導来列が止まるのは単純非可換群に当たったとき（可解群の定義と性質）

交換子群をとる操作を繰り返して単位元に届く群が可解群です^[3]。

$S_4$ では 3 歩で届きます。$S_5$ では $A_5$ で止まる。この差が、4 次方程式に解の公式があって 5 次以上にはないことの正体になっています。

交換子群

$x,y\in G$ に対して $(x,y)=x^{-1}{y}^{-1}xy$ を交換子といいます^[3]。定義から $xy=yx\cdot (x,y)$ が成り立つので、交換子は「可換からのずれ」を測る量です。

交換子全体が生成する部分群を交換子群、または導来部分群といい $D(G)$ と書きます。$G$ の特性部分群、つまりどんな自己同型でも保たれる部分群になります^[3]。

部分群 $H\le G$ について、次の 2 つは同値です^[3]。

証明を書きます。$H\supseteq D(G)$ とします。$g\in G$、$h\in H$ に対して $g^{-1}hg=h\cdot (h,g)$ で、$(h,g)\in D(G)\subseteq H$ だから $g^{-1}hg\in H$。正規です。剰余類の積では $\overline{x}\overline{y}=\overline{y}\overline{x}\overline{(x,y)}=\overline{y}\overline{x}$ となるので、$G/H$ は可換になります。

逆に $H$ が正規で $G/H$ が可換なら、$\overline{(x,y)}={\overline{x}}^{-1}{\overline{y}}^{-1}\overline{x}\overline{y}=\overline{1}$ なので、すべての交換子が $H$ に入る。生成される群も入るので $D(G)\subseteq H$ です。

したがって $G/D(G)$ は $G$ の最大の可換商になります^[3]。

導来列

同じ操作を繰り返します^[3]。

$$D^{0}G=G,D^{n}G=(D^{n-1}G,D^{n-1}G)(n\ge 1)$$

$G\supseteq D^{1}G\supseteq D^{2}G\supseteq \cdots$ という減少列ができます。

ある $n$ で $D^{n}G=\{1\}$ になるとき、$G$ は可解であるといいます。そうなる最小の $n$ が可解類です^[3]。

可解類 $0$ は $G=\{1\}$、可解類 $1$ 以下は $G$ が可換であることと同じです。

4 つの言い換え

$n\ge 1$ について、次は同値です^[3]。

1 番目から 2 番目は $G_i=D^{i}G$ と置くだけです。$D(G)$ は内部とは限らないすべての自己同型で保たれるので、$D^{i}G$ は $G$ の正規部分群になります^[3]。

2 番目から 3 番目は明らかです。3 番目から 1 番目は帰納法で $D^{k}G\subseteq G_k$ を示せばよい。$k=0$ は等号で、$D^{k}G\subseteq G_k$ なら $D^{k+1}G=(D^{k}G,D^{k}G)\subseteq (G_k,G_k)\subseteq G_{k+1}$ になります。最後の包含は $G_k/G_{k+1}$ が可換であることそのものです。

1 番目から 4 番目は $A=D^{n-1}G$ ととる。4 番目から 1 番目は、$G/A$ の列を $G$ へ引き戻し、末尾に $A\supset \{1\}$ をつなげば 2 番目の形になります^[3]。

受け継がれ方

部分群と商群は可解性を受け継ぎ、可解類も増えません^[3]。$H\le G$ なら $D^{i}H\subseteq D^{i}G$、全射 $\pi :G\to G/N$ なら $\pi (D^{i}G)=D^i(G/N)$ が成り立つためです。

拡大でも閉じます。$N⊴G$ で $N$ と $G/N$ がともに可解だとします。$G/N$ が可解類 $m$ なら $D^{m}G\subseteq N$ で、$N$ が可解類 $k$ なら $D^{m+k}G\subseteq D^{k}N=\{1\}$。$G$ は可解類 $m+k$ 以下です。

ここが冪零性との分かれ目になります。冪零群では拡大が閉じません。$A_3$ も $S_3/A_3$ も可換なのに $S_3$ は冪零でない、という例がある。

組成列で見る

有限群 $G$ の Jordan-Hölder 列を $G=G_0\supset G_1\supset \cdots \supset G_n=\{1\}$ とします。$G$ が可解であることは、すべての因子 $G_i/G_{i+1}$ が素数位数の巡回群であることと同値です^[3]。

理由は短い。単純かつ可解な群 $S$ をとると、$D(S)$ は正規部分群なので $\{1\}$ か $S$ です。$S$ が可解だから $D(S)=S$ はありえず、$D(S)=\{1\}$。つまり $S$ は可換で、可換単純群は素数位数の巡回群です^[3]。

