剰余類とラグランジュの定理｜群を部分群で割る…とはどういうことか？

剰余類は、群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。部分群 $H$ を平行移動して得られる集合たちが、群 $G$ をぴったり同じ大きさの断片に切り分ける。

Lagrange の定理は、この分割を数えるだけで得られる。有限群では部分群の位数がつねに全体の位数を割り切る、という強い制約が、平行移動を眺めるだけで出てくる。

以下では剰余類を定義して分割の仕組みを確かめ、指数を導入し、定理と証明を与える。そのうえで Fermat・Euler の定理などの応用を並べ、定理の逆がどこまで成り立つのかまで追う。

左剰余類の定義

$H$ を群 $G$ の部分群とする。 $a \in G$ に対して、集合

$a H = {ah : h \in H}$

を $a$ を代表元とする $H$ の左剰余類という。 $H$ の全体を $a$ で左から平行移動したもの、と読める。

$a H$ は一般には部分群ではない。単位元 $e$ を含むのは $a \in H$ のときに限られ、そのときは $a H = H$ となる。剰余類のうち部分群であるのは、 $H$ 自身ただ 1 つだ。

記号は演算の書き方に合わせる。加法で書かれた群なら $a + H = {a + h : h \in H}$ となり、こちらのほうが平行移動という直観に近い。

同値関係として見る

剰余類が $G$ をきれいに分けるのは偶然ではない。同値関係の同値類として捉えると、その理由がはっきりする。

$a, b \in G$ に対して、関係 $a \sim b$ を $a^{- 1} b \in H$ で定める。 $H$ が部分群であることから、これは同値関係になる。 $e \in H$ から反射律、 $h \in H$ なら $h^{- 1} \in H$ から対称律、積で閉じることから推移律が出る。

この同値関係の同値類が、ちょうど左剰余類にあたる。 $a$ の同値類は ${b : a^{- 1} b \in H}$ で、これは ${b : b \in a H} = a H$ に等しい。集合が同値類に分割されるという一般論から、 $G$ が剰余類に分割されることが直ちに従う。

剰余類の基本性質

分割を支える性質をまとめる。

a \in a H

である（

e \in H

による）

a H = b H ⟺ a^{- 1} b \in H ⟺ b \in a H

a H \neq = b H

ならば

a H \cap b H = \emptyset

∣ a H ∣ = ∣ H ∣

である（

h \mapsto ah

が全単射）

4 番目が Lagrange の定理の要になる。写像 $h \mapsto ah$ は $a^{- 1}$ を掛ければ元に戻せるので全単射で、どの剰余類も $H$ とちょうど同じ大きさをもつ。無限群でも濃度として等しい。

3 番目は 2 番目から出る。共通の元 $c \in a H \cap b H$ があれば $a H = cH = b H$ となるので、2 つの剰余類は交わるなら一致するほかない。

剰余類による分割

以上を合わせると、 $G$ は左剰余類の非交和として分割される。

$G = a \in R ⨆ a H$

ここで $R$ は各剰余類から 1 つずつ代表元を選んだ集合で、完全代表系と呼ばれる。

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<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="群 G が同じ大きさの左剰余類 H, aH, bH, cH に分割される図。|G| は剰余類の個数と |H| の積になる。">
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<g fill="#1b4fb8">
<circle cx="58" cy="86" r="3.4"/><circle cx="87" cy="86" r="3.4"/><circle cx="58" cy="108" r="3.4"/><circle cx="87" cy="108" r="3.4"/>
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</g>
<g stroke="#1b4fb8" stroke-width="1.2">
<line x1="115" y1="50" x2="115" y2="160"/>
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</g>
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<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#1b3a8a">
<text x="200" y="38">G</text>
<text x="72" y="141">H</text>
<text x="157" y="141">aH</text>
<text x="242" y="141">bH</text>
<text x="327" y="141">cH</text>
</g>
<text x="200" y="192" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">|G| = [G : H] · |H|</text>
</svg>
</div>

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.cg-fig svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

図がこの状況を表している。 $G$ が同じ大きさの断片に切り分けられ、断片の 1 つが $H$ 自身である。断片の個数と 1 つあたりの大きさを掛ければ $∣ G ∣$ になる、というのが次に見る定理の中身だ。明るい背景を前提に配色したので、暗色テーマでは見えにくくなる場合がある。

