剰余類は群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。Lagrange の定理は有限群の部分群の位数に関する基本的な制約を与える。
左剰余類の定義
を群 の部分群とする。 に対して、集合
を を代表元とする の左剰余類（left coset）という。
右剰余類
同様に を右剰余類という。一般に であるが、 が正規部分群のときは一致する。
剰余類の基本性質
左剰余類について次が成り立つ。
（ なので）
ならば
（写像 が全単射）
剰余類による分割
は左剰余類の非交和として分割される。
ここで は各剰余類から1つずつ代表元を選んだ集合（完全代表系）である。
指数
の における指数（index）とは、左剰余類の個数であり、 と書く。
最後の等式は が有限のとき成り立つ。
Lagrangeの定理
を有限群、 を の部分群とする。このとき は を割り切る。
証明は、 が 個の元を持つ剰余類 個に分割されることから従う。
Lagrangeの定理の系
有限群 の元 の位数は を割り切る。 が部分群であり、 だからである。
任意の に対して が成り立つ。
Fermatの小定理
を素数、 を で割り切れない整数とする。 は位数 の群なので、
これは Lagrange の定理の直接の帰結である。
Eulerの定理
ならば である。 の位数が であることから従う。
指数の乗法性
ならば が成り立つ。
有限群では から明らかだが、無限群でも成り立つ。
Lagrangeの定理の逆
Lagrange の定理の逆は一般には成り立たない。 の約数 に対して、位数 の部分群が存在するとは限らない。
（位数12）は位数6の部分群を持たない。これは Lagrange の定理の逆が成り立たない最小の例である。
素数位数の群
（素数）ならば、 の部分群は と のみである。Lagrange の定理より、部分群の位数は か に限られるからである。
したがって素数位数の群は巡回群であり、単純群でもある。
