剰余類とラグランジュの定理｜群を部分群で割る…とはどういうことか？

剰余類は、群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。部分群 $H$ を平行移動して得られる集合たちが、群 $G$ をぴったり同じ大きさの断片に切り分ける。

Lagrange の定理は、この分割を数えるだけで得られる。有限群では部分群の位数がつねに全体の位数を割り切る、という強い制約が、平行移動を眺めるだけで出てくる。

以下では剰余類を定義して分割の仕組みを確かめ、指数を導入し、定理と証明を与える。そのうえで Fermat・Euler の定理などの応用を並べ、定理の逆がどこまで成り立つのかまで追う。

左剰余類の定義

$H$ を群 $G$ の部分群とする。$a\in G$ に対して、集合

$$aH=\{ah:h\in H\}$$

を $a$ を代表元とする $H$ の左剰余類という。$H$ の全体を $a$ で左から平行移動したもの、と読める。

$aH$ は一般には部分群ではない。単位元 $e$ を含むのは $a\in H$ のときに限られ、そのときは $aH=H$ となる。剰余類のうち部分群であるのは、$H$ 自身ただ 1 つだ。

記号は演算の書き方に合わせる。加法で書かれた群なら $a+H=\{a+h:h\in H\}$ となり、こちらのほうが平行移動という直観に近い。

同値関係として見る

剰余類が $G$ をきれいに分けるのは偶然ではない。同値関係の同値類として捉えると、その理由がはっきりする。

$a,b\in G$ に対して、関係 $a\sim b$ を $a^{-1}b\in H$ で定める。$H$ が部分群であることから、これは同値関係になる。$e\in H$ から反射律、$h\in H$ なら $h^{-1}\in H$ から対称律、積で閉じることから推移律が出る。

この同値関係の同値類が、ちょうど左剰余類にあたる。$a$ の同値類は $\{b:a^{-1}b\in H\}$ で、これは $\{b:b\in aH\}=aH$ に等しい。集合が同値類に分割されるという一般論から、$G$ が剰余類に分割されることが直ちに従う。

剰余類の基本性質

分割を支える性質をまとめる。

4 番目が Lagrange の定理の要になる。写像 $h\mapsto ah$ は $a^{-1}$ を掛ければ元に戻せるので全単射で、どの剰余類も $H$ とちょうど同じ大きさをもつ。無限群でも濃度として等しい。

3 番目は 2 番目から出る。共通の元 $c\in aH\cap bH$ があれば $aH=cH=bH$ となるので、2 つの剰余類は交わるなら一致するほかない。

剰余類による分割

以上を合わせると、$G$ は左剰余類の非交和として分割される。

$$G=\underset{a\in R}{⨆}aH$$

ここで $R$ は各剰余類から 1 つずつ代表元を選んだ集合で、完全代表系と呼ばれる。

<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="群 G が同じ大きさの左剰余類 H, aH, bH, cH に分割される図。|G| は剰余類の個数と |H| の積になる。">
<rect x="0" y="0" width="400" height="210" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<rect x="30" y="50" width="85" height="110" fill="#cfe0fa"/>
<rect x="115" y="50" width="85" height="110" fill="#eaf1fd"/>
<rect x="200" y="50" width="85" height="110" fill="#eaf1fd"/>
<rect x="285" y="50" width="85" height="110" fill="#eaf1fd"/>
<g fill="#1b4fb8">
<circle cx="58" cy="86" r="3.4"/><circle cx="87" cy="86" r="3.4"/><circle cx="58" cy="108" r="3.4"/><circle cx="87" cy="108" r="3.4"/>
<circle cx="143" cy="86" r="3.4"/><circle cx="172" cy="86" r="3.4"/><circle cx="143" cy="108" r="3.4"/><circle cx="172" cy="108" r="3.4"/>
<circle cx="228" cy="86" r="3.4"/><circle cx="257" cy="86" r="3.4"/><circle cx="228" cy="108" r="3.4"/><circle cx="257" cy="108" r="3.4"/>
<circle cx="313" cy="86" r="3.4"/><circle cx="342" cy="86" r="3.4"/><circle cx="313" cy="108" r="3.4"/><circle cx="342" cy="108" r="3.4"/>
</g>
<g stroke="#1b4fb8" stroke-width="1.2">
<line x1="115" y1="50" x2="115" y2="160"/>
<line x1="200" y1="50" x2="200" y2="160"/>
<line x1="285" y1="50" x2="285" y2="160"/>
</g>
<rect x="30" y="50" width="340" height="110" fill="none" stroke="#1b4fb8" stroke-width="1.8" rx="4"/>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#1b3a8a">
<text x="200" y="38">G</text>
<text x="72" y="141">H</text>
<text x="157" y="141">aH</text>
<text x="242" y="141">bH</text>
<text x="327" y="141">cH</text>
</g>
<text x="200" y="192" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">|G| = [G : H] · |H|</text>
</svg>
</div>

