つむじを消せない理由はどこに書いてあるのか？特性類から読む

球面の上に、どこでも $0$ にならない接ベクトル場は作れません。頭髪をつむじなく撫でつけられない、という言い方でも知られています。

作れない理由を数で書き下したものが特性類です^[3]。束のねじれ具合をコホモロジー類としてとり出し、$0$ でなければ「作れない」と結論する。

以下では特性類の定義から始め、実束のシュティーフェル・ホイットニー類、複素束のチャーン類、オイラー類を順に見て、それぞれが何の障害を測っているのかを扱います。

何を測る道具なのか

ベクトル束 $E\to X$ が自明であれば、大域的な枠がとれます。切断を $n$ 本、どこでも一次独立に選べる。

自明でなければ選べません。判定を直接やるのは難しいので、自明なら必ず $0$ になる量を作ります^[3]。

$0$ でなければ自明でない、と結論できる。逆は言えないところが、この道具の限界でもあります。

特性類の定義

各ベクトル束にコホモロジー類を対応させ、引き戻しと両立するものを特性類といいます。

$$c(f^{\ast }E)=f^{\ast }(c(E))$$

が任意の連続写像 $f$ で成り立つ、という条件^[3]。自然変換になっている。

同型な束には同じ類を返します。だから束の同型類の不変量。

分類空間から見る

階数 $n$ の実ベクトル束は、グラスマン多様体への写像で分類されます。普遍束の引き戻しとして書ける。

したがって特性類は、分類空間のコホモロジーの元と同じものです^[6]。$H^{\ast }(BO(n))$ の元を引き戻す。

分類する側の空間のコホモロジーを一度計算しておけば、あらゆる束に使い回せます。

シュティーフェル・ホイットニー類

実ベクトル束 $E$ に対し、$w_i(E)\in H^i(X;\mathbb{Z}/2)$ が定まります^[1]。

4 つの公理で一意に決まります。

係数が $\mathbb{Z}/2$ なので、向きの情報を持ちません。そのぶん、どんな実束にも定義できる。

$w_1$ は向き付けの障害

$w_1(E)=0$ であることと、$E$ が向き付け可能であることが同値です^[1]。

$H^1(X;\mathbb{Z}/2)=\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),\mathbb{Z}/2)$ なので、$w_1$ はループに $\pm 1$ を返す準同型と読めます。

一周して向きが裏返るループで $-1$ を返す。障害を 1 つの類に押し込んだ形。

例：メビウス束

$S^1$ の上の直線束を 2 つ考えます。自明な帯と、メビウスの帯。

メビウスの帯では、中心の円周を一周すると向きが裏返ります。$w_1\ne 0$^[1]。

自明な帯では $w_1=0$。$H^1(S^1;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ なので、直線束はこの 2 つで尽きます。

左の矢印は向きを保ちます。右は半回転して戻り、逆向きになる。

この違いが $w_1$ の値です。$\mathbb{Z}/2$ の 2 元が、そのまま 2 種類の束に対応している。

$w_2$ とスピン構造

向き付け可能な束が、さらにスピン構造を持つかどうかを $w_2$ が測ります^[1]。

$w_1=0$ かつ $w_2=0$ が、スピン構造を持つ条件。

物理でフェルミオンを載せるために要る条件が、この 2 つの類で書けます。

例：${\mathbb{RP}}^n$ の接束

${\mathbb{RP}}^n$ の接束について、全類は $(1+w{)}^{n+1}$ の形になります。$w$ は $H^1({\mathbb{RP}}^n;\mathbb{Z}/2)$ の生成元^[1]。

$n=2$ なら $(1+w{)}^3=1+3w+3w^2=1+w+w^2$（係数は $\mathbb{Z}/2$）。$w_1\ne 0$ なので向き付け不可能。

$n=3$ なら $(1+w{)}^4=1+w^4=1$ で、$w_1=0$。${\mathbb{RP}}^3$ が向き付け可能であることと合っています。

チャーン類

複素ベクトル束には、整数係数の類が定まります^[2]。$c_i(E)\in H^{2i}(X;\mathbb{Z})$。

公理はシュティーフェル・ホイットニー類と同じ形です。$c_0=1$、自然性、ホイットニー和、規格化。

次数が $2i$ と偶数になるところが違います。複素構造のぶん、奇数次が現れない。

$c_1$ は直線束を分類する

複素直線束では $c_1$ だけが残ります。しかもこれが完全な不変量^[2]。

$X$ 上の複素直線束の同型類と $H^2(X;\mathbb{Z})$ が 1 対 1 に対応します。

$H^2$ を計算すれば、直線束が何種類あるかが分かる。分類が完全に済む珍しい場合です。

例：${\mathbb{CP}}^1$ 上の直線束

$H^2({\mathbb{CP}}^1;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ なので、直線束は整数で分類されます。

