特性類入門（Stiefel-Whitney類、Chern類）

特性類はベクトル束や主束の「ねじれ」を測るコホモロジー類です。Stiefel-Whitney類とChern類は最も基本的な特性類であり、多様体やベクトル束の分類に使われます。

特性類の基本的考え方

ベクトル束 $E\to B$ に対して、$E$ の位相的な性質を底空間 $B$ のコホモロジー類として表現したものが特性類です。

特性類は束の「ねじれ」や「障害」を検出します。自明束の特性類は自明です。

Stiefel-Whitney類

実ベクトル束 $E\to B$ に対して、Stiefel-Whitney類 $w_i(E)\in H^i(B;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ が定義されます。

$w_1$ と向き付け可能性

$w_1(E)=0$ であることと、$E$ が向き付け可能であることは同値です。

多様体 $M$ の接束 $TM$ に対して、$w_1(TM)=0\iff M$ が向き付け可能。

Stiefel-Whitneyの例

メビウスの帯（$S^1$ 上の1次元ベクトル束）は $w_1\ne 0$ であり、向き付け不可能です。

${\mathbb{RP}}^n$ の接束は $w(T{\mathbb{RP}}^n)=(1+a{)}^{n+1}$（$a$ は $H^1({\mathbb{RP}}^n;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の生成元）です。

Chern類

複素ベクトル束 $E\to B$ に対して、Chern類 $c_i(E)\in H^{2i}(B;\mathbb{Z})$ が定義されます。

第一Chern類

$c_1$ は複素直線束を完全に分類します。$H^2(B;\mathbb{Z})$ の元として、直線束と1対1に対応します。

$c_1$ は「磁束」や「位相電荷」と解釈でき、物理学で重要です。

Chern類の例

${\mathbb{CP}}^n$ の標準的直線束 $\mathcal{O}(-1)$ は $c_1=-h$（$h$ は $H^2({\mathbb{CP}}^n)$ の生成元）です。

${\mathbb{CP}}^n$ の接束は $c(T{\mathbb{CP}}^n)=(1+h{)}^{n+1}$ です。

Pontryagin類

実ベクトル束 $E$ に対して、複素化 $E\otimes \mathbb{C}$ のChern類から Pontryagin類 $p_i(E)\in H^{4i}(B;\mathbb{Z})$ が定義されます。

$p_i(E)=(-1{)}^i{c}_{2i}(E\otimes \mathbb{C})$

Euler類

向き付け可能な実 $n$ 次元ベクトル束 $E$ に対して、Euler類 $e(E)\in H^n(B;\mathbb{Z})$ が定義されます。

$e(E)=0$ は、$E$ が零でない切断を持つための必要条件です。$e(TM)=\chi (M)\cdot [M{]}^{\ast }$（Poincaré双対で）。

特性類の応用

特性類は多くの問題に応用されます。