右剰余類と一致しない場合

同じことを右からも行える。 $H a = {ha : h \in H}$ を右剰余類といい、これもまた $G$ を分割する。

左右は一般には一致しない。ただし、つねに異なるわけでもない。 $a \in H$ なら $a H = H = H a$ であり、可換群ならすべての $a$ で $a H = H a$ が成り立つ。

すべての $a \in G$ で $a H = H a$ となるとき、 $H$ を正規部分群という。ここでの等号は集合としての一致であって、各 $h$ について $ah = ha$ という元ごとの一致ではない。 $ah = h^{'} a$ を満たす別の $h^{'} \in H$ があればよい。

左剰余類

$a H = {ah : h \in H}$ で、 $H$ を左から平行移動したもの。同値関係 $a^{- 1} b \in H$ の同値類にあたる。

右剰余類

$H a = {ha : h \in H}$ で、右から平行移動したもの。同値関係 $a b^{- 1} \in H$ の同値類にあたる。

どちらの分割を使っても議論は平行に進む。以下では慣例に従い、左剰余類を主に用いる。

例: $S_{3}$ で左右がずれる

左右のちがいを具体的に見る。3 次対称群 $S_{3}$ と、互換 1 つが生成する部分群 $H = {e, (12)}$ をとる。置換の積は右から作用させる規約、すなわち $(σ τ) (x) = σ (τ (x))$ とする。

左剰余類は $a H = {a, a (12)}$ を計算すればよい。 $(13) (12)$ は $1 \mapsto 2$ 、 $2 \mapsto 3$ 、 $3 \mapsto 1$ なので $(123)$ である。同じように $(23) (12) = (132)$ となる。

$H = {e, (12)}, (13) H = {(13), (123)}, (23) H = {(23), (132)}$

右剰余類は $H a = {a, (12) a}$ である。 $(12) (13)$ は $1 \mapsto 3$ 、 $3 \mapsto 2$ 、 $2 \mapsto 1$ なので $(132)$ 、同様に $(12) (23) = (123)$ となる。

$H = {e, (12)}, H (13) = {(13), (132)}, H (23) = {(23), (123)}$

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<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 250" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="S3 の部分群 H={e,(12)} による左剰余類と右剰余類の分割を並べた図。2 番目と 3 番目の組の中身が入れ替わっている。">
<rect x="0" y="0" width="400" height="250" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<g stroke-width="1.5">
<rect x="35" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#eaf1fd" stroke="#1b4fb8"/>
<rect x="148" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
<rect x="261" y="50" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
<rect x="35" y="150" width="104" height="52" rx="6" fill="#eaf1fd" stroke="#1b4fb8"/>
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<rect x="261" y="150" width="104" height="52" rx="6" fill="#fdeceb" stroke="#c93c41"/>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" fill="#1b4fb8">
<text x="35" y="40">左剰余類 aH</text>
<text x="35" y="140">右剰余類 Ha</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#5a6270">
<text x="87" y="69">H</text>
<text x="200" y="69">(13)H</text>
<text x="313" y="69">(23)H</text>
<text x="87" y="169">H</text>
<text x="200" y="169">H(13)</text>
<text x="313" y="169">H(23)</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">
<text x="87" y="91">{e, (12)}</text>
<text x="200" y="91">{(13), (123)}</text>
<text x="313" y="91">{(23), (132)}</text>
<text x="87" y="191">{e, (12)}</text>
<text x="200" y="191">{(13), (132)}</text>
<text x="313" y="191">{(23), (123)}</text>
</g>
<text x="200" y="230" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">(13)H ≠ H(13)</text>
</svg>
</div>

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$(13) H = {(13), (123)}$ に対して $H (13) = {(13), (132)}$ で、両者は異なる。したがって $H$ は $S_{3}$ の正規部分群ではない。断片の個数はどちらも 3 で等しいのに、切り方そのものがずれている。

左右の剰余類の個数は等しい

切り方が変わっても、断片の個数は変わらない。左剰余類の全体から右剰余類の全体への全単射が作れるからだ。

対応 $a H \mapsto H a^{- 1}$ を考える。右剰余類については $H x = H y ⟺ x y^{- 1} \in H$ だから、 $H a^{- 1} = H b^{- 1}$ は $a^{- 1} b \in H$ と同値になる。これは $a H = b H$ の条件そのものなので、この対応は well-defined で、しかも単射である。

