軌道の長さは群の位数を割る（軌道・安定化群定理とその応用）

群 $G$ が集合 $X$ に作用するとき、点 $x$ の軌道の長さと、 $x$ を動かさない元のなす部分群の指数が等しくなります^[1]。

$∣ G \cdot x ∣ = [G : G_{x}]$

これだけで、立方体の回転が 24 通りであることも、二項係数の公式も、Cauchy の定理も出ます。

作用とは何か

$G$ が $X$ に作用するとは、写像 $G \times X \to X$ があって次の 2 つを満たすことです^[1]。

$e \cdot x = x, g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x$

これは準同型 $G \to Sym (X)$ を与えることと同じです^[1]。 $g$ を固定して $π_{g} (x) = g \cdot x$ と置くと、1 つ目の条件が $π_{e} = id$ を、2 つ目が $π_{g} \circ π_{h} = π_{g h}$ を言う。 $π_{g^{- 1}}$ が逆写像になるので $π_{g}$ は置換です。

逆に準同型 $f : G \to Sym (X)$ があれば $g \cdot x = f (g) (x)$ で作用が定まる。作用と置換表現は同じものの 2 つの書き方です。

軌道と安定化群

$x \in X$ に対し、軌道と安定化群を次で定めます^[2]。

$G \cdot x = {g \cdot x : g \in G}, G_{x} = {g \in G : g \cdot x = x}$

軌道は $X$ を分割します^[2]。2 つの軌道が共通の元 $z$ を持つとします。 $z = g_{1} \cdot x = g_{2} \cdot y$ と書くと、 $x = g_{1}^{- 1} g_{2} \cdot y$ なので $x \in G \cdot y$ 。すると $G \cdot x$ の任意の元 $g \cdot x = g g_{1}^{- 1} g_{2} \cdot y$ も $G \cdot y$ に入り、 $G \cdot x \subseteq G \cdot y$ です。 $x$ と $y$ を入れ替えれば逆向きも出るので、2 つの軌道は一致します。

安定化群は部分群です。 $e \cdot x = x$ から $e \in G_{x}$ 。 $g, h \in G_{x}$ なら $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x) = g \cdot x = x$ 。 $g \in G_{x}$ なら $g^{- 1} \cdot x = g^{- 1} \cdot (g \cdot x) = x$ です。

定理と証明

写像 $φ : G / G_{x} \to G \cdot x$ を $φ (g G_{x}) = g \cdot x$ で定めます^[2]。

まず well-defined であることを見ます。 $g_{1} G_{x} = g_{2} G_{x}$ とすると $g_{1} = g_{2} h$ 、 $h \in G_{x}$ と書ける。すると $g_{1} \cdot x = (g_{2} h) \cdot x = g_{2} \cdot (h \cdot x) = g_{2} \cdot x$ です。

単射を見ます。 $g_{1} \cdot x = g_{2} \cdot x$ とすると、両辺に $g_{2}^{- 1}$ を作用させて $(g_{2}^{- 1} g_{1}) \cdot x = x$ 。よって $g_{2}^{- 1} g_{1} \in G_{x}$ で、 $g_{1} G_{x} = g_{2} G_{x}$ になります。

全射は軌道の定義そのものです。

全単射なので $∣ G \cdot x ∣ = [G : G_{x}]$ 。 $G$ が有限なら Lagrange の定理と合わせて次が出ます^[1]。

$∣ G ∣ = ∣ G \cdot x ∣ \cdot ∣ G_{x} ∣$

軌道の長さは必ず $∣ G ∣$ を割る。作用のしかたによらず成り立ちます。

同じ軌道の点は、共役な安定化群を持ちます^[1]。 $y = g \cdot x$ とすると $G_{y} = g G_{x} g^{- 1}$ です。実際 $h \in G_{x}$ なら $(g h g^{- 1}) \cdot y = g h \cdot x = g \cdot x = y$ で、逆向きも同様に出ます。

