圏論は位相幾何学の構造を整理し、異なる理論間の関係を明確にする言語です。ここでは圏論の基本概念と位相幾何学への応用を解説します。
圏の定義
圏（category） は次のデータからなります。
合成は結合律を満たし、恒等射は単位元として働きます。
位相幾何学に現れる圏
位相空間の圏 は、対象が位相空間、射が連続写像です。
基点付き空間の圏 は、対象が基点付き空間 、射が基点を保つ連続写像です。
アーベル群の圏 は、対象がアーベル群、射が群準同型です。
函手の定義
函手（functor） は、圏から圏への「構造を保つ写像」です。
共変函手と反変函手
上の定義の函手は共変函手です。射の向きを保存します。
反変函手は射の向きを逆転させます。 となり、 です。
ホモロジーは函手
次ホモロジー は共変函手です。
位相空間 をアーベル群 に、連続写像 を群準同型 に送ります。
と が成り立ちます。
コホモロジーは反変函手
次コホモロジー は反変函手です。
連続写像 は を誘導します。向きが逆転していることに注意してください。
基本群も函手
基本群 は共変函手です。
基点付き空間 を群 に、基点を保つ連続写像 を群準同型 に送ります。
自然変換
函手 の間の自然変換（natural transformation） は、各対象 に射 を対応させ、任意の に対して図式
が可換となるものです。
自然変換の例：Hurewicz準同型
Hurewicz 準同型 は、函手 から への自然変換です。
任意の連続写像 に対して が成り立ちます（両辺の は異なる函手の誘導写像）。
圏同値
函手 と が圏同値を与えるとは、 かつ （自然同型）が成り立つことです。
被覆空間の圏と -集合の圏が同値であることは、被覆空間の分類定理の圏論的表現です。
随伴函手
函手 と が随伴（）であるとは、自然な全単射
が存在することです。 を左随伴、 を右随伴といいます。
懸垂とループ空間の随伴
懸垂函手 とループ空間函手 は随伴です。
ホモトピー類の集合の間の自然な全単射があります。
ホモトピー圏
ホモトピー圏 は、対象が位相空間、射がホモトピー類 です。
ホモトピー同値な空間はこの圏で同型となります。Whitehead の定理は、CW 複体の間で弱同値が同型となることを主張します。
普遍性と表現可能函手
対象 が普遍性を持つとは、 または が特定の函手と自然同型になることです。
完備化の普遍性、自由群の普遍性などが例です。
完備化、商空間などを直接構成。存在と具体的な形がわかる。
射の性質で対象を特徴づける。一意性が自動的に従う。異なる構成が同じ普遍性を満たせば同型。
