正則局所環と接空間の関係

正則局所環と接空間の間には密接な関係があります。接空間の次元が局所環の正則性を判定する鍵となります。

代数的な接空間の定義

代数多様体 $X$ の点 $P$ における接空間 $T_{P}X$ は、局所環を使って定義されます。$(R,\mathfrak{m})$ を $P$ での局所環、$k=R/\mathfrak{m}$ を剰余体とすると

$$T_{P}X=(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2{)}^{\ast }$$

と定義されます。ここで $(-{)}^{\ast }$ は $k$ 上の双対空間です。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 自体は余接空間（cotangent space）と呼ばれます。接空間はその双対として得られます。

次元の関係

接空間の次元について、常に

$$\dim T_{P}X\ge \dim X$$

が成り立ちます。等号が成立するのは、$P$ が滑らかな点のときに限ります。

具体例

曲線 $C:y^2=x^3$ を考えます。原点以外の点では $\dim T_{P}C=1$ です。

原点 $P=(0,0)$ では、座標環 $k[x,y]/(y^2-x^3)$ を原点で局所化した環の極大イデアルは $\mathfrak{m}=(x,y)$ です。$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は $\bar{x},\bar{y}$ で張られる2次元 $k$-ベクトル空間なので、$\dim T_{P}C=2$ となります。

曲線は1次元ですが、原点での接空間は2次元です。これが原点が特異点であることを反映しています。

正則パラメータ系

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ が正則のとき、$\mathfrak{m}$ の生成元 $x_1,\dots ,x_n$（$n=\dim R$）を正則パラメータ系と呼びます。これらは $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の $k$ 上の基底を与えます。

幾何学的には、正則パラメータ系は局所座標に対応します。$x_1,\dots ,x_n$ が点 $P$ の近傍での座標系を定め、余接空間の基底 $d{x}_1,\dots ,d{x}_n$ を与えるのです。

まとめ

正則性の条件 $\dim R={\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は、接空間の次元が多様体の次元と一致することと同値です。接空間は微分幾何学的な対象ですが、局所環の言葉で完全に代数的に定義・計算できます。