立方体の回転は 24 通り

立方体の回転群 $G$ を、6 つの面の集合に作用させます。

どの面もどの面へ移せるので作用は可移で、軌道は 6 点全部です。1 つの面 $F$ を固定する回転は、その面を通る軸のまわりの $0, 90, 180, 270$ 度の 4 つ。つまり $∣ G_{F} ∣ = 4$ 。

$∣ G ∣ = ∣ G \cdot F ∣ \cdot ∣ G_{F} ∣ = 6 \times 4 = 24$

回転をひとつも書き下さずに個数が出ました。頂点で数えても同じです。頂点は 8 個、1 つの頂点を固定する回転は対角線のまわりの 3 つで、 $8 \times 3 = 24$ 。辺なら $12 \times 2 = 24$ です。

二項係数が出てくる

$S_{n}$ を ${1, \dots, n}$ の $k$ 元部分集合の全体に作用させます^[1]。

作用は可移なので、軌道は $k$ 元部分集合の全体です。 ${1, \dots, k}$ の安定化群は、この集合を保つ置換の全体。つまり前半と後半をそれぞれ勝手に混ぜる置換で、 $S_{k} \times S_{n - k}$ と同型です。

$(k n) = [S_{n} : S_{k} \times S_{n - k}] = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

階乗の公式が、軌道と安定化群の勘定から出ました^[1]。

積の個数

部分群 $H, K \leq G$ について、集合 $H K = {hk}$ の大きさを数えます^[1]。

$H \times K$ を $G$ に $(h, k) \cdot g = h g k^{- 1}$ で作用させます。単位元 $e$ の軌道は ${h k^{- 1}} = H K$ です。

安定化群は $h e k^{- 1} = e$ 、つまり $h = k$ となる組で、 ${(h, h) : h \in H \cap K}$ 。大きさは $∣ H \cap K ∣$ です。

$∣ H K ∣ = \frac{∣ H ∣ ∣ K ∣}{∣ H \cap K ∣}$

$H K$ が部分群かどうかは問わずに、個数だけが決まります。

共役で作用させる

$G$ を自分自身に $g \cdot x = g x g^{- 1}$ で作用させます。軌道が共役類、安定化群が中心化群 $C_{G} (x)$ です^[1]。

$∣ Cl (x) ∣ = [G : C_{G} (x)]$

共役類の大きさは必ず $∣ G ∣$ を割ります。軌道が $X$ を分割することから、 $G$ は共役類の直和に分かれる。

1 点だけの軌道は $x$ が全部の元と可換な場合、つまり $x \in Z (G)$ のときです。中心の元を別に数えると類等式になります。

$∣ G ∣ = ∣ Z (G) ∣ + i \sum [G : C_{G} (x_{i})]$

和は、大きさが $2$ 以上の共役類の代表についてとります。

$p$ 群の中心は自明でない

位数が素数 $p$ のべきの群を $p$ 群といいます。 $p$ 群が有限集合 $X$ に作用すると、次が成り立ちます^[1]。

$∣ X ∣ \equiv ∣ {固定点} ∣ (mod p)$

証明は軌道の分割からです。各軌道の長さは $∣ G ∣$ を割るので $p$ のべき。長さが $1$ でなければ $p$ で割り切れます。 $∣ X ∣$ を軌道の長さの和として書き、 $p$ の倍数を落とすと、長さ $1$ の軌道の個数だけが残る。長さ $1$ の軌道の点が固定点です。

これを共役作用に当てはめます。 $G$ を自分自身に共役で作用させると、固定点の集合が $Z (G)$ です。

$∣ G ∣ \equiv ∣ Z (G) ∣ (mod p)$

$∣ G ∣$ は $p$ のべきなので左辺は $p$ で割り切れ、 $∣ Z (G) ∣$ も $p$ で割り切れます。 $e \in Z (G)$ から $∣ Z (G) ∣ \geq 1$ なので、 $∣ Z (G) ∣ \geq p$ ^[1]。

自明でない $p$ 群の中心には、単位元以外の元が必ずいる。これが $p$ 群の扱いやすさの根にあります。

Cauchy の定理

$∣ G ∣$ が素数 $p$ で割り切れるなら、 $G$ には位数 $p$ の元があります^[1]。McKay による証明を追います。

解きたいのは $g^{p} = e$ ですが、いきなりは扱えません。そこで方程式をゆるめます。

$X = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in G^{p} : g_{1} g_{2} \dots g_{p} = e}$

