極大イデアルはなぜ「点」なのか

代数幾何学では、環の極大イデアルを「点」と見なします。この対応はヌルステレンサッツ（零点定理）に基づいており、代数幾何学の出発点となる考え方です。

点とイデアルの対応

アフィン空間 $A_{k}^{n}$ （ $k$ は代数閉体）の点 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ を考えます。この点を通るすべての多項式からなる集合

$m = (x_{1} - a_{1}, x_{2} - a_{2}, \dots, x_{n} - a_{n})$

は $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の極大イデアルです。逆に、 $k$ が代数閉体なら、すべての極大イデアルがこの形をしています。

点 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ における「関数の値」を考えます。多項式 $f$ のこの点での値は $f (a_{1}, \dots, a_{n})$ です。「値が $0$ 」という条件で定まるイデアルがまさに $m$ です。

商環 $k [x_{1}, \dots, x_{n}] / m$ を計算すると

$k [x_{1}, \dots, x_{n}] / (x_{1} - a_{1}, \dots, x_{n} - a_{n}) ≅ k$

となります。商環が体になることが、 $m$ が極大イデアルであることの証拠です。

零点と極大イデアル

点 $P$ での関数値が $0$ となる多項式全体は、 $P$ に対応する極大イデアルをなします。

極大イデアルの特徴

商環が体になるイデアルです。「これ以上大きくできない」真のイデアルという意味で極大です。

$k$ が代数閉体のとき、 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ の極大イデアルは、必ずある点 $(a_{1}, \dots, a_{n}) \in k^{n}$ に対応します。これがヒルベルトのヌルステレンサッツ（弱い形）です。

代数閉でない体では事情が異なります。例えば $R [x]$ の極大イデアル $(x^{2} + 1)$ は、 $R$ の点に対応しません。商環は $R [x] / (x^{2} + 1) ≅ C$ で体ですが、 $x^{2} + 1 = 0$ は実数解をもたないからです。

スキーム論では、極大イデアルだけでなくすべての素イデアルを「点」と見なします。素イデアルは既約閉部分集合に対応し、これを「生成的点」（generic point）と呼びます。

例えば $(0) \subset k [x, y]$ は、平面全体に対応する生成的点です。極大イデアル $(x - a, y - b)$ は通常の点、素イデアル $(f)$ （ $f$ は既約多項式）は曲線 $f = 0$ の生成的点です。この見方では、点の概念が大幅に拡張されます。