可解群の定義と性質

可解群は「可換な部分に分解できる」群であり、Galois 理論において代数方程式の可解性と直結する概念である。

可解群の定義

群 $G$ が可解（solvable）であるとは、正規部分群の列

$$\{e\}=G_0⊴G_1⊴\cdots ⊴G_n=G$$

が存在して、各商群 $G_{i+1}/G_i$ が可換群となることをいう。

可換群は可解群

可換群 $G$ は $\{e\}⊴G$ という長さ1の列を持ち、$G/\{e\}=G$ は可換である。よって可換群は可解群である。

$S_3$ は可解群

$\{e\}⊴A_3⊴S_3$ という列がある。$A_3/\{e\}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $S_3/A_3\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ はともに可換である。

$S_4$ は可解群

$\{e\}⊴V_4⊴A_4⊴S_4$ という列がある。$V_4\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$, $A_4/V_4\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $S_4/A_4\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。

$S_5$ は可解群でない

$A_5$ が単純群で非可換であることから、$S_5$ は可解群でない。

$S_5$ の正規部分群は $\{e\}$, $A_5$, $S_5$ のみである。$A_5$ は非可換単純群なので、これ以上分解できない。

$p$-群は可解群

$p$-群（位数が $p^n$）は可解群である。

$|G|=p^n$ ならば $Z(G)\ne \{e\}$ なので、$G/Z(G)$ も $p$-群である。帰納法により $G/Z(G)$ が可解なら $G$ も可解である。

可解群の性質

可解群の部分群は可解群である。

可解群の商群は可解群である。$\{e\}=G_0⊴\cdots ⊴G_n=G$ に対して、$\{e\}=G_{0}N/N⊴\cdots ⊴G_{n}N/N=G/N$ が $G/N$ の可解列を与える。

可解群の拡大

$N⊴G$ で $N$ と $G/N$ がともに可解ならば、$G$ も可解である。

$N$ の可解列と $G/N$ の可解列を「つなげる」ことで $G$ の可解列が構成できる。

導来部分群

群 $G$ の導来部分群（derived subgroup）または交換子群 $G^{\prime }$ は

$$G^{\prime }=[G,G]=⟨[a,b]:a,b\in G⟩$$

である。ここで $[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ は交換子である。

$G^{\prime }$ は $G$ の正規部分群であり、$G/G^{\prime }$ は可換群である。

導来列

$G^{(0)}=G$, $G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$ と定義する。

$$G=G^{(0)}⊵G^{(1)}⊵G^{(2)}⊵\cdots$$

を導来列（derived series）という。

可解性の判定

$G$ が可解 $\iff$ ある $n$ で $G^{(n)}=\{e\}$ となる。

導来列が $\{e\}$ に到達するかどうかで可解性が判定できる。

位数による可解性

Burnside の定理：位数が $p^a{q}^b$（$p,q$ は素数）の形の群は可解である。

Feit-Thompson の定理：奇数位数の群は可解である。この証明は255ページに及ぶ。