$g_{1}, \dots, g_{p - 1}$ を自由に選ぶと $g_{p}$ は逆元として決まるので、 $∣ X ∣ = ∣ G ∣^{p - 1}$ です。

$X$ には巡回シフトが働きます。 $(g_{1}, \dots, g_{p}) \in X$ なら $g_{1} = (g_{2} \dots g_{p})^{- 1}$ で、元は自分の逆元と可換だから $g_{2} \dots g_{p} g_{1} = e$ 。シフトした組も $X$ に入ります。

これで $Z / p Z$ が $X$ に作用します。 $p$ 群の作用なので固定点合同式が使える。

$∣ G ∣^{p - 1} \equiv ∣ {固定点} ∣ (mod p)$

シフトで動かない組は、全部の成分が等しいものです。共通の値を $g$ と書くと、条件は $g^{p} = e$ 。

左辺は $p ∣ ∣ G ∣$ から $0$ です。だから $g^{p} = e$ となる $g$ の個数が $p$ の倍数になる。 $g = e$ が 1 つあるので、個数は $1$ ではなく $p$ 以上。 $e$ 以外の解が存在します^[1]。

その $g$ は $g^{p} = e$ かつ $g \neq = e$ で、 $p$ が素数だから位数はちょうど $p$ です。

ゆるめた方程式の解は数えやすく、もとの方程式の解が固定点として現れる。

直接数えられないものを、数えられるものの固定点に置き換える。作用の使い方の型のひとつ。

Sylow 部分群の個数

同じ合同式で、Sylow $p$ 部分群の個数 $n_{p}$ も決まります。

$P$ を Sylow $p$ 部分群とし、Sylow $p$ 部分群の全体に $P$ が共役で作用するとします。固定点は $P$ で正規化される Sylow 部分群 $Q$ 、つまり $P \leq N_{G} (Q)$ となるものです。

このとき $P$ と $Q$ はどちらも $N_{G} (Q)$ の Sylow $p$ 部分群です。 $Q$ は $N_{G} (Q)$ の正規部分群なので、 $N_{G} (Q)$ の Sylow $p$ 部分群は $Q$ ひとつだけ。よって $P = Q$ になります。

固定点はちょうど 1 個。合同式から $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ が出ます。

軌道の個数を数える

軌道の長さは $∣ G ∣$ を割りますが、軌道の個数は割りません^[1]。代わりに平均の形で書けます。

$G$ が有限集合 $X$ に作用し、軌道が $r$ 個あるとします。 $Fix (g) = {x \in X : g \cdot x = x}$ と置くと^[1]、

$r = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum ∣ Fix (g) ∣$

軌道の個数は、各元が止める点の個数の平均です^[3]。

証明は ${(g, x) : g \cdot x = x}$ を 2 通りに数えるだけ。 $g$ から先に数えれば $\sum_{g} ∣ Fix (g) ∣$ 、 $x$ から先に数えれば $\sum_{x} ∣ G_{x} ∣$ になります。

$g \in G \sum ∣ Fix (g) ∣ = x \in X \sum ∣ G_{x} ∣ = x \in X \sum \frac{∣ G ∣}{∣ G \cdot x ∣}$

最後は軌道・安定化群定理です。両辺を $∣ G ∣$ で割ると、右辺は $\sum_{x} 1/∣ G \cdot x ∣$ になる。長さ $n$ の軌道の中の点は $1/ n$ を $n$ 個ぶん出すので、軌道ごとの寄与が $1$ です。合計は軌道の個数になります^[1]。

