圏論から見る位相幾何学

圏論は位相幾何学の構造を整理し、異なる理論間の関係を明確にする言語です。ここでは圏論の基本概念と位相幾何学への応用を解説します。

圏の定義

圏（category）$\mathcal{C}$ は次のデータからなります。

合成は結合律を満たし、恒等射は単位元として働きます。

位相幾何学に現れる圏

位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ は、対象が位相空間、射が連続写像です。

基点付き空間の圏 ${\mathbf{Top}}_{\ast }$ は、対象が基点付き空間 $(X,x_0)$、射が基点を保つ連続写像です。

アーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ は、対象がアーベル群、射が群準同型です。

函手の定義

函手（functor）$F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ は、圏から圏への「構造を保つ写像」です。

共変函手と反変函手

上の定義の函手は共変函手です。射の向きを保存します。

反変函手は射の向きを逆転させます。$F(f):F(B)\to F(A)$ となり、$F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ です。

ホモロジーは函手

$n$ 次ホモロジー $H_n:\mathbf{Top}\to \mathbf{Ab}$ は共変函手です。

位相空間 $X$ をアーベル群 $H_n(X)$ に、連続写像 $f:X\to Y$ を群準同型 $f_{\ast }:H_n(X)\to H_n(Y)$ に送ります。

$(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$ と $({\mathrm{id}}_X{)}_{\ast }={\mathrm{id}}_{H_n(X)}$ が成り立ちます。

コホモロジーは反変函手

$n$ 次コホモロジー $H^n:\mathbf{Top}\to \mathbf{Ab}$ は反変函手です。

連続写像 $f:X\to Y$ は $f^{\ast }:H^n(Y)\to H^n(X)$ を誘導します。向きが逆転していることに注意してください。

基本群も函手

基本群 ${\pi }_1:{\mathbf{Top}}_{\ast }\to \mathbf{Grp}$ は共変函手です。

基点付き空間 $(X,x_0)$ を群 ${\pi }_1(X,x_0)$ に、基点を保つ連続写像 $f$ を群準同型 $f_{\ast }$ に送ります。

自然変換

函手 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ の間の自然変換（natural transformation）$\eta :F\Rightarrow G$ は、各対象 $A$ に射 ${\eta }_A:F(A)\to G(A)$ を対応させ、任意の $f:A\to B$ に対して図式

$$\begin{array}{ccc}F(A)& \stackrel{{\eta }_A}{\to }& G(A)\\ \downarrow F(f)& & \downarrow G(f)\\ F(B)& \stackrel{{\eta }_B}{\to }& G(B)\end{array}$$

が可換となるものです。

自然変換の例：Hurewicz準同型

Hurewicz 準同型 $h:{\pi }_n(X)\to H_n(X)$ は、函手 ${\pi }_n$ から $H_n$ への自然変換です。

任意の連続写像 $f$ に対して $h\circ f_{\ast }=f_{\ast }\circ h$ が成り立ちます（両辺の $f_{\ast }$ は異なる函手の誘導写像）。

圏同値

函手 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ が圏同値を与えるとは、$G\circ F\cong {\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}$ かつ $F\circ G\cong {\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}$（自然同型）が成り立つことです。

被覆空間の圏と ${\pi }_1(X)$-集合の圏が同値であることは、被覆空間の分類定理の圏論的表現です。

随伴函手

函手 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ が随伴（$F⊣G$）であるとは、自然な全単射

$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(A),B)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,G(B))$$

が存在することです。$F$ を左随伴、$G$ を右随伴といいます。

懸垂とループ空間の随伴

懸垂函手 $S:{\mathbf{Top}}_{\ast }\to {\mathbf{Top}}_{\ast }$ とループ空間函手 $\Omega :{\mathbf{Top}}_{\ast }\to {\mathbf{Top}}_{\ast }$ は随伴です。

$$[SX,Y]\cong [X,\Omega Y]$$

ホモトピー類の集合の間の自然な全単射があります。

ホモトピー圏

ホモトピー圏 $\mathbf{hTop}$ は、対象が位相空間、射がホモトピー類 $[X,Y]$ です。

ホモトピー同値な空間はこの圏で同型となります。Whitehead の定理は、CW 複体の間で弱同値が同型となることを主張します。

普遍性と表現可能函手

対象 $X$ が普遍性を持つとは、$\mathrm{Hom}(-,X)$ または $\mathrm{Hom}(X,-)$ が特定の函手と自然同型になることです。

完備化の普遍性、自由群の普遍性などが例です。