置換の符号と交代群

置換の符号は置換を偶置換と奇置換に分類する。交代群は偶置換全体からなる群であり、対称群の重要な正規部分群である。

互換

2つの元のみを交換する置換を互換（transposition）という。 $(i j)$ は $i$ と $j$ を交換し、他の元は固定する。

任意の置換は互換の積として表せる。ただし表し方は一意ではない。

互換への分解

置換 $σ$ を互換の積に分解するとき、必要な互換の個数の偶奇は分解の仕方によらない。これが符号の well-defined 性を保証する。

巡回置換 $(a_{1} a_{2} \dots a_{k})$ は $k - 1$ 個の互換の積に分解される。

$(a_{1} a_{2} \dots a_{k}) = (a_{1} a_{k}) (a_{1} a_{k - 1}) \dots (a_{1} a_{2})$

置換の符号

置換 $σ \in S_{n}$ の符号（sign） $sgn (σ)$ は次で定義される。

$sgn (σ) = (- 1)^{(σ を互換の積に分解したときの互換の個数)}$

$sgn (σ) = 1$ のとき $σ$ を偶置換、 $sgn (σ) = - 1$ のとき $σ$ を奇置換という。

符号の乗法性

$sgn : S_{n} \to {1, - 1}$ は群準同型である。

$sgn (σ τ) = sgn (σ) \cdot sgn (τ)$

符号の別定義

$σ \in S_{n}$ に対して、

$sgn (σ) = i < j \prod \frac{σ ( j ) - σ ( i )}{j - i}$

と定義することもできる。この積は $1$ または $- 1$ の値を取る。

巡回置換の符号

$k$ -巡回置換の符号は $(- 1)^{k - 1}$ である。

2-巡回（互換）は奇置換、3-巡回は偶置換、4-巡回は奇置換、などとなる。

交代群の定義

$n$ 次交代群 $A_{n}$ は偶置換全体からなる群である。

$A_{n} = ker (sgn) = {σ \in S_{n} : sgn (σ) = 1}$

$A_{n}$ は $S_{n}$ の正規部分群であり、 $∣ A_{n} ∣ = n! /2$ である。

交代群の生成元

$A_{n}$ は3-巡回置換で生成される。

偶置換は互換の偶数個の積であり、 $(a b) (c d) = (a b c) (b c d)$ （ $∣ {a, b, c, d} ∣ = 4$ の場合）などの関係から3-巡回で表せる。

$A_{3}$ と $A_{4}$

$A_{3} = {e, (123), (132)} ≅ Z /3 Z$ は位数3の巡回群である。

$A_{4}$ は位数12で、 $V_{4} = {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$ を正規部分群として含む。 $A_{4}$ は位数6の部分群を持たない。

商群

$S_{n} / A_{n} ≅ {1, - 1} ≅ Z /2 Z$ である。

$S_{n}$ は $A_{n}$ と任意の奇置換 $τ$ による剰余類 $τ A_{n}$ に分かれる。

行列式との関係

行列式の定義 $det (A) = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i, σ (i)}$ に符号が現れる。

置換行列 $P_{σ}$ （ $σ$ に対応する行の並べ替え）の行列式は $det (P_{σ}) = sgn (σ)$ である。