対称群の共役類と既約表現｜巡回型・分割・Young 図形とフック長

$S_n$ の 2 つの置換が共役かどうかは、巡回型だけで決まります。巡回型とは、交わらない巡回に分けたときの長さを大きい順に並べたもの。

これは $n$ の分割そのものなので、共役類と分割が一対一に対応する。同じ対応が既約表現にもあり、そこから Young 図形が出てきます。

共役かどうかは巡回型だけで決まる

共役をとる操作は、番号の付けかえです。

$$\tau (a_1{a}_2\cdots a_k){\tau }^{-1}=(\tau (a_1)\tau (a_2)\cdots \tau (a_k))$$

巡回の中身が入れかわるだけで、長さは変わらない。逆に巡回型が同じなら、番号を対応させる $\tau$ をとれば移り合う。

だから共役類と巡回型がぴたり重なる。

例：巡回型が同じなら移り合う

$S_5$ で $(123)(45)$ と $(145)(23)$ を見ます。どちらも巡回型 $(3,2)$ で、5 文字すべてを動かす。

$\tau$ を $1\mapsto 1$、$2\mapsto 4$、$3\mapsto 5$、$4\mapsto 2$、$5\mapsto 3$ と定めると、前者が後者に移ります。

固定点も長さ 1 の巡回として数える約束。$S_5$ の中で $(12)$ を見れば、巡回型は $(2,1,1,1)$ になる。

共役類の個数は分割数

$n$ を大きい順の正の整数の和に分ける方法を、$n$ の分割といいます。その個数が分割数 $p(n)$。

共役類の個数はこの $p(n)$ に一致する。$p(1)$ から順に $1$、$2$、$3$、$5$、$7$、$11$、$15$ と増えていきます。

例：S4 の 5 つの共役類

$S_4$ の共役類は $4$ の分割 5 つに対応する。大きさを足すと $1+6+3+8+6=24$ になる。

共役類の大きさの公式

長さ $k$ の巡回が $m_k$ 個ある型について、類の大きさは次の式で出ます。

$$\frac{n!}{{\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!}$$

分母は中心化群の位数。$k^{m_k}$ が巡回をどの番号から書き始めてもよいぶん、$m_k!$ が同じ長さの巡回どうしを並べかえてもよいぶんです。

$(2,2)$ 型なら $4!/(2^2\cdot 2!)=3$ になる。

Young 図形と標準盤

分割 $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k)$ に対して、$i$ 行目に ${\lambda }_i$ 個のマスを左詰めで並べた図形を Young 図形といいます。行の長さが、下へ行くほど増えない形。

標準盤の個数が、そのまま既約表現の次元になる。数えにくいので、次の節の公式を使います。

フック長で次元が出る

すべてのマスのフック長を掛け、$n!$ を割ると次元が出ます。

$$\dim S^{\lambda }=\frac{n!}{\prod h(i,j)}$$

これがフック長の公式。1954 年に Frame、Robinson、Thrall が見つけた式です。

$S_4$ の 5 つを計算すると、次元は $1$、$3$、$2$、$3$、$1$ になる。2 乗して足すと $24$ で、群の位数と一致する。

例：S5 の次元を計算する

$\lambda =(3,1,1)$ をとります。1 行目のフック長が $5$、$2$、$1$、2 行目が $2$、3 行目が $1$。

掛けると $20$ で、$120/20=6$ になる。実際に標準盤を書き出しても、ちょうど 6 通りです。

$S_5$ の 7 つの次元は $1$、$4$、$5$、$6$、$5$、$4$、$1$ で、2 乗の和は $120$ になる。

既約表現は分割と一対一

有限群では、複素既約表現の個数が共役類の個数に一致します。$S_n$ ではどちらも $p(n)$ 個。

しかもこの対応は数の一致にとどまらず、分割から表現を直接組み立てられる。

Young 図形の標準盤を基底にして作ったこの表現を、Specht 加群といいます。

自明表現と符号表現

分割 $(n)$ は自明表現に対応します。1 行のマスだけの図形で、すべての置換を $1$ に写す。

分割 $(1,1,\dots ,1)$ は符号表現。1 列のマスだけの図形で、$\sigma$ を $\mathrm{sgn}(\sigma )$ に写す。

どちらもフック長が $n$、$n-1$、$\dots$、$1$ と並ぶので、積が $n!$ になって次元は $1$。

標準表現

$S_n$ は ${\mathbb{C}}^n$ に置換行列として作用します。座標をすべて足す写像の核が $n-1$ 次元の部分空間で、そこが既約になる。

これが標準表現で、分割 $(n-1,1)$ に対応する。置換行列の表現そのものは、自明表現と標準表現の直和に分かれる。

指標は数え上げで出ます。動かない番号の個数から $1$ を引けば、その値になる。

例：S4 の指標表

$S_4$ には 5 つの既約表現があり、次元は $1$、$3$、$2$、$3$、$1$ です。

$e$ の列は次元そのもの。標準表現の行は、動かない番号の個数から $1$ を引くと出ます。

$(12)$ は 2 個動かさないので $2-1=1$、$(12)(34)$ は 0 個なので $-1$ になる。$(2,1,1)$ の行は、この行に符号を掛けたものです。

指標表の直交性

異なる既約表現の行どうしは、類の大きさで重みを付けると直交します。同じ行どうしの内積は、群の位数になる。

$S_4$ の自明表現と符号表現で試すと、$1-6+3+8-6=0$ でたしかに直交する。

分割数の増え方

$p(n)$ は $n$ とともに速く増えます。$p(10)=42$、$p(20)=627$、$p(50)$ は $20$ 万を超える。

だから $S_n$ の既約表現も、$n$ が少し大きくなるだけで一気に増えていく。

それでも 1 つ 1 つの次元がフック長で書けるところが、対称群の表現論の強みです。

よくある誤り

参考文献