Sylowの定理の応用（小さい位数の群の分類）

Sylow の定理を用いると、小さい位数の群を分類できる。位数が小さい場合は、Sylow 部分群の個数に関する制約から群の構造が絞り込まれる。

位数が素数の群

$∣ G ∣ = p$ （素数）ならば $G ≅ Z / p Z$ である。Lagrange の定理から部分群は ${e}$ と $G$ のみであり、 $e$ でない任意の元が $G$ を生成する。

$∣ G ∣ = p^{2}$ ならば $G$ は可換群であり、 $G ≅ Z / p^{2} Z$ または $G ≅ (Z / p Z)^{2}$ である。

類等式から $Z (G) \neq = {e}$ であり、 $∣ Z (G) ∣ = p$ または $p^{2}$ となる。 $∣ Z (G) ∣ = p$ ならば $G / Z (G)$ は位数 $p$ で巡回群だが、そのとき $G$ は可換となり矛盾。よって $Z (G) = G$ である。

$∣ G ∣ = pq$ （ $p < q$ は素数）とする。 $n_{q} ∣ p$ かつ $n_{q} \equiv 1 (mod q)$ より $n_{q} = 1$ である。Sylow $q$ -部分群 $Q$ は正規である。

$n_{p} ∣ q$ かつ $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ より $n_{p} = 1$ または $q$ である。 $n_{p} = q$ となるのは $q \equiv 1 (mod p)$ のときのみ。

p ∤ q - 1

の場合

$n_{p} = 1$ となり、 $G ≅ Z / pq Z$ である。例えば位数15の群は巡回群のみ。

p ∣ q - 1

の場合

$G ≅ Z / pq Z$ または非可換群。例えば位数6の群は $Z /6 Z$ と $S_{3}$ の2種類。

$∣ G ∣ = 6 = 2 \cdot 3$ である。 $n_{3} = 1$ なので Sylow 3-部分群は正規。 $n_{2} \in {1, 3}$ である。

$n_{2} = 1$ ならば $G ≅ Z /6 Z$ （可換）。 $n_{2} = 3$ ならば $G ≅ S_{3}$ （非可換）。

$∣ G ∣ = 8 = 2^{3}$ なので $G$ は2-群であり、 $Z (G) \neq = {e}$ である。

位数8の群は同型を除いて5種類ある。

Z /8 Z

（巡回群）

Z /4 Z \times Z /2 Z

(Z /2 Z)^{3}

D_{4}

（二面体群、位数4の正方形の対称群）

Q_{8}

（四元数群）

$∣ G ∣ = 12 = 2^{2} \cdot 3$ である。 $n_{3} \in {1, 4}$ , $n_{2} \in {1, 3}$ となる。

位数12の群は同型を除いて5種類ある。

Z /12 Z

Z /6 Z \times Z /2 Z

A_{4}

（交代群）

D_{6}

（正六角形の二面体群）

Z /3 Z ⋊ Z /4 Z

（

Z /4 Z

が

Z /3 Z

に非自明に作用）

非可換単純群で最小のものは $A_{5}$ （位数60）である。

$∣ G ∣ < 60$ で $G$ が非可換単純群となることはない。Sylow の定理を用いると、これらの位数の群は必ず非自明な正規部分群を持つことが示せる。

$∣ G ∣ = 36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ とする。 $n_{3} ∣4$ かつ $n_{3} \equiv 1 (mod 3)$ より $n_{3} \in {1, 4}$ である。

$n_{3} = 4$ と仮定すると、Sylow 3-部分群どうしの交わりを調べることで矛盾を導ける場合がある。このような議論で群の構造を絞り込む。

小さい位数の群を分類する手順は次の通りである。

Sylow の定理で

n_{p}

の候補を絞る

n_{p} = 1

ならば正規 Sylow 部分群が存在

複数の正規 Sylow 部分群があれば直積に分解

非正規の場合は半直積の可能性を調べる