任意の右剰余類 $H x$ は $x^{- 1} H$ の像だから全射でもある。よって左剰余類の個数と右剰余類の個数は一致し、この共通の値を指数と呼べる。

逆元を挟むところが効いている。対応 $a H \mapsto H a$ では well-defined にならない。先の $S_{3}$ では $(13) H = (123) H$ が成り立つ一方、 $H (13) = {(13), (132)}$ と $H (123) = {(123), (23)}$ は異なる集合だからである。

指数

$H$ の $G$ における指数とは、左剰余類の個数のことで、 $[G : H]$ と書く。前節の全単射により、右剰余類の個数と言っても同じである。

$G$ が有限なら、分割と $∣ a H ∣ = ∣ H ∣$ から次が成り立つ。

$[G : H] = \frac{∣ G ∣}{∣ H ∣}$

指数は無限群でも意味をもつ。 $G$ が無限であっても剰余類の個数が有限なことはあり、そのとき $[G : H]$ は有限の値になる。次の例がまさにそれだ。

例: 整数と $n Z$

もっとも身近な例は整数の合同である。加法群 $G = Z$ と、その部分群 $H = n Z = {nk : k \in Z}$ をとる。

加法で書くので剰余類は $a + n Z$ となる。これは $a$ と $n$ を法として合同な整数の全体、いわゆる剰余類そのものだ。 $n = 3$ なら $3 Z$ 、 $3 Z + 1$ 、 $3 Z + 2$ の 3 つに分かれる。

$[Z : n Z] = n$

$Z$ も $n Z$ も無限集合だが、指数は $n$ という有限の値をとる。 $∣ G ∣/∣ H ∣$ という式は使えないのに指数は意味をもつわけで、剰余類の個数として定義しておく利点がここに出る。

$Z$ は可換だから $n Z$ は正規部分群で、剰余類の全体は群 $Z / n Z$ になる。合同式の計算は、この剰余類の上の演算にほかならない。

例: ベクトル空間の平行移動

幾何的な例も見ておく。ベクトル空間 $V$ を加法群とみなし、部分空間 $W$ を部分群とする。

剰余類 $v + W$ は、 $W$ を $v$ だけ平行移動した集合である。 $V = R^{2}$ で $W$ を原点を通る直線とすれば、剰余類は $W$ に平行な直線の全体になる。平面が平行線の束に分かれるという見慣れた絵が、そのまま剰余類の分割だ。

こうした集合はアフィン部分空間と呼ばれる。原点を含むとは限らない「ずれた」部分空間で、原点を含むのは $v \in W$ のとき、すなわち $v + W = W$ のときに限られる。

剰余類の全体は商空間 $V / W$ になる。 $dim (V / W) = dim V - dim W$ という関係は、指数の式 $[G : H] = ∣ G ∣/∣ H ∣$ の線型代数版だと見ることもできる。

例: 行列式による分割

行列の群でも剰余類は自然に現れる。体 $K$ 上の正則行列の全体 $G L_{n} (K)$ と、行列式が $1$ の行列の全体 $S L_{n} (K)$ をとる。

$S L_{n} (K)$ は $G L_{n} (K)$ の部分群である。剰余類 $A \cdot S L_{n} (K)$ は、行列式が $det A$ に等しい正則行列の全体になる。 $B \in S L_{n} (K)$ なら $det (A B) = det A \cdot det B = det A$ だからだ。

逆に $det C = det A$ なら $det (A^{- 1} C) = 1$ なので $C \in A \cdot S L_{n} (K)$ となる。つまり剰余類は行列式の値でちょうどラベルづけされる。

$G L_{n} (K) / S L_{n} (K) ≅ K^{\times}$

指数は $∣ K^{\times} ∣$ である。行列式が全射準同型 $G L_{n} (K) \to K^{\times}$ を与え、その核が $S L_{n} (K)$ だという見方と一致する。核による剰余類が像と対応する、という準同型定理の姿がここに見える。

Lagrange の定理

準備が整った。分割を数えるだけで定理が出る。

Lagrange の定理

$G$ を有限群、 $H$ を $G$ の部分群とする。このとき $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ を割り切る。

指数を用いた形

$∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣$ が成り立つ。全体の位数を、断片の個数と 1 つあたりの大きさに分解した形である。

証明は分割の言い換えにすぎない。 $G$ は $[G : H]$ 個の左剰余類に分割され、どの剰余類もちょうど $∣ H ∣$ 個の元をもつ。個数を足し合わせれば $∣ G ∣ = [G : H] \cdot ∣ H ∣$ となる。