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図がこの状況を表している。$G$ が同じ大きさの断片に切り分けられ、断片の 1 つが $H$ 自身である。断片の個数と 1 つあたりの大きさを掛ければ $|G|$ になる、というのが次に見る定理の中身だ。明るい背景を前提に配色したので、暗色テーマでは見えにくくなる場合がある。

右剰余類と一致しない場合

同じことを右からも行える。$Ha=\{ha:h\in H\}$ を右剰余類といい、これもまた $G$ を分割する。

左右は一般には一致しない。ただし、つねに異なるわけでもない。$a\in H$ なら $aH=H=Ha$ であり、可換群ならすべての $a$ で $aH=Ha$ が成り立つ。

すべての $a\in G$ で $aH=Ha$ となるとき、$H$ を正規部分群という。ここでの等号は集合としての一致であって、各 $h$ について $ah=ha$ という元ごとの一致ではない。$ah=h^{\prime }a$ を満たす別の $h^{\prime }\in H$ があればよい。

どちらの分割を使っても議論は平行に進む。以下では慣例に従い、左剰余類を主に用いる。

例: $S_3$ で左右がずれる

左右のちがいを具体的に見る。3 次対称群 $S_3$ と、互換 1 つが生成する部分群 $H=\{e,(12)\}$ をとる。置換の積は右から作用させる規約、すなわち $(\sigma \tau )(x)=\sigma (\tau (x))$ とする。

左剰余類は $aH=\{a,a(12)\}$ を計算すればよい。$(13)(12)$ は $1\mapsto 2$、$2\mapsto 3$、$3\mapsto 1$ なので $(123)$ である。同じように $(23)(12)=(132)$ となる。

$$H=\{e,(12)\},(13)H=\{(13),(123)\},(23)H=\{(23),(132)\}$$

右剰余類は $Ha=\{a,(12)a\}$ である。$(12)(13)$ は $1\mapsto 3$、$3\mapsto 2$、$2\mapsto 1$ なので $(132)$、同様に $(12)(23)=(123)$ となる。

$$H=\{e,(12)\},H(13)=\{(13),(132)\},H(23)=\{(23),(123)\}$$

<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="S3 の部分群 H={e,(12)} による左剰余類と右剰余類の分割を並べた図。2 番目と 3 番目の組の中身が入れ替わっている。">
<rect x="0" y="0" width="400" height="250" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<g stroke-width="1.5">
<rect x="35" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#eaf1fd" stroke="#1b4fb8"/>
<rect x="148" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
<rect x="261" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
<rect x="35" y="150" width="104" height="52" rx="6" fill="#eaf1fd" stroke="#1b4fb8"/>
<rect x="148" y="150" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
<rect x="261" y="150" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" fill="#1b4fb8">
<text x="35" y="40">左剰余類 aH</text>
<text x="35" y="140">右剰余類 Ha</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#5a6270">
<text x="87" y="69">H</text>
<text x="200" y="69">(13)H</text>
<text x="313" y="69">(23)H</text>
<text x="87" y="169">H</text>
<text x="200" y="169">H(13)</text>
<text x="313" y="169">H(23)</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">
<text x="87" y="91">{e, (12)}</text>
<text x="200" y="91">{(13), (123)}</text>
<text x="313" y="91">{(23), (132)}</text>
<text x="87" y="191">{e, (12)}</text>
<text x="200" y="191">{(13), (132)}</text>
<text x="313" y="191">{(23), (123)}</text>
</g>
<text x="200" y="230" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">(13)H ≠ H(13)</text>
</svg>
</div>

