だけです。

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}(0)x_1+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(0)x_n$$

したがって接空間は、$d{f}_1=\cdots =d{f}_r=0$ という連立 1 次方程式の解空間になります^[1]。

係数行列がヤコビ行列です。接空間の次元は $n$ からヤコビ行列のランクを引いた値になります。

例: 直線と放物線

いちばん簡単な場合から確かめます。

$X:y=0$ の原点では $f=y$、$df=y$ です。解空間は $y=0$ で $1$ 次元、$X$ も $1$ 次元なので一致します。

$X:y=x^2$ の原点では $f=y-x^2$、$df=y$ です。$2$ 次の項 $x^2$ は ${\mathfrak{m}}^2$ に落ちて消えます。

やはり接空間は $1$ 次元です。放物線が原点で $x$ 軸に接している、という事実がそのまま出ています。

$1$ 次の項が残っていることが要です。$df\ne 0$ なら方程式が 1 本効き、次元が $1$ 落ちます。

例: 尖点と結節点

$1$ 次の項が消える場合を見ます。

$X:y^2=x^3$ の原点では $f=y^2-x^3$ です。$2$ 次の項も $3$ 次の項も ${\mathfrak{m}}^2$ に落ちるので $df=0$ になります。

方程式が 1 本も効かず、接空間は平面ぜんぶで $2$ 次元です。曲線は $1$ 次元なので、ずれが $1$ あります。

$X:y^2=x^2(x+1)$ でも同じです。展開すると $y^2-x^2-x^3$ で、最低次が $2$ 次なので $df=0$。

接空間はやはり $2$ 次元になります。この計算では尖点と結節点を区別できません。

区別には接錐が要ります。$2$ 次の部分 $y^2-x^2$ が $2$ 直線に分かれるか、$y^2$ のように重なるかで型が決まります^[5]。

線形方程式として見る

いまの計算を図にします。

左では赤い直線が接空間で、$1$ 次元です。右では薄い四角が接空間で、平面の全体を占めます。

方程式が 1 本効くか効かないか。その差がそのまま次元の差になります。

導分としての接ベクトル

接空間には、微分の側からの読み方もあります^[1]。

$D:R\to \kappa$ が導分であるとは、$\kappa$ 線形で $D(fg)=f(P)D(g)+g(P)D(f)$ をみたすことです。

導分の全体は、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の双対と自然に同型になります。$D$ を $\mathfrak{m}$ に制限すれば、${\mathfrak{m}}^2$ の上で $0$ になるためです。

$D(fg)=f(P)D(g)+g(P)D(f)$ で $f,g\in \mathfrak{m}$ とすると、$f(P)=g(P)=0$ なので $D(fg)=0$ です。

つまり接ベクトルとは、方向微分を与える写像のこと。座標を持ち出さずに定義できます。

二重数からの射

もう 1 つの言い換えが、二重数を使う形です^[1]。

$k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ を係数とすると、$\mathrm{Spec}k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)\to X$ の射が、点と接ベクトルの組に対応します。

環準同型 ${\mathcal{O}}_{X,P}\to k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ を $a\mapsto a(P)+\epsilon D(a)$ と書くと、${\epsilon }^2=0$ から $D$ が導分になります。

積を計算すると $(a(P)+\epsilon D(a))(b(P)+\epsilon D(b))=a(P)b(P)+\epsilon (a(P)D(b)+b(P)D(a))$ です。ライプニッツ則がそのまま出てきます。

「厚みをもった点」を図形へ写す操作が、接ベクトルを選ぶことにあたる。幾何の言葉だけで書けています。

例: 導分を書き下す

$X={\mathbb{A}}^2$、$P$ を原点とします。導分は $D=a{\partial }_x+b{\partial }_y$ の形です。

$D(x)=a$、$D(y)=b$ で、$a,b$ は自由に選べます。接空間は $2$ 次元です。

$X:y=x^2$ に制限すると条件が付きます。$D(y-x^2)=b-2\cdot 0\cdot a=b$ なので、$b=0$ が要る。

したがって $D=a{\partial }_x$ の形に限られ、接空間は $1$ 次元です。$x$ 軸方向だけが許されています。

$X:y^2=x^3$ では $D(y^2-x^3)=0$ が自動的に成り立ちます。条件が付かないので $2$ 次元のままです。

拡大すると何が見えるか

接空間が「拡大したときの姿」だという読み方を、動かして確かめます。

左の円は、拡大するほど直線に近づきます。接線 1 本で近似できる、という状況です。

右の尖点は、いくら拡大しても直線になりません。$x<0$ の側に曲線がないので、片側しか伸びない。

直線で近似できない点では、$1$ 次の近似が意味をもちません。接空間が大きくなるのは、この失敗の現れです。

次元との不等号

ネーター局所環では、いつでも次が成り立ちます^[1]。

$${\dim }_{\kappa }\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2\ge \dim R$$

クルルの標高定理から出ます。$\mathfrak{m}$ が $n$ 個で生成されるなら、高さは $n$ 以下になるためです^[3]。

等号が成り立つとき $R$ を正則といいます。接空間が図形と同じ大きさに収まる状態です^[2]。

不等号は片側にしか開きません。接空間が小さすぎることはありません。

正則パラメータ系

$\dim R=n$ で正則なとき、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の基底を $\mathfrak{m}$ へ持ち上げた $x_1,\dots ,x_n$ を正則パラメータ系といいます^[2]。

中山の補題から、これらが $\mathfrak{m}$ を生成します。基底が生成元へそのまま昇格する形です。

幾何では局所座標にあたります。$n$ 次元の点のまわりを $n$ 本の関数で書ける、という状況です。

余接空間の側で言えば、$d{x}_1,\dots ,d{x}_n$ が基底になります。微分形式の基底が、そのまま座標の微分として得られる。

例: 場所によって次元が変わる

同じ図形でも、点によって接空間の次元が変わります。

$X:y^2=x^3$ をとりましょう。原点では $2$ 次元でした。

$P=(1,1)$ では $f_x=-3x^2=-3$、$f_y=2y=2$ です。どちらも $0$ でないので、方程式が 1 本効きます。

したがって接空間は $1$ 次元で、$P$ は滑らかな点です。特異なのは原点だけになります。

錐 $xy=z^2$ の原点では $3$ 次元です。$df=0$ となり、$3$ 変数の空間から条件が 1 つも引けません。原点以外では $2$ 次元になります。

練習

最低次の項が $1$ 次かどうか。確かめるのはそこだけです。

よくある誤り

まとめます。

$2$ 次以上を捨てて $1$ 次だけを見る。この一行に操作の中身が入っています。

参考文献