圏論から見る位相幾何学（基本群とホモロジーを関手として扱う）

円板 $D^2$ から縁の円周 $S^1$ への連続写像で、縁の点をどれも動かさないもの（レトラクション）は存在しません。そういう写像 $r$ があるとして、包含写像を $i:S^1\to D^2$ と書くと、$r\circ i$ は $S^1$ の恒等写像になる。

縁の上に基点を選び、各空間を基本群に置きかえると、${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$ から ${\pi }_1(D^2)=0$ を通って $\mathbb{Z}$ に戻る準同型の並びが得られます^[1]。

$$r_{\ast }\circ i_{\ast }=(r\circ i{)}_{\ast }=({\mathrm{id}}_{S^1}{)}_{\ast }={\mathrm{id}}_{\mathbb{Z}}$$

$0$ を通る合成は $1$ を $0$ に送るため、$\mathbb{Z}$ の恒等写像とは一致しない。上の等式と食い違うので、$r$ はありえません。

この議論が頼っているのは、${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$ と ${\pi }_1(D^2)=0$ という 2 つの値と、$(r\circ i{)}_{\ast }=r_{\ast }\circ i_{\ast }$、$(\mathrm{id}{)}_{\ast }=\mathrm{id}$ という規則です。後者の規則をみたす対応が関手で、関手が結ぶ「空間と連続写像」「群と準同型」のような集まりを圏と呼ぶ。

圏と射

圏は、対象の集まりと、対象の組 $A$、$B$ ごとに決まる射 $A\to B$ の集まり、それに射の合成からなります^[1,2]。各対象 $A$ に恒等射 ${\mathrm{id}}_A$ があり、$f:A\to B$、$g:B\to C$、$h:C\to D$ に対して次が成り立つ。

$$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f,f\circ {\mathrm{id}}_A=f={\mathrm{id}}_B\circ f$$

$\mathbf{hTop}$ で合成が決まるのは、$f_0\simeq f_1$ と $g_0\simeq g_1$ から $g_0\circ f_0\simeq g_1\circ f_1$ が従うため^[2]。この圏の同型射は、同相写像ではなくホモトピー同値写像の類です^[1]。

基本亜群

空間 $X$ の点を対象にとり、点 $x$ から $y$ への道のうち、端点を止めたまま互いに変形できるものを同じとみなして、その類を射にします。合成は道をつなぐ操作、恒等射は動かない道。こうしてできる圏を基本亜群 ${\Pi }_1(X)$ と呼ぶ^[3]。

道を逆にたどれば逆射が得られ、どの射も同型射になる。すべての射が同型射である圏を亜群といいます。点 $x$ から $x$ 自身への射を集めると、基本群 ${\pi }_1(X,x)$ そのものが得られる^[3]。

平面から円板をくり抜いた円環 $X$ で、穴の上を通る道 $\gamma$ と下を通る道 $\delta$ は、どちらも $x$ から $y$ への射です。2 つが同じ射なら、$\gamma$ のあとに $\delta$ を逆にたどったループ $[\delta {]}^{-1}\circ [\gamma ]$ は恒等射になるはず。実際には穴を 1 周するループで、${\pi }_1(X,x)=\mathbb{Z}$ の生成元にあたるから、$[\gamma ]$ と $[\delta ]$ は別の射。

弧状連結な $X$ では、$x$ から $y$ への射 $[\gamma ]$ を 1 つ選ぶと、$[\alpha ]\mapsto [\gamma ]\circ [\alpha ]\circ [\gamma {]}^{-1}$ が同型 ${\pi }_1(X,x)\cong {\pi }_1(X,y)$ を与えます。別の道を選べば、この同型は共役の分だけずれる。基本亜群は基点を 1 つに決めず、すべての点を対象として同時に持っています^[1]。

群 $G$ も、対象が 1 つだけの亜群とみなせる。射は $G$ の元で、合成は群の積^[2]。

関手

圏 $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への関手 $F$ は、対象 $A$ には対象 $F(A)$、射 $f:A\to B$ には射 $F(f):F(A)\to F(B)$ を対応させ、次の 2 つをみたすものです^[1,2]。

$$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f),F({\mathrm{id}}_A)={\mathrm{id}}_{F(A)}$$