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$(13)H=\{(13),(123)\}$ に対して $H(13)=\{(13),(132)\}$ で、両者は異なる。したがって $H$ は $S_3$ の正規部分群ではない。断片の個数はどちらも 3 で等しいのに、切り方そのものがずれている。

左右の剰余類の個数は等しい

切り方が変わっても、断片の個数は変わらない。左剰余類の全体から右剰余類の全体への全単射が作れるからだ。

対応 $aH\mapsto H{a}^{-1}$ を考える。右剰余類については $Hx=Hy⟺x{y}^{-1}\in H$ だから、$H{a}^{-1}=H{b}^{-1}$ は $a^{-1}b\in H$ と同値になる。これは $aH=bH$ の条件そのものなので、この対応は well-defined で、しかも単射である。

任意の右剰余類 $Hx$ は $x^{-1}H$ の像だから全射でもある。よって左剰余類の個数と右剰余類の個数は一致し、この共通の値を指数と呼べる。

逆元を挟むところが効いている。対応 $aH\mapsto Ha$ では well-defined にならない。先の $S_3$ では $(13)H=(123)H$ が成り立つ一方、$H(13)=\{(13),(132)\}$ と $H(123)=\{(123),(23)\}$ は異なる集合だからである。

指数

$H$ の $G$ における指数とは、左剰余類の個数のことで、$[G:H]$ と書く。前節の全単射により、右剰余類の個数と言っても同じである。

$G$ が有限なら、分割と $|aH|=|H|$ から次が成り立つ。

$$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$$

指数は無限群でも意味をもつ。$G$ が無限であっても剰余類の個数が有限なことはあり、そのとき $[G:H]$ は有限の値になる。次の例がまさにそれだ。

例: 整数と $n\mathbb{Z}$

もっとも身近な例は整数の合同である。加法群 $G=\mathbb{Z}$ と、その部分群 $H=n\mathbb{Z}=\{nk:k\in \mathbb{Z}\}$ をとる。

加法で書くので剰余類は $a+n\mathbb{Z}$ となる。これは $a$ と $n$ を法として合同な整数の全体、いわゆる剰余類そのものだ。$n=3$ なら $3\mathbb{Z}$、$3\mathbb{Z}+1$、$3\mathbb{Z}+2$ の 3 つに分かれる。

$$[\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=n$$

$\mathbb{Z}$ も $n\mathbb{Z}$ も無限集合だが、指数は $n$ という有限の値をとる。$|G|/|H|$ という式は使えないのに指数は意味をもつわけで、剰余類の個数として定義しておく利点がここに出る。

$\mathbb{Z}$ は可換だから $n\mathbb{Z}$ は正規部分群で、剰余類の全体は群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ になる。合同式の計算は、この剰余類の上の演算にほかならない。

例: ベクトル空間の平行移動

幾何的な例も見ておく。ベクトル空間 $V$ を加法群とみなし、部分空間 $W$ を部分群とする。

剰余類 $v+W$ は、$W$ を $v$ だけ平行移動した集合である。$V={\mathbb{R}}^2$ で $W$ を原点を通る直線とすれば、剰余類は $W$ に平行な直線の全体になる。平面が平行線の束に分かれるという見慣れた絵が、そのまま剰余類の分割だ。

こうした集合はアフィン部分空間と呼ばれる。原点を含むとは限らない「ずれた」部分空間で、原点を含むのは $v\in W$ のとき、すなわち $v+W=W$ のときに限られる。