この式は Burnside の補題と呼ばれますが、Burnside のものではありません^[1]。自著に載せる際、彼は Frobenius に帰しています。

立方体を 2 色で塗る

面を 2 色で塗り、回転で移り合うものを同じと見なして数えます。回転群 24 元の内訳はこうです。

恒等変換が 1 つ。

面の中心を通る軸のまわりの 90 度と 270 度が 6 つ。

同じ軸のまわりの 180 度が 3 つ。

対角線のまわりの 120 度と 240 度が 8 つ。

向かい合う辺の中点を通る軸のまわりの 180 度が 6 つ。

塗り方が固定されるのは、同じ巡回に入る面が同じ色のときです。面の置換の巡回の個数を数えて $2$ のべきにすればよい。

恒等変換は 6 個の巡回で $2^{6} = 64$ 。90 度の回転は 2 面が固定され残り 4 面が 1 つの巡回になるので $2^{3} = 8$ 。180 度は $2 + 2 + 2$ の形で $2^{4} = 16$ 。対角線のまわりは 3 面ずつの巡回が 2 つで $2^{2} = 4$ 。辺のまわりは 2 面ずつが 3 組で $2^{3} = 8$ です。

$r = \frac{1}{24} (64 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 16 + 8 \cdot 4 + 6 \cdot 8) = \frac{240}{24} = 10$

10 通りです。全部で $2^{6} = 64$ 通りの塗り方が、回転で 10 組にまとまります。

同じ計算をビーズ 6 個の輪でやると、 $g cd$ が出てきます。 $k$ 個ぶん回す置換の巡回の個数は $g cd (k, 6)$ なので、固定される塗り方は $2^{g c d (k, 6)}$ 通り。

$r = \frac{1}{6} (2^{6} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1}) = \frac{84}{6} = 14$

14 通りになります。数え上げの問題が、軌道の個数を求める問題に置き換わりました。

軌道の長さ

必ず群の位数を割る。安定化群の指数そのもの

軌道の個数

位数を割るとは限らない。固定点の個数の平均として出す

何がうれしいのか

軌道・安定化群定理が言っているのは、 $G$ を $G_{x}$ の左剰余類に切り分けると、その切れ目が軌道の点とぴったり対応する、ということです。

数えたいものが軌道として現れる形に持ち込めば、掛け算と割り算の関係だけで個数が決まります。二項係数も $∣ H K ∣$ も共役類の大きさも、同じ 1 つの全単射から出ました。

固定点を経由する使い方はもう一段先です。数えたいものを直接扱わず、大きくて数えやすい集合の固定点として捉える。Cauchy の定理と Sylow 部分群の個数は、どちらもこの型でした。

位数 $60$ の群 $G$ が集合 $X$ に作用し、ある点 $x$ の軌道の長さが $12$ でした。 $x$ の安定化群 $G_{x}$ の位数はいくつですか。

$12$
$5$
$48$

__RESULT__

軌道・安定化群定理から $∣ G ∣ = ∣ G \cdot x ∣ \cdot ∣ G_{x} ∣$ なので、 $60 = 12 \cdot ∣ G_{x} ∣$ となり $∣ G_{x} ∣ = 5$ です。軌道の長さ $12$ が $60$ を割っていることも、この定理の帰結にあたります。

作用を 1 つ選ぶことは、数えたい対象を軌道として置き直すことです。置き方が決まれば、あとは割り算が答えを出す。定理そのものは全単射 1 本ぶんの内容しかありません。

参考

Keith Conrad, *Group Actions*, University of Connecticut

Philippe Caldero, *Groupes et Actions de groupes*, Université Claude Bernard Lyon 1

Jason Starr, *Burnside's Lemma and Other Supplementary Topics*, MAT 312, Stony Brook University

群 $G$ が集合 $X$ に作用するとき、点 $x$ の軌道の長さは安定化群の指数に等しくなります。証明は $gG_x$ に $g \cdot x$ を対応させる全単射 1 本ぶん。それだけで立方体の回転が 24 通りだと分かり、二項係数の階乗表示が出て、$|HK|$ が $|H||K|$ を $|H \cap K|$ で割った値になります。共役で作用させれば類等式、$p$ 群なら固定点合同式から中心が自明でないこと、巡回シフトから Cauchy の定理、Sylow 部分群の個数が $p$ で割って 1 余ること。軌道の個数を固定点の平均で数える Burnside の補題と、立方体の塗り分けが 10 通りになる計算まで。