恒真直線束 $\mathcal{O}(-1)$ が $c_1=-1$、その双対 $\mathcal{O}(1)$ が $c_1=1$^[2]。

接束は $\mathcal{O}(2)$ で $c_1=2$。積分すると $2$ になり、オイラー標数と一致します。

オイラー類

向き付けられた実ベクトル束には、オイラー類 $e(E)\in H^r(X;\mathbb{Z})$ が定まります^[4]。$r$ は階数。

最高次のシュティーフェル・ホイットニー類は、オイラー類を $\mathbb{Z}/2$ に落としたものです。向きを忘れた形。

$e(E)\ne 0$ なら、どこでも $0$ でない切断が存在しません^[4]。障害としてのいちばん直接的な形。

例：毛玉の定理

$S^{2n}$ の接束のオイラー類を基本類で評価すると、オイラー標数 $\chi (S^{2n})=2$ が出ます^[4]。

$0$ でないので、どこでも $0$ でない接ベクトル場が存在しません。

$S^{2n+1}$ では $\chi =0$ で、実際にベクトル場が作れます。$S^1$ や $S^3$ には零点のない場がある。

零点の指数を数える

球面上のベクトル場は、どう作っても零点を持ちます。指数を足すと必ず $2$ になる。

零点を近づけても、ぶつけても消えません。指数が打ち消し合わないため。

トーラスなら $\chi =0$ なので、零点のない場が作れます。オイラー類が $0$ になる^[4]。

例：階数と次数の対応を並べる

どの類がどこに住むかを表にします。

次数の上がり方が、それぞれの構造の細かさに対応しています。複素構造があると 2 つずつ、四元数的な事情が入ると 4 つずつ^[5]。

例：ホイットニー和で計算する

${\mathbb{RP}}^2$ の接束に自明な直線束を足すと、$3$ 本の恒真直線束の和になります。

全類は $(1+w{)}^3=1+w+w^2$ で、自明束の類は $1$。したがって接束の全類も $1+w+w^2$^[1]。

直接計算せずに、和の公式から答えが出ます。公理だけで計算が進む例。

ポアンカレ・ホップの定理

零点を持つベクトル場をとり、各零点の指数を足すとオイラー標数になります^[4]。

つむじを消せないだけでなく、つむじの「向き」を足した数まで決まっている、という主張。

オイラー類が言っているのは、この和が $0$ でないこと。個々の零点の位置は自由でも、総和は動きません。

ポントリャーギン類

実束を複素化してからチャーン類をとります^[5]。

$$p_k(E)=(-1{)}^k{c}_{2k}(E\otimes \mathbb{C})$$

次数は $4k$ です。実束に整数係数の類を入れる方法として使われます。

奇数番目のチャーン類は $2$ 捩れを除いて消えます。複素共役の対称性が効くため。

障害としての読み方

特性類の一般的な読み方は「切断を $k$ 本とる障害」です^[1,3]。

$w_i$ が消えないと、独立な切断を一定本数そろえられない。$e$ が消えないと、$0$ でない切断が 1 本もとれない。

作れるときは $0$ になり、作れないときは $0$ でない。作れるかどうかを直接調べる代わりに、計算できる量へ翻訳しています。

消えても自明とは限らない

障害が消えることと、束が自明であることは別です。

$w(E)=1$ でも自明でない実束があります。特性類は完全な不変量ではありません^[3]。

平坦な束では特性類が消えるので、より細かい二次特性類が要ります^[6]。

曲率からも作れる

滑らかな多様体では、接続の曲率から特性類を作れます。チャーン・ヴェイユの構成^[6]。

実係数までしか届かないので、$\mathbb{Z}/2$ 係数のシュティーフェル・ホイットニー類はこの方法では作れません。

位相的な定義と微分幾何的な定義が、実係数の範囲で一致する、という関係になっています。

よくある誤り

参考文献