Stokesの定理と微分形式

Stokesの定理は微分形式の積分と外微分を結びつける基本定理です。Green の定理、発散定理、古典的な Stokes の定理をすべて統一し、de Rham 理論の基礎となります。

定理の主張

$M$ を向き付け可能な $n$ 次元コンパクト多様体で境界 $\partial M$ を持つとする。 $ω$ を $M$ 上の $(n - 1)$ -形式とするとき、

$\int_{M} d ω = \int_{\partial M} ω$

が成り立つ。ここで $\partial M$ には $M$ から誘導される向きを入れる。

境界の向き

$M$ の向きから $\partial M$ の向きを定める規約が必要です。

$p \in \partial M$ で、 $M$ の外向き法ベクトルを $ν$ 、 $\partial M$ の基底を $(e_{1}, \dots, e_{n - 1})$ とするとき、 $(ν, e_{1}, \dots, e_{n - 1})$ が $M$ の正の向きならば $(e_{1}, \dots, e_{n - 1})$ を $\partial M$ の正の向きとします。

1次元の場合：微分積分学の基本定理

$M = [a, b]$ , $ω = f$ (0-形式、すなわち関数) のとき、

$\int_{[a, b]} df = \int_{{a, b}} f = f (b) - f (a)$

$\partial [a, b] = {b} - {a}$ （向き付きで）です。これは微分積分学の基本定理そのものです。

2次元の場合：Greenの定理

$M \subset R^{2}$ を境界付き領域、 $ω = P d x + Q d y$ とすると、

$d ω = (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x \land d y$

Stokesの定理は

$\iint_{M} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{\partial M} P d x + Q d y$

となり、Greenの定理が得られます。

3次元の場合：古典的Stokesの定理

$M$ を $R^{3}$ 内の曲面、 $ω = F_{1} d x + F_{2} d y + F_{3} d z$ とすると、

$\int_{M} d ω = \int_{M} (\nabla \times F) \cdot d S = \oint_{\partial M} F \cdot d r$

回転の面積分と線積分を結びつける古典的な Stokes の定理です。

3次元の場合：発散定理

$M$ を $R^{3}$ 内の領域、 $ω = F_{1} d y \land d z + F_{2} d z \land d x + F_{3} d x \land d y$ とすると、

$d ω = (\frac{\partial F _{1}}{\partial x} + \frac{\partial F _{2}}{\partial y} + \frac{\partial F _{3}}{\partial z}) d x \land d y \land d z$

Stokesの定理から発散定理（Gaussの定理）

$∭_{M} \nabla \cdot F d V = \iint_{\partial M} F \cdot d S$

が得られます。

証明の概略

証明は局所的な計算と1の分割を組み合わせます。

$M$ が $R^{n}$ の上半空間 $H^{n} = {x_{n} \geq 0}$ の有界領域の場合に証明し、一般の多様体は座標近傍への分割と1の分割で処理します。

局所的な証明

$H^{n}$ 上のコンパクト台を持つ $(n - 1)$ -形式 $ω$ を考えます。 $ω = \sum_{i} f_{i} d x_{1} \land \dots \land d x_{i} \land \dots \land d x_{n}$ と書けます。

各項について、Fubini の定理と1変数の微分積分学の基本定理を適用すると、 $\int_{H^{n}} d ω = \int_{\partial H^{n}} ω$ が得られます。

境界がない場合

$\partial M = \emptyset$ （閉多様体）のとき、 $\int_{M} d ω = 0$ です。

閉形式の積分が境界のない多様体上で消えることを意味し、de Rham 理論で重要です。

特異鎖への一般化

滑らかな特異鎖 $σ : Δ^{n} \to M$ に対しても Stokes の定理が成り立ちます。

$\int_{σ} d ω = \int_{\partial σ} ω$

ここで $\partial σ$ は特異鎖の境界（交代和で定義）です。これが de Rham 同型の well-defined 性を保証します。

de Rham理論との関係

Stokes の定理から、閉形式のサイクル上の積分は境界を加えても変わりません。

$ω$ が閉形式（ $d ω = 0$ ）で $σ^{'} = σ + \partial τ$ ならば、

$\int_{σ^{'}} ω = \int_{σ} ω + \int_{\partial τ} ω = \int_{σ} ω + \int_{τ} d ω = \int_{σ} ω$

コホモロジーとホモロジーのペアリング

Stokes の定理により、積分は

$H_{dR}^{k} (M) \times H_{k} (M) \to R, ([ω], [σ]) \mapsto \int_{σ} ω$

という well-defined なペアリングを与えます。de Rham の定理はこれが非退化であることを主張します。

物理学への応用

Stokes の定理は物理学で広く使われます。

電磁気学：Maxwell 方程式の積分形と微分形の同値性

流体力学：循環と渦度の関係

熱力学：状態量の経路独立性

ゲージ理論：ゲージ不変量の構成

一般化：境界付き多様体の鎖

より一般に、境界付き多様体上の特異鎖に対しても Stokes の定理が定式化できます。相対 de Rham コホモロジーと相対ホモロジーの理論に発展します。

古典的な積分定理

Green、Stokes、Gauss の各定理。特定の次元と座標系に依存。

一般化された Stokes の定理

任意の次元の多様体と微分形式。座標系に依存しない定式化。de Rham 理論の基礎。