剰余類の全体は商空間 $V/W$ になる。$\dim (V/W)=\dim V-\dim W$ という関係は、指数の式 $[G:H]=|G|/|H|$ の線型代数版だと見ることもできる。

例: 行列式による分割

行列の群でも剰余類は自然に現れる。体 $K$ 上の正則行列の全体 $G{L}_n(K)$ と、行列式が $1$ の行列の全体 $S{L}_n(K)$ をとる。

$S{L}_n(K)$ は $G{L}_n(K)$ の部分群である。剰余類 $A\cdot S{L}_n(K)$ は、行列式が $\det A$ に等しい正則行列の全体になる。$B\in S{L}_n(K)$ なら $\det (AB)=\det A\cdot \det B=\det A$ だからだ。

逆に $\det C=\det A$ なら $\det (A^{-1}C)=1$ なので $C\in A\cdot S{L}_n(K)$ となる。つまり剰余類は行列式の値でちょうどラベルづけされる。

$$G{L}_n(K)/S{L}_n(K)\cong K^{\times }$$

指数は $|K^{\times }|$ である。行列式が全射準同型 $G{L}_n(K)\to K^{\times }$ を与え、その核が $S{L}_n(K)$ だという見方と一致する。核による剰余類が像と対応する、という準同型定理の姿がここに見える。

Lagrange の定理

準備が整った。分割を数えるだけで定理が出る。

証明は分割の言い換えにすぎない。$G$ は $[G:H]$ 個の左剰余類に分割され、どの剰余類もちょうど $|H|$ 個の元をもつ。個数を足し合わせれば $|G|=[G:H]\cdot |H|$ となる。

$[G:H]$ は整数だから、$|H|$ は $|G|$ を割り切る。証明に使ったのは、剰余類が交わらないことと、どれも同じ大きさであることの 2 点だけだ。

定理の歴史

定理の名は Lagrange に由来するが、これは群の概念が確立する前の仕事である。

抽象群についての一般的な主張として整理されるのは、さらに後になる。定理の名が指す内容と、ラグランジュ自身が示した命題は同じではないという点は、数学史ではよく知られている。

系: 元の位数

定理の系として、元の位数に関する制約が出る。

有限群 $G$ の元 $a$ について、$a$ が生成する巡回群 $⟨a⟩$ は $G$ の部分群で、その位数は $a$ の位数 $\mathrm{ord}(a)$ に等しい。Lagrange の定理を $⟨a⟩$ に適用すれば、$\mathrm{ord}(a)$ が $|G|$ を割り切ると分かる。

ここから、任意の $a\in G$ について次が成り立つ。

$$a^{|G|}=e$$

$|G|=\mathrm{ord}(a)\cdot k$ と書けば $a^{|G|}=(a^{\mathrm{ord}(a)}{)}^k=e^k=e$ となるからだ。この単純な等式が、次に見る数論の 2 つの定理を生む。

系: 素数位数の群

位数が素数の群は、構造がひとつしかない。

$|G|=p$（素数）とすると、部分群の位数は $p$ の約数だから $1$ か $p$ に限られる。したがって部分群は $\{e\}$ と $G$ のみである。

単位元でない $a\in G$ をとると、$⟨a⟩$ は $\{e\}$ ではないので $G$ に一致する。よって $G$ は $a$ が生成する巡回群で、同型を除いて $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ただ 1 つに決まる。

正規部分群も $\{e\}$ と $G$ しかないので、$G$ は単純群でもある。位数が素数だというだけで、構造が完全に決まってしまう。

指数の乗法性

部分群が入れ子になっているとき、指数は掛け算でつながる。$K\le H\le G$ ならば次が成り立つ。

$$[G:K]=[G:H]\cdot [H:K]$$

有限群なら $|G|/|K|=(|G|/|H|)\cdot (|H|/|K|)$ から明らかだが、この等式は無限群でも成り立つ。個数を直接数えれば示せるからだ。

$\{a_i\}$ を $H$ の $G$ における完全代表系、$\{b_j\}$ を $K$ の $H$ における完全代表系とすると、積 $\{a_i{b}_j\}$ が $K$ の $G$ における完全代表系になる。組の個数を数えれば乗法性が出る。

