極大イデアルが点になる理由（ヒルベルトの零点定理）

点を 1 つ選ぶと、そこで消える関数の全体が極大イデアルになります。

$${\mathfrak{m}}_P=\{f:f(P)=0\}$$

この向きは計算するだけです。難しいのは逆向きで、極大イデアルがいつでも点から来るかどうかが問題になります。

答えは体によって変わります。代数閉体なら来る、そうでなければ来ないことがある。分かれ目を作っているのがザリスキの補題です^[1]。

点から極大イデアルへ

$k$ を体、$P=(a_1,\dots ,a_n)\in k^n$ とします。$P$ で消える多項式を集めましょう。

評価写像 ${\mathrm{ev}}_P:k[x_1,\dots ,x_n]\to k$、$f\mapsto f(P)$ を考えます。これは全射な環準同型です。定数がそのまま送られるためです。

核が ${\mathfrak{m}}_P$ で、準同型定理から次が成り立ちます。

$$k[x_1,\dots ,x_n]/{\mathfrak{m}}_P\cong k$$

剰余環が体なので、${\mathfrak{m}}_P$ は極大イデアルです。

具体形も分かります。$x_i-a_i$ はどれも $P$ で消えるので $(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)\subseteq {\mathfrak{m}}_P$ で、左辺がすでに極大なので等号になります。

逆向きが問題になる

極大イデアル $\mathfrak{m}$ を先に与えられたとき、対応する点を作れるでしょうか。

$K=k[x_1,\dots ,x_n]/\mathfrak{m}$ と置きます。$K$ は体で、$k$ 上有限生成な代数です。

もし $K=k$ なら、$x_i$ の像を $a_i\in k$ と書けます。$x_i-a_i\in \mathfrak{m}$ となるので、$\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}_P$ です。

問題は $K=k$ かどうか。ここでザリスキの補題が効きます。

ザリスキの補題

体 $K$ が体 $k$ 上の代数として有限生成なら、$K$ は $k$ の有限次拡大です^[1]。

証明には正規化定理が使えます^[2]。$K$ を $k[y_1,\dots ,y_d]$ 上有限にとると、$K$ が体であることから $d=0$ が出ます。

$d\ge 1$ なら $k[y_1]$ の中に逆元をもたない元があり、その上で有限な $K$ も体になれないためです。

$d=0$ なら $K$ は $k$ 上有限生成加群、つまり有限次拡大になります。

$k$ が代数閉体なら有限次拡大は $k$ 自身しかありません。したがって $K=k$ です。

弱い零点定理

いまの議論をまとめます^[1]。

$k$ を代数閉体とすると、$k[x_1,\dots ,x_n]$ の極大イデアルはすべて ${\mathfrak{m}}_P$ の形です。

同じことを別の形で言うと、真のイデアル $J$ には共通零点が必ずあります。$J$ を含む極大イデアルをとれば、それが点を与えるためです。

代数閉でないと崩れます。$\mathbb{R}[x]$ の $(x^2+1)$ は真のイデアルですが、実数の共通零点がありません^[1]。

対応を絵にする

点とイデアルの往復を描いておきます。

左から右へは、いつでも作れます。右から左へ戻れるかどうかが、体の性質に依存します。

代数閉体なら往復が閉じます。極大イデアルの集合と $k^n$ が 1 対 1 に対応する。

例: 代数閉でない体で数える

崩れ方を具体的に見ます。

代数閉でない体では、剰余体が大きくなる極大イデアルが出てきます。それでも有限次拡大には収まる。

「点」の定義を剰余体まで込みにすると、この差も扱えます。スキーム論の考え方です^[3]。

強い零点定理

イデアル全体との対応も書けます^[1]。

$k$ を代数閉体、$J$ をイデアルとすると、$V(J)$ の上で消える多項式の全体は $J$ の根基になります。

$$I(V(J))=\sqrt{J}$$

したがって代数的集合と根基イデアルが 1 対 1 に対応します。包含は逆向きです。

根基をとる操作が要るのは、冪で消える情報が図形に見えないためです。$x^2$ と $x$ は同じ零点をもちます。

太った図形が細くなる

根基をとる操作を動かします。

太さは冪零元のぶんです。$k[x,y]/(x^2)$ には $x\ne 0$ で $x^2=0$ という元があります。

零点の集合として見ると、太っていても細くても同じ直線です。差が見えるのは環の側だけになります。

古典的な代数幾何では根基をとって細くしていました。スキーム論では太さも残します^[5]。

素イデアルまで広げる

極大イデアルだけを点とすると、既約な部分多様体が扱いにくくなります。

素イデアルまで点と見なすのが、スキーム論の立場です^[3]。$\mathrm{Spec}A$ は素イデアル全体の集合になります。

素イデアル $\mathfrak{p}$ には既約閉集合 $V(\mathfrak{p})$ が対応し、$\mathfrak{p}$ はその生成点と呼ばれます。閉包が $V(\mathfrak{p})$ になる点です。

$k[x,y]$ なら $(0)$ が平面の生成点、$(f)$ が曲線 $f=0$ の生成点、$(x-a,y-b)$ が通常の点です。

古典的な点は閉点として全部残っています。増えたのは、部分多様体を代表する点のほうです^[4]。

剰余体という視点

点を $\mathfrak{p}$ とすると、剰余体 $\kappa (\mathfrak{p})$ が「その点での値がなす体」になります。

$k$ 上有限生成なら、閉点の剰余体は $k$ の有限次拡大です。ザリスキの補題の言い換えになります^[1]。

$\mathbb{R}[x]$ の $(x^2+1)$ なら $\kappa =\mathbb{C}$ です。$1$ 点ですが、値が複素数になる点だと読めます。

${\mathbb{F}}_p[x]$ の $(f)$ なら $\kappa ={\mathbb{F}}_{p^{\mathrm{deg}f}}$ です。次数のぶんだけ大きな有限体になります。

点に体が付いている、と見ると代数閉でない体でも困りません。座標が $k$ に入るとは限らないだけです。

練習

剰余体を計算する。それが対応するかどうかの判定になります。

よくある誤り

まとめます。

剰余体を計算する習慣が付くと、代数閉かどうかで迷わなくなります。

参考文献