CW複体とその構成

CW複体は胞体（cell）を順次貼り付けて構成される空間で、代数的位相幾何学の基本的な対象です。多くの位相空間はCW複体とホモトピー同値です。

CW複体の定義

CW複体は次のように帰納的に構成されます。

$n$-胞体の貼り付けは、$D^n$ の境界 $S^{n-1}$ を $X^{n-1}$ に連続写像で送る操作です。

胞体の貼り付け

$n$-胞体 $e^n$ を貼り付けるには、貼り付け写像 $\phi :S^{n-1}\to X^{n-1}$ を指定します。

$$X^n=X^{n-1}{\cup }_{\phi }{D}^n=(X^{n-1}\bigsqcup D^n)/(x\sim \phi (x),x\in S^{n-1})$$

CW複体の例

球面 $S^n$ は最小で2つの胞体で構成できます。1つの0-胞体と1つの $n$-胞体です。$D^n$ の境界を一点に潰す貼り付けで $S^n$ が得られます。

トーラス $T^2$ は1つの0-胞体、2つの1-胞体、1つの2-胞体で構成できます。

実射影空間のCW構造

${\mathbb{RP}}^n$ は各次元に1つずつ胞体を持ちます。

$${\mathbb{RP}}^n=e^0\cup e^1\cup e^2\cup \cdots \cup e^n$$

${\mathbb{RP}}^{n-1}$ に $n$-胞体を、$S^{n-1}\to {\mathbb{RP}}^{n-1}$（2重被覆）で貼り付けます。

複素射影空間のCW構造

${\mathbb{CP}}^n$ は偶数次元の胞体のみを持ちます。

$${\mathbb{CP}}^n=e^0\cup e^2\cup e^4\cup \cdots \cup e^{2n}$$

各 $e^{2k}$ は ${\mathbb{CP}}^{k-1}$ に貼り付けられます。

胞体ホモロジー

CW複体のホモロジーは胞体構造から直接計算できます。

$n$-胞体を基底とする自由アーベル群 $C_n^{CW}(X)$ と、境界作用素 ${\partial }_n:C_n^{CW}\to C_{n-1}^{CW}$ を定義し、$H_n^{CW}(X)=\ker {\partial }_n/\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$ を計算します。

胞体ホモロジーは特異ホモロジーと同型です。

CW複体の性質

CW複体は良い位相的性質を持ちます。

CW近似

任意の位相空間 $X$ に対して、CW複体 $Y$ と弱ホモトピー同値 $f:Y\to X$ が存在します（CW近似）。

したがって、ホモトピー論ではCW複体に制限して考えることが多いです。

有限CW複体

有限個の胞体からなるCW複体を有限CW複体といいます。有限CW複体はコンパクトであり、Euler標数が定義されます。

$$\chi (X)=\sum _n(-1{)}^n(\text{n-胞体の個数})$$