組成因子は単純で、可解群の組成因子は可解。だから素数位数の巡回群になります。逆向きは、その列自体が可解列だからすぐ出ます。

非可換な単純群は可解ではない^[3]。可解性を壊すのは、この 1 種類だけです。

$S_n$ が可解なのは $n\le 4$ まで

対称群の交換子群は交代群です。互換どうしの交換子を計算すると 3 サイクルが出るので、$D^1{S}_n=A_n$ になります^[1]。

具体的に計算します。$S_3$ では $D^1{S}_3=A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、これが可換なので $D^2{S}_3=\{1\}$。可解類 $2$ です。

$S_4$ では $D^1{S}_4=A_4$、$D^2{S}_4=(A_4,A_4)=V_4$、$V_4$ は可換なので $D^3{S}_4=\{1\}$。位数で追うと $24\to 12\to 4\to 1$ で、可解類 $3$ になります。

$S_5$ で止まります。$D^1{S}_5=A_5$ で、$A_5$ は非可換な単純群だから $D(A_5)$ は $\{1\}$ か $A_5$ のどちらか。$A_5$ が可換でないので $D(A_5)=A_5$ です。

以降ずっと $A_5$ のまま。$n\ge 5$ では $A_n$ が単純非可換なので、同じことが起きます^[3]。

上三角行列は可解

体 $K$ 上の $n$ 次元空間に完全旗 $V=V_0\supset V_1\supset \cdots \supset V_n=0$ をとり、旗を保つ元の全体を $G$ とします^[3]。旗に合わせた基底では、$G$ は上三角行列の群になります。

$$B_i=\{s\in G:(s-1)V_j\subseteq V_{i+j}\}$$

$B_0=G$ で、$B_1$ は対角成分が $1$ の上三角行列です。ここで $(B_j,B_k)\subseteq B_{j+k}$ が成り立ちます^[3]。

$j=k=0$ の場合を見ると $(G,G)\subseteq B_0$ にしかなりませんが、実は $(B_0,B_0)\subseteq B_1$ です。対角成分の積が交換子で打ち消し合うためで、対角部分が可換だからこうなる。

そこから $(B_1,B_1)\subseteq B_2$、$(B_2,B_2)\subseteq B_4$ と進み、$B_n=\{1\}$ に届きます。$G$ は可解です^[3]。

$B_1$ のほうは冪零になります。可解群と冪零群の典型的な例が、同じ行列の並びから 2 つ出てくる形です。

$p$ 群と、位数が 2 つの素数だけの群

$p$ 群は冪零なので可解です^[2]。中心が自明でないことから上中心列が伸び続けるためでした。

素数が 2 つになっても可解のままです。位数が $p^a{q}^b$ の群はすべて可解になる^[3]。Burnside の定理です。

証明は指標の理論を使います^[3]。群論の言葉だけでは届かない、というのが長いあいだの状況でした。

Hall の定理を経由すると、形の上ではすっきり書けます。素数の集合 $\Pi$ に対して、位数が $\Pi$ の素数だけからなり指数が $\Pi$ の素数で割れない部分群を $\Pi$ 部分群といいます^[3]。

可解群はどんな $\Pi$ についても $\Pi$ 部分群を持ち、それらは互いに共役です^[3]。逆に、どんな $\Pi$ についても $\Pi$ 部分群を持つ有限群は可解になります^[3]。

位数が $p^a{q}^b$ の群では、$\Pi$ として意味があるのは $\{p\}$、$\{q\}$、$\{p,q\}$ の 3 つだけ。前の 2 つは Sylow の定理が答え、最後は群そのものが $\Pi$ 部分群です。だから逆向きの定理から可解性が出ます^[3]。

ただし、この逆向きの定理の証明のほうが Burnside の定理を使います^[3]。短く見える道筋も、指標の理論を迂回してはいません。

素数が 3 つ以上になると

素数を 3 つに増やすと可解とは限りません。$|A_5|=60=2^2\cdot 3\cdot 5$ が反例です。

代わりに効くのが偶奇です。奇数位数の有限群はすべて可解になる^[3]。Feit と Thompson が 1963 年に証明しました。

論文は 255 ページありました^[4]。当初は 25 ページ程度と見積もられていたそうです。

裏返すと、非可換な有限単純群の位数は必ず偶数になります^[3]。可解性を壊す群を探すなら、位数 $2$ の元があるところしか見なくてよい。

可解性を壊すものは非可換な単純群だけです。組成列に非可換単純群が 1 つでも現れれば導来列はそこで止まり、現れなければ必ず単位元に届く。5 次以上の対称群で起きているのは、$A_n$ という単純群が組成因子に居座ることでした。

参考