群の直積と半直積

群の直積は2つの群から新しい群を構成する基本的な操作である。半直積はより一般的な構成であり、非可換な群を組み立てる方法を提供する。

直積の定義

群 $G$ と $H$ の直積（direct product） $G \times H$ は、集合としての直積に成分ごとの演算を入れたものである。

$(g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2})$

単位元は $(e_{G}, e_{H})$ 、 $(g, h)$ の逆元は $(g^{- 1}, h^{- 1})$ である。

直積の位数

$∣ G \times H ∣ = ∣ G ∣ \cdot ∣ H ∣$ である。

$Z /2 Z \times Z /3 Z$ は位数6の群である。

直積の部分群

$G \times {e_{H}} ≅ G$ と ${e_{G}} \times H ≅ H$ は $G \times H$ の正規部分群である。

$(G \times H) / (G \times {e_{H}}) ≅ H$ が成り立つ。

直積の特徴づけ

$G$ が $N ⊴ G$ , $H ⊴ G$ を部分群として持ち、 $N \cap H = {e}$ かつ $N H = G$ ならば、 $G ≅ N \times H$ である。

このとき $G$ は $N$ と $H$ の内部直積であるという。

直積の例

$Z /6 Z ≅ Z /2 Z \times Z /3 Z$ である（中国剰余定理）。

Klein の四元群 $V_{4} = {e, a, b, ab}$ （ $a^{2} = b^{2} = e$ , $ab = ba$ ）は $Z /2 Z \times Z /2 Z$ と同型である。

半直積の動機

直積では2つの成分が独立に動く。半直積では一方の成分が他方に「作用」しながら動く。

$S_{3}$ は $Z /3 Z$ と $Z /2 Z$ の半直積として理解できる。 $S_{3}$ は非可換だが、直積 $Z /3 Z \times Z /2 Z ≅ Z /6 Z$ は可換である。

半直積の定義

$N$ と $H$ を群、 $φ : H \to Aut (N)$ を準同型とする。 $N$ と $H$ の $φ$ に関する半直積（semidirect product） $N ⋊_{φ} H$ は、集合 $N \times H$ に演算

$(n_{1}, h_{1}) (n_{2}, h_{2}) = (n_{1} φ (h_{1}) (n_{2}), h_{1} h_{2})$

を入れた群である。

半直積の構造

$N ⋊_{φ} H$ において、 $N \times {e_{H}} ≅ N$ は正規部分群、 ${e_{N}} \times H ≅ H$ は部分群（一般に正規でない）となる。

$φ$ が自明（すべての $h$ で $φ (h) = id_{N}$ ）ならば、半直積は直積に一致する。

半直積の例：二面体群

二面体群 $D_{n}$ （正 $n$ 角形の対称群）は $Z / n Z ⋊ Z /2 Z$ と同型である。

$φ : Z /2 Z \to Aut (Z / n Z)$ は $φ (1) (k) = - k$ で定義される。回転群 $Z / n Z$ に反射が作用する。

半直積の例： $S_{3}$

$S_{3} ≅ Z /3 Z ⋊ Z /2 Z$ である。

$A_{3} = ⟨(123)⟩ ≅ Z /3 Z$ が正規部分群、 $⟨(12)⟩ ≅ Z /2 Z$ が補部分群となる。

半直積の認識

群 $G$ が $N ⊴ G$ , $H \leq G$ を持ち、 $N \cap H = {e}$ かつ $N H = G$ ならば、 $G ≅ N ⋊ H$ である。

直積との違いは $H$ が正規とは限らない点である。

アフィン群

$R^{n} ⋊ G L_{n} (R)$ はアフィン変換群である。 $(v, A)$ は $x \mapsto A x + v$ という変換を表す。並進と線型変換の半直積である。