CW複体は胞体（cell）を順次貼り付けて構成される空間で、代数的位相幾何学の基本的な対象です。多くの位相空間はCW複体とホモトピー同値です。
CW複体の定義
CW複体は次のように帰納的に構成されます。
：離散点の集合（0-骨格）
： に -胞体を貼り付けて得られる（-骨格）
に弱位相（各 からの包含が連続となる最も細かい位相）を入れる
-胞体の貼り付けは、 の境界 を に連続写像で送る操作です。
胞体の貼り付け
-胞体 を貼り付けるには、貼り付け写像 を指定します。
CW複体の例
球面 は最小で2つの胞体で構成できます。1つの0-胞体と1つの -胞体です。 の境界を一点に潰す貼り付けで が得られます。
トーラス は1つの0-胞体、2つの1-胞体、1つの2-胞体で構成できます。
実射影空間のCW構造
は各次元に1つずつ胞体を持ちます。
に -胞体を、（2重被覆）で貼り付けます。
複素射影空間のCW構造
は偶数次元の胞体のみを持ちます。
各 は に貼り付けられます。
胞体ホモロジー
CW複体のホモロジーは胞体構造から直接計算できます。
-胞体を基底とする自由アーベル群 と、境界作用素 を定義し、 を計算します。
胞体ホモロジーは特異ホモロジーと同型です。
CW複体の性質
CW複体は良い位相的性質を持ちます。
局所コンパクト（有限次元の場合）
パラコンパクト
ハウスドルフ
弱ホモトピー同値がホモトピー同値と一致（Whiteheadの定理）
CW近似
任意の位相空間 に対して、CW複体 と弱ホモトピー同値 が存在します（CW近似）。
したがって、ホモトピー論ではCW複体に制限して考えることが多いです。
有限CW複体
有限個の胞体からなるCW複体を有限CW複体といいます。有限CW複体はコンパクトであり、Euler標数が定義されます。
単体複体
三角形分割。組み合わせ的に扱いやすい。胞体の貼り付けが単体に制限。
CW複体
より自由な胞体の貼り付け。少ない胞体で空間を記述可能。ホモトピー論の標準的対象。