<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="部分群の塔 K ≤ H ≤ G と、指数の乗法性 [G:K]=[G:H][H:K] を示す図。">
<rect x="0" y="0" width="400" height="210" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<g stroke="#1b4fb8" stroke-width="1.6">
<line x1="200" y1="56" x2="200" y2="91"/>
<line x1="200" y1="119" x2="200" y2="154"/>
</g>
<g fill="#eaf1fd" stroke="#1b4fb8" stroke-width="1.5">
<rect x="176" y="28" width="48" height="28" rx="6"/>
<rect x="176" y="91" width="48" height="28" rx="6"/>
<rect x="176" y="154" width="48" height="28" rx="6"/>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#1b3a8a">
<text x="200" y="47">G</text>
<text x="200" y="110">H</text>
<text x="200" y="173">K</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" fill="#7a52c0">
<text x="236" y="78">[G : H]</text>
<text x="236" y="141">[H : K]</text>
</g>
<text x="200" y="198" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">[G : K] = [G : H] · [H : K]</text>
</svg>
</div>

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.cg-fig svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

図のように、$G$ を $H$ で分けた断片が、さらに $K$ で細かく分かれる。粗い分割と細かい分割が入れ子になっていて、いちばん細かい分割の個数は 2 段の積になる。

応用: Fermat の小定理

数論への応用を見る。$p$ を素数、$a$ を $p$ で割り切れない整数とする。

$p$ を法とする既約剰余類の全体 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は、位数 $p-1$ の群である。$p$ が素数なので、$1$ から $p-1$ までのすべてが $p$ と互いに素になるからだ。

$a$ の属する類はこの群の元だから、さきほどの $a^{|G|}=e$ をそのまま適用できる。

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

これが Fermat の小定理である。群の位数による制約だけから、ほとんど計算なしに出てくる。

応用: Euler の定理

同じ議論は一般の法でも通る。$n$ を正の整数とし、$\gcd (a,n)=1$ とする。

$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ の位数は、$n$ 以下で $n$ と互いに素な正の整数の個数、すなわち Euler の関数 $\phi (n)$ である。$a$ の属する類はこの群に入るので、同じく $a^{|G|}=e$ から次を得る。

$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

$n=p$ とすれば $\phi (p)=p-1$ で、Fermat の小定理に戻る。Euler の定理は RSA 暗号の正当性を支える等式でもあり、群の位数による制約がそのまま実用につながっている。

指数 2 の部分群は正規

剰余類の議論だけで得られる、便利な事実がある。指数が $2$ の部分群は、つねに正規である。

$[G:H]=2$ とする。左剰余類は $H$ と、残り全部の $G\setminus H$ の 2 つしかない。右剰余類も同じく $H$ と $G\setminus H$ の 2 つである。

$a\notin H$ なら $aH$ は $H$ ではないほう、つまり $aH=G\setminus H=Ha$ となる。$a\in H$ なら $aH=H=Ha$ である。どちらの場合も $aH=Ha$ なので、$H$ は正規部分群になる。

たとえば交代群 $A_n$ は対称群 $S_n$ の指数 $2$ の部分群だから正規である。先に見た $S_3$ の $H=\{e,(12)\}$ は指数 $3$ で、正規でなかったのと対照的だ。

逆は成り立たない

Lagrange の定理の逆、すなわち $|G|$ の約数 $d$ ごとに位数 $d$ の部分群が存在するという主張は、一般には偽である。

最小の反例は交代群 $A_4$ である。位数は $12$ で $6$ はその約数だが、位数 $6$ の部分群をもたない。位数 $11$ 以下のどの群でも、また位数 $12$ の他の群でも、約数ごとに部分群は存在する。