基本群 ${\pi }_1:{\mathbf{Top}}_{\ast }\to \mathbf{Grp}$、ホモロジー $H_n:\mathbf{Top}\to \mathbf{Ab}$、空間にその点の集合を対応させる忘却関手 $\mathbf{Top}\to \mathbf{Set}$ が代表的な例。連続写像は道を道へ、道のホモトピーをホモトピーへ移すから、基本亜群も関手です^[1]。

関手は同型を同型に送る。$g\circ f={\mathrm{id}}_A$ と $f\circ g={\mathrm{id}}_B$ が成り立てば、次の等式と、$f$ と $g$ の役割を逆にした等式が得られます^[4,5]。

$$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)=F({\mathrm{id}}_A)={\mathrm{id}}_{F(A)}$$

同相な空間の基本群とホモロジーは同型です。対偶をとれば、どれか 1 つでも同型でない空間どうしは同相ではない。

例：${\mathbb{R}}^2$ と ${\mathbb{R}}^3$ は同相でない

同相写像 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ があったとすると、原点を除いた ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ と ${\mathbb{R}}^3\setminus \{f(0)\}$ も、$f$ の制限によって同相です。${\mathbb{R}}^n$ から 1 点を除いた空間は $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ と同相で、基本群は ${\pi }_1(S^{n-1})$ と同型^[2]。

$${\pi }_1({\mathbb{R}}^2\setminus \{0\})\cong {\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z},{\pi }_1({\mathbb{R}}^3\setminus \{f(0)\})\cong {\pi }_1(S^2)=0$$

$\mathbb{Z}$ と $0$ は同型でないから、$f$ は存在しない。

逆向きの推論は通りません。${\mathbb{R}}^3$ と 1 点はどちらも可縮で、基本群もホモロジーも一致するが、同相ではない^[4]。どちらの関手もホモトピックな写像に同じ準同型を与え、値は $\mathbf{hTop}$ を経由して決まります。$\mathbf{hTop}$ で同型な空間どうしは、こうした関手では見分けられない。

反変関手とコホモロジー

射 $f:A\to B$ を逆向きの射 $F(f):F(B)\to F(A)$ に送り、$F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ をみたす対応を反変関手と呼びます^[2,5]。これまでの関手は、区別するときには共変関手という。

身近な例は関数の引き戻し。$X$ 上の実数値連続関数の全体を $C(X)$ とし、連続写像 $f:X\to Y$ に $f^{\ast }(\phi )=\phi \circ f$ を対応させると、$f^{\ast }:C(Y)\to C(X)$ は $Y$ の側から $X$ の側へ向かいます^[5]。$g:Y\to Z$ と $\phi \in C(Z)$ で合成を計算すると、順序が逆転する。

$$(g\circ f{)}^{\ast }(\phi )=\phi \circ g\circ f=f^{\ast }(g^{\ast }(\phi ))$$

線形写像の双対写像も反変で、行列では転置にあたります。$(AB{)}^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}$ と積の順序が逆になるのは、この反変性の表れ^[2]。

コホモロジー $H^n(-;G)$ も反変関手です。余鎖は $C_n(Y)$ から $G$ への準同型で、鎖写像 $f_{♯}:C_n(X)\to C_n(Y)$ と合成すれば $X$ の余鎖になり、$f^{\ast }:H^n(Y;G)\to H^n(X;G)$ が決まる^[2]。関数の積が $(\phi \psi )\circ f=(\phi \circ f)(\psi \circ f)$ と引き戻されるのと同じく、カップ積も $f^{\ast }(\alpha ⌣\beta )=f^{\ast }\alpha ⌣f^{\ast }\beta$ をみたします^[2]。

自然変換

関手 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ のあいだの自然変換 $\eta$ は、各対象 $A$ に射 ${\eta }_A:F(A)\to G(A)$ を選んだもので、どの射 $f:A\to B$ についても、$F(A)$ から $G(B)$ へ向かう 2 通りの合成が一致するものをいう^[1,3]。

$$G(f)\circ {\eta }_A={\eta }_B\circ F(f)$$

例：Hurewicz 写像

ループ $\gamma :[0,1]\to X$ は、始点と終点が一致するため特異 1 サイクルとしても読めます。この読みかえで準同型 $h:{\pi }_1(X,x_0)\to H_1(X)$ が決まる^[2]。

