懸垂は次元を上げ、ループ空間は次数を下げる

球面の次元を 1 つ上げる操作と、ホモトピー群の次数を 1 つ下げる操作。この 2 つが互いに向かい合っています。

前者が懸垂、後者がループ空間です^[1,2]。$[\Sigma Z,X]\cong [Z,\Omega X]$ という関係で結ばれ、随伴と呼ばれます。

以下では 2 つの構成を定義し、随伴が何を言っているかを確かめ、フロイデンタールの定理から安定ホモトピー論とスペクトラムまで進みます。

懸垂

$X$ を $X\times [0,1]$ に伸ばし、上下の面をそれぞれ 1 点に潰したものを懸垂 $SX$ といいます^[1]。

$$SX=(X\times [0,1])/(X\times \{0\},X\times \{1\})$$

2 つの錐を底で貼り合わせた形、とも読めます。$X$ と $S^0$ の結び $X\star S^0$ でもある。

簡約懸垂

基点付きで扱うときは、基点を通る線分も潰します。

$$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times I)$$

これが簡約懸垂です^[1]。$X$ と $S^1$ のスマッシュ積 $X\wedge S^1$ と同相。

CW 複体では、$SX$ と $\Sigma X$ はホモトピー同値です。ふつうは区別せずに使う。

例：球面の懸垂は球面

$S{S}^n\cong S^{n+1}$ が成り立ちます^[1]。

$S^n\times [0,1]$ で上下を潰すと、緯度が $0$ から $\pi$ まで動く $S^{n+1}$ の書き方そのもの。

$S^0$ は 2 点で、懸垂すると線分 2 本がつながって円周。ここから帰納的にすべての球面が出ます。

懸垂を動かして見る

円周を懸垂して球面ができる過程を描きます。

赤い円周が元の $S^1$ で、上下の黒い点が潰した先です。あいだの薄い円が、時刻ごとの断面。

$X$ をどんな空間にしても同じ構成が使えます。次元が 1 つ上がる。

ホモロジーが 1 つずれる

被約ホモロジーには、きれいな関係があります^[1]。

$${\tilde{H}}_k(\Sigma X)\cong {\tilde{H}}_{k-1}(X)$$

マイヤー・ヴィートリス列で、2 つの錐が可縮であることを使えば出ます。

${\tilde{H}}_0(S^0)=\mathbb{Z}$ から始めて、${\tilde{H}}_n(S^n)=\mathbb{Z}$ が帰納的に出ます。球面のホモロジーがこれで決まる。

ループ空間

基点を保つ写像 $S^1\to X$ の全体に、コンパクト開位相を入れたものがループ空間 $\Omega X$ です^[2]。

道の連結成分が ${\pi }_1(X)$。空間として見ているので、それより高い情報も持っています。

一般に ${\pi }_n(\Omega X)\cong {\pi }_{n+1}(X)$ が成り立ちます^[2]。次数が 1 つ下がる。

随伴

懸垂とループ空間は、互いに随伴になります。

$$[\Sigma Z,X]\cong [Z,\Omega X]$$

が基点付きホモトピー類の集合として成り立ちます^[1,2]。

$\Sigma$ が左随伴、$\Omega$ が右随伴。$Z=S^n$ をとれば ${\pi }_{n+1}(X)\cong {\pi }_n(\Omega X)$ が出ます。

道と輪の束

基点から出る道の空間 $PX$ をとると、終点を返す写像 $PX\to X$ がファイブレーションです^[2]。

繊維は基点に戻る道、つまり $\Omega X$。$PX$ は可縮なので、長完全列から ${\pi }_n(X)\cong {\pi }_{n-1}(\Omega X)$ が出ます。