証明を与える。位数 $6$ の部分群 $H\le A_4$ があると仮定すると、$[A_4:H]=2$ だから前節より $H$ は正規である。

$A_4$ には位数 $3$ の元、すなわち 3 次の巡回置換が $8$ 個ある。その 1 つを $\sigma$ とすると、商群 $A_4/H$ は位数 $2$ なので $(\sigma H{)}^2=H$ であり、${\sigma }^3=e$ から $(\sigma H{)}^3=H$ でもある。$\sigma H$ の位数は $2$ と $3$ の両方を割り切るので $1$、つまり $\sigma \in H$ となる。

これが $8$ 個すべての 3 次巡回置換について言えるので、$H$ は少なくとも $8$ 個の元を含む。しかし $|H|=6$ だから矛盾する。よって位数 $6$ の部分群は存在しない。

部分的な逆: Cauchy と Sylow

逆は完全には成り立たないが、素数がからむ範囲では成り立つ。

Cauchy の定理は、素数 $p$ が $|G|$ を割り切るなら $G$ は位数 $p$ の元をもつ、と主張する。その元が生成する巡回群は位数 $p$ の部分群だから、素数の約数については逆が成り立つ。

Sylow の定理はこれを素冪へ拡張する。$p^k$ が $|G|$ を割り切るなら位数 $p^k$ の部分群が存在し、とくに最大の素冪については Sylow $p$ 部分群として存在する。

$A_4$ でも、位数 $1,2,3,4,12$ の部分群はすべて存在する。破綻するのは素冪でない約数 $6=2\cdot 3$ のところだけだ。逆が崩れるのは素冪から外れた領域なのだと分かる。

逆が成り立つ群のクラス

群のクラスを絞れば、逆が成り立つこともある。

有限可換群では逆が成り立つ。$|G|$ のどの約数 $d$ についても位数 $d$ の部分群が存在し、これは有限可換群の構造定理から従う。有限 $p$ 群でも同様に、$|G|=p^n$ の約数 $p^k$ ごとに位数 $p^k$ の部分群がある。

逆が成り立つ群は CLT 群と呼ばれる。超可解群は CLT 群であり、CLT 群は可解群である。どちらの包含も真で、$A_4$ は可解だが CLT ではない例になっている。

つまり「逆が成り立つ」という性質は、超可解性と可解性のあいだにきっちり挟まれる。Lagrange の定理の逆は、群の可解性の度合いに関わる繊細な条件だったわけだ。

正規部分群と商群

正規部分群の場合には、剰余類の全体そのものが群になる。

$N$ を $G$ の正規部分群とすると、剰余類の積を $(aN)(bN)=abN$ で定められる。正規性は、この定め方が代表元の取り方によらないこと、すなわち well-defined であることを保証する。

こうして得られる群を商群 $G/N$ という。単位元は $N$ 自身で、$aN$ の逆元は $a^{-1}N$ である。$|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$ となるので、Lagrange の定理は商群の位数の式としても読める。

正規でない部分群では、剰余類の集合 $G/H$ は群にならない。$S_3$ と $H=\{e,(12)\}$ がその例で、集合としての分割はできても積が定まらない。剰余類が群をなすかどうかが、正規部分群という条件の意味である。

軌道と固定部分群への一般化

Lagrange の定理は、群作用の言葉でさらに広い形をとる。

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、$x\in X$ の軌道を $Gx$、固定部分群を $G_x=\{g\in G:gx=x\}$ とする。このとき $gx\mapsto g{G}_x$ が全単射を与え、軌道の元と剰余類が 1 対 1 に対応する。

$$|Gx|=[G:G_x]$$

これが軌道・固定部分群定理である。有限群なら $|Gx|\cdot |G_x|=|G|$ となり、軌道の大きさが $|G|$ を割り切る。

$X$ として剰余類の集合 $G/H$ をとり、$G$ を左から作用させて $x=H$ とすれば、$G_x=H$ かつ $Gx=G/H$ となって、指数の関係がそのまま出る。剰余類による分割は、作用による軌道分解の原型だと見ることができる。

理解の確認

最後に 1 問。定理が保証することと、しないことの区別を思い出してほしい。

参考文献