Stokesの定理は微分形式の積分と外微分を結びつける基本定理です。Green の定理、発散定理、古典的な Stokes の定理をすべて統一し、de Rham 理論の基礎となります。
定理の主張
を向き付け可能な 次元コンパクト多様体で境界 を持つとする。 を 上の -形式とするとき、
が成り立つ。ここで には から誘導される向きを入れる。
境界の向き
の向きから の向きを定める規約が必要です。
で、 の外向き法ベクトルを 、 の基底を とするとき、 が の正の向きならば を の正の向きとします。
1次元の場合：微分積分学の基本定理
, (0-形式、すなわち関数) のとき、
（向き付きで）です。これは微分積分学の基本定理そのものです。
2次元の場合：Greenの定理
を境界付き領域、 とすると、
Stokesの定理は
となり、Greenの定理が得られます。
3次元の場合：古典的Stokesの定理
を 内の曲面、 とすると、
回転の面積分と線積分を結びつける古典的な Stokes の定理です。
3次元の場合：発散定理
を 内の領域、 とすると、
Stokesの定理から発散定理（Gaussの定理）
が得られます。
証明の概略
証明は局所的な計算と1の分割を組み合わせます。
が の上半空間 の有界領域の場合に証明し、一般の多様体は座標近傍への分割と1の分割で処理します。
局所的な証明
上のコンパクト台を持つ -形式 を考えます。 と書けます。
各項について、Fubini の定理と1変数の微分積分学の基本定理を適用すると、 が得られます。
境界がない場合
（閉多様体）のとき、 です。
閉形式の積分が境界のない多様体上で消えることを意味し、de Rham 理論で重要です。
特異鎖への一般化
滑らかな特異鎖 に対しても Stokes の定理が成り立ちます。
ここで は特異鎖の境界（交代和で定義）です。これが de Rham 同型の well-defined 性を保証します。
de Rham理論との関係
Stokes の定理から、閉形式のサイクル上の積分は境界を加えても変わりません。
が閉形式（）で ならば、
コホモロジーとホモロジーのペアリング
Stokes の定理により、積分は
という well-defined なペアリングを与えます。de Rham の定理はこれが非退化であることを主張します。
物理学への応用
Stokes の定理は物理学で広く使われます。
一般化：境界付き多様体の鎖
より一般に、境界付き多様体上の特異鎖に対しても Stokes の定理が定式化できます。相対 de Rham コホモロジーと相対ホモロジーの理論に発展します。
Green、Stokes、Gauss の各定理。特定の次元と座標系に依存。
任意の次元の多様体と微分形式。座標系に依存しない定式化。de Rham 理論の基礎。