$[G : H]$ は整数だから、 $∣ H ∣$ は $∣ G ∣$ を割り切る。証明に使ったのは、剰余類が交わらないことと、どれも同じ大きさであることの 2 点だけだ。

定理の歴史

定理の名は Lagrange に由来するが、これは群の概念が確立する前の仕事である。

1770-71

ラグランジュ

『方程式の代数的解法についての省察』で、 $n$ 変数の多項式の変数を $n!$ 通りに置換して得られる相異なる多項式の個数が、 $n!$ の約数になることを示した。群という言葉はまだない。

1801

ガウス

『整数論研究』で、乗法群 $(Z / p Z)^{\times}$ の場合に定理を証明した。

1844

コーシー

対称群 $S_{n}$ の場合に証明を与えた。

1861

ジョルダン

任意の置換群に対する完全な証明を与えた。

抽象群についての一般的な主張として整理されるのは、さらに後になる。定理の名が指す内容と、ラグランジュ自身が示した命題は同じではないという点は、数学史ではよく知られている。

系: 元の位数

定理の系として、元の位数に関する制約が出る。

有限群 $G$ の元 $a$ について、 $a$ が生成する巡回群 $⟨ a ⟩$ は $G$ の部分群で、その位数は $a$ の位数 $ord (a)$ に等しい。Lagrange の定理を $⟨ a ⟩$ に適用すれば、 $ord (a)$ が $∣ G ∣$ を割り切ると分かる。

ここから、任意の $a \in G$ について次が成り立つ。

$a^{∣ G ∣} = e$

$∣ G ∣ = ord (a) \cdot k$ と書けば $a^{∣ G ∣} = (a^{ord (a)})^{k} = e^{k} = e$ となるからだ。この単純な等式が、次に見る数論の 2 つの定理を生む。

系: 素数位数の群

位数が素数の群は、構造がひとつしかない。

$∣ G ∣ = p$ （素数）とすると、部分群の位数は $p$ の約数だから $1$ か $p$ に限られる。したがって部分群は ${e}$ と $G$ のみである。

単位元でない $a \in G$ をとると、 $⟨ a ⟩$ は ${e}$ ではないので $G$ に一致する。よって $G$ は $a$ が生成する巡回群で、同型を除いて $Z / p Z$ ただ 1 つに決まる。

正規部分群も ${e}$ と $G$ しかないので、 $G$ は単純群でもある。位数が素数だというだけで、構造が完全に決まってしまう。

指数の乗法性

部分群が入れ子になっているとき、指数は掛け算でつながる。 $K \leq H \leq G$ ならば次が成り立つ。

$[G : K] = [G : H] \cdot [H : K]$

有限群なら $∣ G ∣/∣ K ∣ = (∣ G ∣/∣ H ∣) \cdot (∣ H ∣/∣ K ∣)$ から明らかだが、この等式は無限群でも成り立つ。個数を直接数えれば示せるからだ。

${a_{i}}$ を $H$ の $G$ における完全代表系、 ${b_{j}}$ を $K$ の $H$ における完全代表系とすると、積 ${a_{i} b_{j}}$ が $K$ の $G$ における完全代表系になる。組の個数を数えれば乗法性が出る。

HTML

CSS

JavaScript

<div class="cg-fig">
<svg viewBox="0 0 400 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="部分群の塔 K ≤ H ≤ G と、指数の乗法性 [G:K]=[G:H][H:K] を示す図。">
<rect x="0" y="0" width="400" height="210" rx="10" fill="#fafbfc"/>
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</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="14" text-anchor="middle" fill="#1b3a8a">
<text x="200" y="47">G</text>
<text x="200" y="110">H</text>
<text x="200" y="173">K</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" fill="#7a52c0">
<text x="236" y="78">[G : H]</text>
<text x="236" y="141">[H : K]</text>
</g>
<text x="200" y="198" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41">[G : K] = [G : H] · [H : K]</text>
</svg>
</div>

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図のように、 $G$ を $H$ で分けた断片が、さらに $K$ で細かく分かれる。粗い分割と細かい分割が入れ子になっていて、いちばん細かい分割の個数は 2 段の積になる。