連続写像 $f:X\to Y$ に対し、$h(f_{\ast }[\gamma ])$ も $f_{\ast }(h[\gamma ])$ も $f\circ \gamma$ の類です。したがって $h$ は、関手 ${\pi }_1$ から関手 $H_1$ への自然変換になっている^[5]。

$X$ が弧状連結なら $h$ は全射で、核は ${\pi }_1$ の交換子部分群^[2]。8 の字 $S^1\vee S^1$ では、${\pi }_1$ は 2 つの円を 1 周するループ $a$、$b$ で生成される自由群、$H_1$ は ${\mathbb{Z}}^2$ で、$h(a)=(1,0)$、$h(b)=(0,1)$ となります。

$$h(ab{a}^{-1}{b}^{-1})=(1,0)+(0,1)-(1,0)-(0,1)=(0,0)$$

8 の字の上で縮まないループ $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ が、$H_1$ では $0$ に移る。

例：$V\cong V^{\ast }$ と $V\cong V^{\ast \ast }$

有限次元のベクトル空間 $V$ は、双対空間 $V^{\ast }$ と次元が等しく、同型です。ただし同型を書くには基底を選ぶ必要があり、基底を替えれば同型も変わる^[1]。

2 重双対への写像 ${\mathrm{ev}}_V:V\to V^{\ast \ast }$、${\mathrm{ev}}_V(v)(\psi )=\psi (v)$ は基底なしで書けます。線形写像 $\varphi :V\to W$ と $\psi \in W^{\ast }$ をとって両側を計算すると一致する^[1]。

$${\varphi }^{\ast \ast }({\mathrm{ev}}_V(v))(\psi )={\mathrm{ev}}_V(v)(\psi \circ \varphi )=\psi (\varphi (v))={\mathrm{ev}}_W(\varphi (v))(\psi )$$

$\mathrm{ev}$ は、恒等関手から 2 重双対の関手への自然変換。$V\cong V^{\ast }$ のほうは、恒等関手が共変で双対が反変だから、自然変換の形にそもそも書けません^[1]。

「自然な」という言葉は、もともと「勝手な選択をせずに定義できる」という意味でくだけて使われていた。アイレンベルグとマックレーンは、これを正確に述べるために自然変換を定義しました。自然変換は 2 つの関手のあいだに、関手は 2 つの圏のあいだに置かれるため、関手と圏もあわせて定義されている^[1]。

例：普遍係数定理の分裂は自然にとれない

係数 $G$ のホモロジーには、次の完全列がある^[2]。

$$0\to H_n(X)\otimes G\to H_n(X;G)\to \mathrm{Tor}(H_{n-1}(X),G)\to 0$$

この列は $X$ について自然で、しかも分裂し、$H_n(X;G)$ は両端の群の直和と同型になります。けれども、その直和分解は自然には選べない^[2]。分解が自然にとれるなら、整数係数の $H_n$ と $H_{n-1}$ に $0$ を誘導する写像は、$H_n(-;G)$ にも $0$ を誘導するはずです。

$\mathbb{R}{P}^2$ は、円周 $\mathbb{R}{P}^1$ に 2 胞体を次数 $2$ の写像で貼った空間。$\mathbb{R}{P}^1$ を 1 点につぶす写像 $q:\mathbb{R}{P}^2\to S^2$ をとると、整数係数では $H_2(\mathbb{R}{P}^2)=0$、$H_1(S^2)=0$ だから、$q_{\ast }$ は $H_2$ でも $H_1$ でも $0$ です。

$\mathbb{Z}/2$ 係数では様子が変わる。2 胞体の境界は 1 胞体の $2$ 倍で、$\mathbb{Z}/2$ では $0$ になり、2 胞体がそのままサイクルとして残ります。

$q$ はこの 2 胞体を $S^2$ の 2 胞体へ移すから、$q_{\ast }:H_2(\mathbb{R}{P}^2;\mathbb{Z}/2)\to H_2(S^2;\mathbb{Z}/2)$ は $\mathbb{Z}/2$ どうしの同型^[2]。$0$ ではない以上、自然な分解は存在しない。

圏同値と被覆空間

関手 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ があり、$G\circ F$ と $F\circ G$ がどちらも恒等関手と自然同型になるとき、2 つの圏は同値だといいます^[3,5]。対象の同型類どうしが 1 対 1 に対応し、射の集まりも対応する。

