特性類はベクトル束や主束の「ねじれ」を測るコホモロジー類です。Stiefel-Whitney類とChern類は最も基本的な特性類であり、多様体やベクトル束の分類に使われます。
特性類の基本的考え方
ベクトル束 に対して、 の位相的な性質を底空間 のコホモロジー類として表現したものが特性類です。
特性類は束の「ねじれ」や「障害」を検出します。自明束の特性類は自明です。
Stiefel-Whitney類
実ベクトル束 に対して、Stiefel-Whitney類 が定義されます。
（）
Whitney乗法公式：（）
自然性：束の引き戻しで特性類も引き戻される
と向き付け可能性
であることと、 が向き付け可能であることは同値です。
多様体 の接束 に対して、 が向き付け可能。
Stiefel-Whitneyの例
メビウスの帯（ 上の1次元ベクトル束）は であり、向き付け不可能です。
の接束は （ は の生成元）です。
Chern類
複素ベクトル束 に対して、Chern類 が定義されます。
（）
Whitney乗法公式：
自然性
第一Chern類
は複素直線束を完全に分類します。 の元として、直線束と1対1に対応します。
は「磁束」や「位相電荷」と解釈でき、物理学で重要です。
Chern類の例
の標準的直線束 は （ は の生成元）です。
の接束は です。
Pontryagin類
実ベクトル束 に対して、複素化 のChern類から Pontryagin類 が定義されます。
Euler類
向き付け可能な実 次元ベクトル束 に対して、Euler類 が定義されます。
は、 が零でない切断を持つための必要条件です。（Poincaré双対で）。
特性類の応用
特性類は多くの問題に応用されます。
多様体への浸入・埋め込みの障害
ベクトル場の零点の数（Poincaré-Hopf）
複素構造の存在問題
指数定理（Atiyah-Singer）
Stiefel-Whitney類
実ベクトル束。 係数。向き付け可能性を検出。
Chern類
複素ベクトル束。整数係数。複素幾何学の基本ツール。Euler類はChern類の実版。
