正則局所環と接空間の間には密接な関係があります。接空間の次元が局所環の正則性を判定する鍵となります。
代数的な接空間の定義
代数多様体 の点 における接空間 は、局所環を使って定義されます。 を での局所環、 を剰余体とすると
と定義されます。ここで は 上の双対空間です。
自体は余接空間（cotangent space）と呼ばれます。接空間はその双対として得られます。
次元の関係
接空間の次元について、常に
が成り立ちます。等号が成立するのは、 が滑らかな点のときに限ります。
滑らかな点
が成り立つ。局所環は正則。極大イデアルは 個の元で生成できる。
特異点
となる。局所環は非正則。接空間が「大きすぎる」。
具体例
曲線 を考えます。原点以外の点では です。
原点 では、座標環 を原点で局所化した環の極大イデアルは です。 は で張られる2次元 -ベクトル空間なので、 となります。
曲線は1次元ですが、原点での接空間は2次元です。これが原点が特異点であることを反映しています。
正則パラメータ系
局所環 が正則のとき、 の生成元 （）を正則パラメータ系と呼びます。これらは の 上の基底を与えます。
幾何学的には、正則パラメータ系は局所座標に対応します。 が点 の近傍での座標系を定め、余接空間の基底 を与えるのです。
まとめ
正則性の条件 は、接空間の次元が多様体の次元と一致することと同値です。接空間は微分幾何学的な対象ですが、局所環の言葉で完全に代数的に定義・計算できます。