$X$ を連結で局所可縮な空間、$x_0$ をその点とする。被覆 $p:\tilde{X}\to X$ のファイバー $p^{-1}(x_0)$ には ${\pi }_1(X,x_0)$ が作用します。点 $y\in p^{-1}(x_0)$ からループを持ち上げ、持ち上げた道の終点を $y$ の行き先にする作用^[4,5]。

群を対象が 1 つの圏とみると、群 $G$ が作用する集合は、$G$ から集合の圏への関手（右からの作用なら反変関手）と同じものです^[3]。ファイバーにこの作用を持たせる対応が、$X$ の被覆の圏から、${\pi }_1(X,x_0)$ が作用する集合の圏への圏同値を与える^[5]。

被覆のあいだの写像は、ファイバーのあいだの作用と両立する写像に対応する^[3]。連結な被覆は、作用が推移的な集合にあたります^[5]。

$X=S^1$ なら ${\pi }_1=\mathbb{Z}$ で、$\mathbb{Z}$ の作用は生成元 $1$ が引き起こす全単射 1 つで決まります。ファイバーが 3 点の被覆（3 重被覆）の同型類は、3 点の置換を番号のつけかえで同一視した類（置換の型）と対応する^[2]。

置換の型は 3 通り。3 点を順にまわす巡回置換、2 点の互換、何も動かさない恒等置換です。それぞれ、連結な 3 重被覆 $z\mapsto z^3$、2 重被覆 $z\mapsto z^2$ と 1 枚の円の和、3 枚のばらばらな円に対応する^[2]。

推移的な $\mathbb{Z}$ 集合は、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $(n\ge 1)$ と $\mathbb{Z}$ そのものに限られます。したがって $S^1$ の連結な被覆は、$z\mapsto z^n$ と、実数直線をらせん状に巻きつける $\mathbb{R}\to S^1$ で尽きる^[2]。

積位相と箱位相

対象の族 $X_n$ の積とは、射 ${\pi }_n:P\to X_n$ を持つ対象 $P$ で、どの対象 $Z$ についても、$Z$ から $P$ への射と、各 $X_n$ への射の族とが 1 対 1 に対応するもの^[1]。

$$\mathrm{Hom}(Z,\prod _n{X}_n)\cong \prod _n\mathrm{Hom}(Z,X_n)$$

$\mathbf{Top}$ の積は、射影がすべて連続になる最も粗い位相（積位相）を入れた直積です^[1]。写像 $Z\to {\prod }_n{X}_n$ が連続であることと、成分がすべて連続であることが同値になり、この性質を持つ位相は積位相しかない^[6]。

各成分の開集合の直積をすべて開集合とする箱位相では、この性質が崩れます。$f(t)=(t,t,t,\dots )$ で $\mathbb{R}$ を ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ に送ると、成分はどれも恒等写像で連続。ところが、箱位相で開集合になる次の区間の積を $f$ で引き戻すと、原点しか残らない。

$$f^{-1}((-1,1)\times (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\times (-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\times \cdots )=\{0\}$$

$t\ne 0$ なら、$n>1/|t|$ の成分が区間から外れる。$\{0\}$ は $\mathbb{R}$ の開集合ではなく、$f$ は箱位相に対して連続ではありません^[6]。

射の向きを逆にした定義が余積で、$\mathbf{Top}$ では直和空間、${\mathbf{Top}}_{\ast }$ では一点和 $X\vee Y$、$\mathbf{Grp}$ では自由積、$\mathbf{Ab}$ では直和にあたる^[3,4]。

押し出しとファン・カンペンの定理

押し出しは、2 つの射 $A\to B$、$A\to C$ に対して定まる余極限です。$B$ からの射と $C$ からの射の組で $A$ の上で一致するものが、押し出しからの射と 1 対 1 に対応する^[4]。

空間 $X$ が開集合 $U$、$V$ の和で、$U$、$V$、$U\cap V$ はどれも弧状連結、基点は $U\cap V$ にあるとします。このとき ${\pi }_1(X)$ は、${\pi }_1(U)\leftarrow {\pi }_1(U\cap V)\to {\pi }_1(V)$ の群の圏での押し出しで、融合積 ${\pi }_1(U){\ast }_{{\pi }_1(U\cap V)}{\pi }_1(V)$ として書ける^[4]。

