剰余類とLagrangeの定理

剰余類は群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。Lagrange の定理は有限群の部分群の位数に関する基本的な制約を与える。

左剰余類の定義

$H$ を群 $G$ の部分群とする。 $a \in G$ に対して、集合

$a H = {ah : h \in H}$

を $a$ を代表元とする $H$ の左剰余類（left coset）という。

同様に $H a = {ha : h \in H}$ を右剰余類という。一般に $a H \neq = H a$ であるが、 $H$ が正規部分群のときは一致する。

左剰余類について次が成り立つ。

a \in a H

（

e \in H

なので）

a H = b H \Leftrightarrow a^{- 1} b \in H \Leftrightarrow b \in a H

a H \neq = b H

ならば

a H \cap b H = \emptyset

∣ a H ∣ = ∣ H ∣

（写像

h \mapsto ah

が全単射）

$G$ は左剰余類の非交和として分割される。

$G = a \in R ⨆ a H$

ここで $R$ は各剰余類から1つずつ代表元を選んだ集合（完全代表系）である。

$H$ の $G$ における指数（index）とは、左剰余類の個数であり、 $[G : H]$ と書く。

$[G : H] = ∣ G / H ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ H ∣}$

最後の等式は $G$ が有限のとき成り立つ。

$G$ を有限群、 $H$ を $G$ の部分群とする。このとき $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ を割り切る。

$∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣$

証明は、 $G$ が $∣ H ∣$ 個の元を持つ剰余類 $[G : H]$ 個に分割されることから従う。

有限群 $G$ の元 $a$ の位数は $∣ G ∣$ を割り切る。 $⟨ a ⟩$ が部分群であり、 $ord (a) = ∣ ⟨ a ⟩ ∣$ だからである。

任意の $a \in G$ に対して $a^{∣ G ∣} = e$ が成り立つ。

$p$ を素数、 $a$ を $p$ で割り切れない整数とする。 $(Z / p Z)^{\times}$ は位数 $p - 1$ の群なので、

$a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

これは Lagrange の定理の直接の帰結である。

$g cd (a, n) = 1$ ならば $a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)$ である。 $(Z / n Z)^{\times}$ の位数が $φ (n)$ であることから従う。

$K \leq H \leq G$ ならば $[G : K] = [G : H] [H : K]$ が成り立つ。

有限群では $∣ G ∣/∣ K ∣ = (∣ G ∣/∣ H ∣) (∣ H ∣/∣ K ∣)$ から明らかだが、無限群でも成り立つ。

Lagrange の定理の逆は一般には成り立たない。 $∣ G ∣$ の約数 $d$ に対して、位数 $d$ の部分群が存在するとは限らない。

$A_{4}$ （位数12）は位数6の部分群を持たない。これは Lagrange の定理の逆が成り立たない最小の例である。

$∣ G ∣ = p$ （素数）ならば、 $G$ の部分群は ${e}$ と $G$ のみである。Lagrange の定理より、部分群の位数は $1$ か $p$ に限られるからである。

したがって素数位数の群は巡回群であり、単純群でもある。