群の直積は2つの群から新しい群を構成する基本的な操作である。半直積はより一般的な構成であり、非可換な群を組み立てる方法を提供する。
直積の定義
群 と の直積（direct product） は、集合としての直積に成分ごとの演算を入れたものである。
単位元は 、 の逆元は である。
直積の位数
である。
は位数6の群である。
直積の部分群
と は の正規部分群である。
が成り立つ。
直積の特徴づけ
が , を部分群として持ち、 かつ ならば、 である。
このとき は と の内部直積であるという。
直積の例
である（中国剰余定理）。
Klein の四元群 （, ）は と同型である。
半直積の動機
直積では2つの成分が独立に動く。半直積では一方の成分が他方に「作用」しながら動く。
は と の半直積として理解できる。 は非可換だが、直積 は可換である。
半直積の定義
と を群、 を準同型とする。 と の に関する半直積（semidirect product） は、集合 に演算
を入れた群である。
半直積の構造
において、 は正規部分群、 は部分群（一般に正規でない）となる。
が自明（すべての で ）ならば、半直積は直積に一致する。
半直積の例：二面体群
二面体群 （正 角形の対称群）は と同型である。
は で定義される。回転群 に反射が作用する。
半直積の例：
である。
が正規部分群、 が補部分群となる。
半直積の認識
群 が , を持ち、 かつ ならば、 である。
直積との違いは が正規とは限らない点である。
アフィン群
はアフィン変換群である。 は という変換を表す。並進と線型変換の半直積である。