8 の字で、一方の円に交点のまわりの小さな開集合を足したものを $U$、もう一方の円について同じようにしたものを $V$ とすると、$U\cap V$ は可縮で基本群は $0$。押し出しは ${\pi }_1(U)=\mathbb{Z}$ と ${\pi }_1(V)=\mathbb{Z}$ の余積である自由積 $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$ です^[2,3]。

$U\cap V$ が弧状連結という条件は外せない。円周を 2 つの開いた弧で覆うと、交わりは 2 つの弧に分かれます。弧の基本群はどれも $0$ で押し出しも $0$ だが、${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$。

随伴

関手 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ と $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ に、$A$ と $B$ について自然な 1 対 1 対応

$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(A),B)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A,G(B))$$

があるとき、$F$ を $G$ の左随伴、$G$ を $F$ の右随伴といい、$F⊣G$ と書く^[1]。

極限は右随伴で、余極限は左随伴で保たれます^[1]。忘却関手 $U:\mathbf{Top}\to \mathbf{Set}$ は $D$ の右随伴で、$I$ の左随伴でもあるから、積も直和も保つ。積空間や直和空間の点の集合は、集合としての直積や直和そのもの。

懸垂とループ空間の随伴で $X=S^n$ とおくと、$\Sigma S^n=S^{n+1}$ から ${\pi }_{n+1}(Y)\cong {\pi }_n(\Omega Y)$ が得られます^[2]。

表現可能関手と米田の補題

関手 $F$ が、ある対象 $A$ について $\mathrm{Hom}(A,-)$ か $\mathrm{Hom}(-,A)$ と自然同型になるとき、$F$ は $A$ で表現されるといい、表現可能関手と呼びます^[1]。$n$ 次ホモトピー群は定義から ${\pi }_n(X)=[S^n,X{]}_{\ast }$ で、$S^n$ が表現している。

シェルピンスキー空間 $S$ は 2 点 $\{0,1\}$ からなり、開集合は $\varnothing$、$\{1\}$、$\{0,1\}$ の 3 つ。連続写像 $X\to S$ は $1$ の逆像として開集合を 1 つ決め、どの開集合もちょうど 1 つの写像から得られます^[1]。

${\pi }_n=G$ で、それ以外のホモトピー群がすべて $0$ である空間が、アイレンベルグ・マックレーン空間 $K(G,n)$ です。CW 複体 $X$ について、$H^n(X;G)$ と $[X,K(G,n)]$ のあいだに自然な全単射がある^[2]。

円周は $K(\mathbb{Z},1)$ にあたり、トーラス $T^2=S^1\times S^1$ では $H^1(T^2;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^2$ です。$T^2$ から $S^1$ への連続写像はどれも、ちょうど 1 組の整数 $(a,b)$ について $(z,w)\mapsto z^a{w}^b$ とホモトピックになる。$z^a{w}^b$ で $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ の生成元を引き戻すと、$(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ に移るため。

米田の補題は、表現可能関手 $\mathrm{Hom}(-,A)$ から関手 $F$ への自然変換が、$F(A)$ の元と 1 対 1 に対応すると述べます。対応は、自然変換 $\eta$ に ${\eta }_A({\mathrm{id}}_A)$ を割りあてる写像^[1]。

コホモロジーの場合、自然変換 $\Theta :H^m(-;G)\to H^n(-;H)$（コホモロジー作用素）は、$H^n(K(G,m);H)$ の元と 1 対 1 に対応する^[2]。基本類 $\iota \in H^m(K(G,m);G)$ をとると、どの類も写像 $\phi :X\to K(G,m)$ で $\alpha ={\phi }^{\ast }\iota$ と書け、自然性から次が従います。

$$\Theta (\alpha )=\Theta ({\phi }^{\ast }\iota )={\phi }^{\ast }(\Theta (\iota ))$$

$\Theta$ は $\Theta (\iota )$ ひとつで決まる^[2]。$H^m(K(G,m);H)\cong \mathrm{Hom}(G,H)$ なので、次数を変えない作用素は係数の準同型 $G\to H$ に限られます^[2]。

参考