随伴の関係を、束の言葉で言い直した形になっています。

ループ空間は H 空間

$\Omega X$ には、道をつなぐ積が入ります。単位元は定数ループ、逆元は逆にたどる道^[4]。

厳密な結合律は成り立ちませんが、ホモトピーの意味で成り立つ。こういう空間を H 空間といいます。

H 空間の基本群はいつも可換です^[4]。エックマン・ヒルトンの議論が効く。

例：H 空間になる球面

$S^0$、$S^1$、$S^3$、$S^7$ だけが H 空間です^[4]。

実数、複素数、四元数、八元数の単位元の全体。ホップ不変量 $1$ の写像が存在する次元と一致します。

$S^0$、$S^1$、$S^3$ は位相群ですが、$S^7$ は違います。八元数の積が結合的でないため。

フロイデンタールの定理

$X$ が $n$ 連結なら、懸垂写像 ${\pi }_k(X)\to {\pi }_{k+1}(\Sigma X)$ は $k\le 2n$ で同型、$k=2n+1$ で全射です^[3]。

球面に当てはめると、$S^n$ は $(n-1)$ 連結なので、${\pi }_{n+k}(S^n)$ が $n\ge k+2$ で安定します^[3]。

安定した先の値を、$k$ 次の安定ホモトピー群といいます。

安定域と不安定域

$k$ を固定して $n$ を上げていくと、あるところから値が動かなくなります。

不安定な部分は $n$ ごとに違い、計算が難しい。安定な部分は 1 つの群にまとまる^[3]。

安定ホモトピー論は、この安定した領域だけを扱う分野です。

安定するところを表で見る

$k$ を固定して $n$ を動かすと、あるところから値が止まります。

$k$ の段ごとに、右へ行くと値が止まります。止まった先が $k$ 次の安定ホモトピー群^[3]。

赤い左下だけが個別の計算を要します。安定域は 1 つの群にまとまるので、そこだけを扱う理論が作れる。

例：懸垂で次数が上がる様子

${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$ を懸垂すると ${\pi }_4(S^3)$ へ移ります。値は $\mathbb{Z}/2$。

$S^2$ は $1$ 連結なので、フロイデンタールの範囲は $k\le 2$。$k=3$ は範囲外なので、同型が崩れても矛盾しません^[3]。

もう一度懸垂すると ${\pi }_5(S^4)=\mathbb{Z}/2$ で、こちらは安定域に入ります。以降は変わりません。

スペクトラム

安定した情報だけを扱う対象がスペクトラムです^[5]。

空間の列 $\{E_n\}$ と、構造写像 $\Sigma E_n\to E_{n+1}$ の組。懸垂で次へつながる仕組みを、あらかじめ組み込んだ形。

ホモトピー群は極限で定めます。

$${\pi }_n(E)=\underset{k}{\underrightarrow{\lim }}{\pi }_{n+k}(E_k)$$

安定な値がそのまま定義になります^[5]。

懸垂スペクトラム

空間 $X$ から $E_n={\Sigma }^{n}X$ としてスペクトラムを作れます。懸垂スペクトラム ${\Sigma }^{\infty }X$。

$X=S^0$ のとき、球面スペクトラムができます。安定ホモトピー論のいちばん基本的な対象^[5]。

${\pi }_n({\Sigma }^{\infty }{S}^0)$ が、球面の安定ホモトピー群そのものになります。

$\Omega$ スペクトラム

構造写像の随伴 $E_n\to \Omega E_{n+1}$ が弱同値になるものを $\Omega$ スペクトラムといいます^[5]。

各段が次の段のループ空間になっている。K 理論のスペクトラムがこの形。

一般コホモロジー論はスペクトラムで表現されます。ブラウンの表現定理^[5]。

何を捨てているのか

懸垂を繰り返すと、不安定な情報が落ちます。落ちた先に残るのが安定な部分。

不安定なほうが情報は多いのですが、計算がほとんどできません。安定なほうは道具がそろっている^[3]。

扱える範囲まで情報を落として、その中で完全な理論を作る。安定ホモトピー論の設計はこの形になっています。

よくある誤り

参考文献