対称群の共役類と表現

対称群の共役類は置換の巡回型によって完全に決定される。これは対称群の表現論の出発点となり、分割数や Young 図形と深く関わる。

対称群の共役

$S_n$ において $\sigma$ と $\tau$ が共役であるための必要十分条件は、$\sigma$ と $\tau$ の巡回型が等しいことである。

巡回型（cycle type）とは、巡回分解における各巡回の長さを並べたものである。

巡回型の例

$(123)(45)\in S_5$ の巡回型は $(3,2)$ である。$(145)(23)\in S_5$ の巡回型も $(3,2)$ であり、これらは共役である。

長さ1の巡回（不動点）も含めると、$(123)(45)$ の巡回型は $(3,2)$ または $(3,2,1^0)$ と書く。

共役類の個数

$S_n$ の共役類の個数は $n$ の分割数 $p(n)$ に等しい。

$n$ の分割とは、$n={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_k$（${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_k\ge 1$）と表すことである。

$p(1)=1$, $p(2)=2$, $p(3)=3$, $p(4)=5$, $p(5)=7$ である。

$S_4$ の共役類

$S_4$ の共役類は分割 $(4)$, $(3,1)$, $(2,2)$, $(2,1,1)$, $(1,1,1,1)$ に対応する5つである。

共役類の大きさの公式

巡回型 $\lambda =(1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots n^{m_n})$（長さ $k$ の巡回が $m_k$ 個）の共役類の大きさは

$$\frac{n!}{{\prod }_{k=1}^n{k}^{m_k}{m}_k!}$$

である。分母は中心化群の位数である。

Young 図形

分割 $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k)$ に対して、$i$ 行目に ${\lambda }_i$ 個の箱を左詰めで並べた図形を Young 図形という。

$(3,2)$ の Young 図形は

□□□
□□

である。

対称群の既約表現

$S_n$ の既約表現は $n$ の分割と1対1に対応する。Young 図形を用いて具体的に構成できる。

$S_n$ の既約表現の個数は共役類の個数 $p(n)$ に等しい。これは任意の有限群で成り立つ一般的事実である。

自明表現と符号表現

分割 $(n)$ は自明表現に対応する。すべての置換を $1$ に写す。

分割 $(1,1,\dots ,1)$ は符号表現に対応する。$\sigma$ を $\mathrm{sgn}(\sigma )$ に写す。

標準表現

$S_n$ は ${\mathbb{C}}^n$ に置換行列として作用する。これは $(n)$ に対応する自明表現と $(n-1,1)$ に対応する $(n-1)$ 次元既約表現の直和に分解される。

指標表

$S_n$ の指標表は、行が既約表現（分割）、列が共役類（分割）の表である。

$S_3$ の指標表は次のようになる。