応用: Fermat の小定理

数論への応用を見る。 $p$ を素数、 $a$ を $p$ で割り切れない整数とする。

$p$ を法とする既約剰余類の全体 $(Z / p Z)^{\times}$ は、位数 $p - 1$ の群である。 $p$ が素数なので、 $1$ から $p - 1$ までのすべてが $p$ と互いに素になるからだ。

$a$ の属する類はこの群の元だから、さきほどの $a^{∣ G ∣} = e$ をそのまま適用できる。

$a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

これが Fermat の小定理である。群の位数による制約だけから、ほとんど計算なしに出てくる。

応用: Euler の定理

同じ議論は一般の法でも通る。 $n$ を正の整数とし、 $g cd (a, n) = 1$ とする。

$(Z / n Z)^{\times}$ の位数は、 $n$ 以下で $n$ と互いに素な正の整数の個数、すなわち Euler の関数 $φ (n)$ である。 $a$ の属する類はこの群に入るので、同じく $a^{∣ G ∣} = e$ から次を得る。

$a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)$

$n = p$ とすれば $φ (p) = p - 1$ で、Fermat の小定理に戻る。Euler の定理は RSA 暗号の正当性を支える等式でもあり、群の位数による制約がそのまま実用につながっている。

指数 2 の部分群は正規

剰余類の議論だけで得られる、便利な事実がある。指数が $2$ の部分群は、つねに正規である。

$[G : H] = 2$ とする。左剰余類は $H$ と、残り全部の $G ∖ H$ の 2 つしかない。右剰余類も同じく $H$ と $G ∖ H$ の 2 つである。

$a \in / H$ なら $a H$ は $H$ ではないほう、つまり $a H = G ∖ H = H a$ となる。 $a \in H$ なら $a H = H = H a$ である。どちらの場合も $a H = H a$ なので、 $H$ は正規部分群になる。

たとえば交代群 $A_{n}$ は対称群 $S_{n}$ の指数 $2$ の部分群だから正規である。先に見た $S_{3}$ の $H = {e, (12)}$ は指数 $3$ で、正規でなかったのと対照的だ。

逆は成り立たない

Lagrange の定理の逆、すなわち $∣ G ∣$ の約数 $d$ ごとに位数 $d$ の部分群が存在するという主張は、一般には偽である。

最小の反例は交代群 $A_{4}$ である。位数は $12$ で $6$ はその約数だが、位数 $6$ の部分群をもたない。位数 $11$ 以下のどの群でも、また位数 $12$ の他の群でも、約数ごとに部分群は存在する。

証明を与える。位数 $6$ の部分群 $H \leq A_{4}$ があると仮定すると、 $[A_{4} : H] = 2$ だから前節より $H$ は正規である。

$A_{4}$ には位数 $3$ の元、すなわち 3 次の巡回置換が $8$ 個ある。その 1 つを $σ$ とすると、商群 $A_{4} / H$ は位数 $2$ なので $(σ H)^{2} = H$ であり、 $σ^{3} = e$ から $(σ H)^{3} = H$ でもある。 $σ H$ の位数は $2$ と $3$ の両方を割り切るので $1$ 、つまり $σ \in H$ となる。

これが $8$ 個すべての 3 次巡回置換について言えるので、 $H$ は少なくとも $8$ 個の元を含む。しかし $∣ H ∣ = 6$ だから矛盾する。よって位数 $6$ の部分群は存在しない。

部分的な逆: Cauchy と Sylow

逆は完全には成り立たないが、素数がからむ範囲では成り立つ。

Cauchy の定理は、素数 $p$ が $∣ G ∣$ を割り切るなら $G$ は位数 $p$ の元をもつ、と主張する。その元が生成する巡回群は位数 $p$ の部分群だから、素数の約数については逆が成り立つ。

Sylow の定理はこれを素冪へ拡張する。 $p^{k}$ が $∣ G ∣$ を割り切るなら位数 $p^{k}$ の部分群が存在し、とくに最大の素冪については Sylow $p$ 部分群として存在する。

$A_{4}$ でも、位数 $1, 2, 3, 4, 12$ の部分群はすべて存在する。破綻するのは素冪でない約数 $6 = 2 \cdot 3$ のところだけだ。逆が崩れるのは素冪から外れた領域なのだと分かる。

逆が成り立つ群のクラス

群のクラスを絞れば、逆が成り立つこともある。

有限可換群では逆が成り立つ。 $∣ G ∣$ のどの約数 $d$ についても位数 $d$ の部分群が存在し、これは有限可換群の構造定理から従う。有限 $p$ 群でも同様に、 $∣ G ∣ = p^{n}$ の約数 $p^{k}$ ごとに位数 $p^{k}$ の部分群がある。

