懸垂（suspension）とループ空間は互いに随伴の関係にある基本的な構成です。これらはホモトピー群の次元をシフトさせ、安定ホモトピー論の基礎となります。
懸垂の定義
位相空間 の懸垂（suspension） は、 の上端と下端をそれぞれ一点に潰した空間です。
直感的には、 を「コーン2つで挟んだ」空間です。
懸垂の例
です。-球面を懸垂すると -球面になります。
です。2点の懸垂は円周です。
より一般に、（ 回懸垂）と書けます。
懸垂とホモロジー
懸垂は被約ホモロジーを1次元シフトします。
これは Mayer-Vietoris 完全列から従います。（上下のコーン）で、 は可縮、 です。
懸垂とホモトピー群
懸垂準同型 が存在します。
に対して、 を対応させます。
Freudenthalの懸垂定理により、 のとき は同型です。
ループ空間の定義
位相空間 の基点付きループ空間 は、基点を保つループ全体の空間です。
コンパクト開位相を入れます。
ループ空間とホモトピー群
ループ空間はホモトピー群を1次元下げます。
のループは の2次元球面写像に対応するからです。
懸垂とループ空間の随伴性
懸垂とループ空間は随伴函手の関係にあります。
ここで は基点付きホモトピー類の集合です。 の写像と の写像が1対1に対応します。
H空間としてのループ空間
にはループの結合で積構造が入り、H空間（乗法を持つ空間）となります。
は群であり、 はアーベル群です。
安定ホモトピー論
を十分大きくすると、 は によらない値に安定します。この極限が安定ホモトピー群です。
懸垂が同型を与える範囲が「安定」の領域です。
スペクトラム
安定ホモトピー論では、空間の列 （）であるスペクトラムを考えます。
スペクトラムは一般コホモロジー理論を表現し、安定ホモトピー圏の対象となります。
懸垂
次元を上げる操作。。コーン2つで挟む。
ループ空間
次元を下げる操作。。基点付きループ全体。懸垂と随伴。
