de Rhamの定理の証明

de Rhamの定理は、滑らかな多様体上のde Rhamコホモロジーと特異コホモロジーが同型であることを主張します。ここでは層コホモロジーを用いた証明の概略を解説します。

定理の主張

$M$ を滑らかな多様体とする。実係数特異コホモロジーとde Rhamコホモロジーの間に自然な同型

$$H_{\mathrm{dR}}^k(M)\cong H^k(M;\mathbb{R})$$

が存在する。この同型は積分によって与えられる。

証明の戦略

証明は層の理論を用います。de Rham複体と特異コチェイン複体がともに定数層 $\underline{\mathbb{R}}$ の分解を与え、層コホモロジーの一意性から同型が従います。

層の準備

$M$ 上の前層 $\mathcal{F}$ は、各開集合 $U$ にアーベル群 $\mathcal{F}(U)$ を対応させ、制限写像を持つものです。層は貼り合わせ条件を満たす前層です。

定数層 $\underline{\mathbb{R}}$ は \underline{\mathbb{R}}(U) = \{\text{U 上の局所定数関数}\} で定義されます。$U$ が連結なら $\underline{\mathbb{R}}(U)\cong \mathbb{R}$ です。

de Rham複体の層

${\Omega }^k$ を $k$-形式の層とします。${\Omega }^k(U)$ は $U$ 上の滑らかな $k$-形式全体です。

外微分 $d:{\Omega }^k\to {\Omega }^{k+1}$ は層の準同型を与え、de Rham複体

$$0\to \underline{\mathbb{R}}\stackrel{i}{\to }{\Omega }^0\stackrel{d}{\to }{\Omega }^1\stackrel{d}{\to }{\Omega }^2\stackrel{d}{\to }\cdots$$

が得られます。$i$ は定数関数の埋め込みです。

Poincaréの補題（局所版）

${\mathbb{R}}^n$ の任意の凸開集合 $U$ 上で、閉形式は完全形式です。すなわち $d\omega =0$ ならば $\omega =d\eta$ となる $\eta$ が存在します。

これは de Rham 複体が茎（stalk）において完全であることを意味します。

de Rham複体は分解

Poincaréの補題から、列

$$0\to \underline{\mathbb{R}}\to {\Omega }^0\to {\Omega }^1\to {\Omega }^2\to \cdots$$

は完全列であり、$\underline{\mathbb{R}}$ の分解（resolution）を与えます。

軟層と非輪状分解

層 $\mathcal{F}$ が軟層（soft sheaf）であるとは、任意の閉集合 $K\subset M$ に対して $\mathcal{F}(M)\to \mathcal{F}(K)$（茎の直積への写像）が全射となることです。

${\Omega }^k$ は1の分割が存在するため軟層です。滑らかな関数を好きな場所で切り取れます。

軟層は非輪状（acyclic）、すなわち $H^k(M;\mathcal{F})=0$（$k\ge 1$）を満たします。

層コホモロジーの計算

層 $\mathcal{F}$ の非輪状分解 $0\to \mathcal{F}\to {\mathcal{I}}^0\to {\mathcal{I}}^1\to \cdots$ に対して、層コホモロジーは

$$H^k(M;\mathcal{F})\cong H^k({\mathcal{I}}^{\bullet }(M))$$

で計算されます。右辺は大域切断の複体のコホモロジーです。

de Rhamコホモロジーとの同一視

de Rham複体は $\underline{\mathbb{R}}$ の非輪状分解なので、

$$H^k(M;\underline{\mathbb{R}})\cong H^k({\Omega }^{\bullet }(M))=H_{\mathrm{dR}}^k(M)$$

が得られます。

特異コホモロジーとの比較

特異コチェインの層 ${\mathcal{S}}^k$ を、${\mathcal{S}}^k(U)=S^k(U;\mathbb{R})$（$U$ 上の特異コチェイン）で定義します。

${\mathcal{S}}^k$ も軟層であり、

$$0\to \underline{\mathbb{R}}\to {\mathcal{S}}^0\to {\mathcal{S}}^1\to {\mathcal{S}}^2\to \cdots$$

は $\underline{\mathbb{R}}$ の非輪状分解を与えます（局所的に特異ホモロジーが自明であることから）。

同型の証明

2つの非輪状分解から得られるコホモロジーは同型なので、

$$H_{\mathrm{dR}}^k(M)\cong H^k(M;\underline{\mathbb{R}})\cong H^k(M;\mathbb{R})$$

が得られます。

積分による同型の明示

同型は具体的に積分で与えられます。$[\omega ]\in H_{\mathrm{dR}}^k(M)$ と $[\sigma ]\in H_k(M)$（$k$-サイクル）に対して

$$⟨[\omega ],[\sigma ]⟩={\int }_{\sigma }\omega$$

Stokesの定理から、これはコホモロジー類とホモロジー類のみに依存します。

この対応が非退化であることがde Rhamの定理の内容です。

Stokesの定理との関係

$\omega$ が完全形式 $\omega =d\eta$ ならば、${\int }_{\sigma }d\eta ={\int }_{\partial \sigma }\eta =0$（$\sigma$ がサイクルなら $\partial \sigma =0$）。

$\sigma$ が境界 $\sigma =\partial \tau$ ならば、${\int }_{\partial \tau }\omega ={\int }_{\tau }d\omega =0$（$\omega$ が閉形式なら $d\omega =0$）。

したがって積分はコホモロジーとホモロジーの間の well-defined なペアリングを与えます。