逆が成り立つ群は CLT 群と呼ばれる。超可解群は CLT 群であり、CLT 群は可解群である。どちらの包含も真で、 $A_{4}$ は可解だが CLT ではない例になっている。

つまり「逆が成り立つ」という性質は、超可解性と可解性のあいだにきっちり挟まれる。Lagrange の定理の逆は、群の可解性の度合いに関わる繊細な条件だったわけだ。

正規部分群と商群

正規部分群の場合には、剰余類の全体そのものが群になる。

$N$ を $G$ の正規部分群とすると、剰余類の積を $(a N) (b N) = ab N$ で定められる。正規性は、この定め方が代表元の取り方によらないこと、すなわち well-defined であることを保証する。

こうして得られる群を商群 $G / N$ という。単位元は $N$ 自身で、 $a N$ の逆元は $a^{- 1} N$ である。 $∣ G / N ∣ = [G : N] = ∣ G ∣/∣ N ∣$ となるので、Lagrange の定理は商群の位数の式としても読める。

正規でない部分群では、剰余類の集合 $G / H$ は群にならない。 $S_{3}$ と $H = {e, (12)}$ がその例で、集合としての分割はできても積が定まらない。剰余類が群をなすかどうかが、正規部分群という条件の意味である。

軌道と固定部分群への一般化

Lagrange の定理は、群作用の言葉でさらに広い形をとる。

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとし、 $x \in X$ の軌道を $G x$ 、固定部分群を $G_{x} = {g \in G : g x = x}$ とする。このとき $g x \mapsto g G_{x}$ が全単射を与え、軌道の元と剰余類が 1 対 1 に対応する。

$∣ G x ∣ = [G : G_{x}]$

これが軌道・固定部分群定理である。有限群なら $∣ G x ∣ \cdot ∣ G_{x} ∣ = ∣ G ∣$ となり、軌道の大きさが $∣ G ∣$ を割り切る。

$X$ として剰余類の集合 $G / H$ をとり、 $G$ を左から作用させて $x = H$ とすれば、 $G_{x} = H$ かつ $G x = G / H$ となって、指数の関係がそのまま出る。剰余類による分割は、作用による軌道分解の原型だと見ることができる。

理解の確認

最後に 1 問。定理が保証することと、しないことの区別を思い出してほしい。

位数 $12$ の群 $G$ について、Lagrange の定理から確実に言えることはどれか。

位数 $6$ の部分群が存在する
どの部分群の位数も $1, 2, 3, 4, 6, 12$ のいずれかである
どの元の位数も $12$ である
$G$ は可換である

__RESULT__

Lagrange の定理が保証するのは、部分群の位数が $∣ G ∣$ を割り切ることだけである。逆は成り立たず、 $A_{4}$ は位数 $6$ の部分群をもたない。元の位数も $12$ の約数になるだけで $12$ とは限らず、可換性にいたっては何も従わない。

参考文献

Wikipedia: Lagrange's theorem (group theory))

Wikipedia: Coset

Wikipedia: Cauchy's theorem (group theory))

Keith Conrad, Cosets and Lagrange's theorem

Richard L. Roth, A History of Lagrange's Theorem on Groups

剰余類と Lagrange の定理を分割の仕組みから解説します。$S_3$ で左右がずれる例、指数と乗法性、証明と歴史、Fermat・Euler の定理、$A_4$ による逆の反例と証明など。

剰余類とラグランジュの定理｜群を部分群で割る…とはどういうことか？

左剰余類の定義

同値関係として見る

剰余類の基本性質

剰余類による分割

右剰余類と一致しない場合

例: S3​ で左右がずれる

左右の剰余類の個数は等しい

指数

例: 整数と nZ

例: ベクトル空間の平行移動

例: 行列式による分割

Lagrange の定理

定理の歴史

系: 元の位数

系: 素数位数の群

指数の乗法性

応用: Fermat の小定理

応用: Euler の定理

指数 2 の部分群は正規

逆は成り立たない

部分的な逆: Cauchy と Sylow

逆が成り立つ群のクラス

正規部分群と商群

軌道と固定部分群への一般化

理解の確認

参考文献

例: $S_{3}$ で左右がずれる

例: 整数と $n Z$