可解群は「可換な部分に分解できる」群であり、Galois 理論において代数方程式の可解性と直結する概念である。
可解群の定義
群 が可解（solvable）であるとは、正規部分群の列
が存在して、各商群 が可換群となることをいう。
可換群は可解群
可換群 は という長さ1の列を持ち、 は可換である。よって可換群は可解群である。
は可解群
という列がある。, はともに可換である。
は可解群
という列がある。, , である。
は可解群でない
が単純群で非可換であることから、 は可解群でない。
の正規部分群は , , のみである。 は非可換単純群なので、これ以上分解できない。
-群は可解群
-群（位数が ）は可解群である。
ならば なので、 も -群である。帰納法により が可解なら も可解である。
可解群の性質
可解群の部分群は可解群である。
可解群の商群は可解群である。 に対して、 が の可解列を与える。
可解群の拡大
で と がともに可解ならば、 も可解である。
の可解列と の可解列を「つなげる」ことで の可解列が構成できる。
導来部分群
群 の導来部分群（derived subgroup）または交換子群 は
である。ここで は交換子である。
は の正規部分群であり、 は可換群である。
導来列
, と定義する。
を導来列（derived series）という。
可解性の判定
が可解 ある で となる。
導来列が に到達するかどうかで可解性が判定できる。
位数による可解性
Burnside の定理：位数が （ は素数）の形の群は可解である。
Feit-Thompson の定理：奇数位数の群は可解である。この証明は255ページに及ぶ。
