点に球体を貼り足すだけ、CW 複体の構成からホモロジーまで

一般の位相空間は扱いにくく、多様体は制約が強すぎます。あいだをとった対象が CW 複体です^[1]。

作り方は単純で、点から始めて球体を貼り足していくだけ。ホモロジーの計算が胞体の数え上げに落ち、ホモトピー論の定理がきれいに成り立つ範囲になります。

以下では貼り付けの手続きから始め、代表的な空間の胞体分割を書き下し、胞体ホモロジーによる計算と、この圏で何が成り立つのかまで扱います。

骨格を順に作る

$0$ 骨格 $X^0$ を離散的な点の集合とします。

$X^{n-1}$ ができたら、$n$ 次元球体 $D_{\alpha }^n$ を用意し、境界からの連続写像 ${\phi }_{\alpha }:S^{n-1}\to X^{n-1}$ で貼り付けます^[1]。

$$X^n=\left(X^{n-1}\bigsqcup \underset{\alpha }{⨆}{D}_{\alpha }^n\right)/(x\sim {\phi }_{\alpha }(x))$$

$x\in \partial D_{\alpha }^n$ で同一視する。これを繰り返した合併が CW 複体です。

貼り付け写像が形を決める

同じ胞体の個数でも、貼り付け方が違えば別の空間になります。

$2$ 次元胞体を円周に貼るとき、貼り付け写像の次数が $1$ なら円板、$2$ なら ${\mathbb{RP}}^2$。

胞体の個数と貼り付け写像の組が、空間を決める情報になっています^[1]。

貼り付けを動かして見る

境界の巻き方を変えると、できる空間が変わります。

左が胞体の境界、右が貼り付け先の円周です。左が 1 周するあいだに右が何周するかで、できる空間が変わります。

次数 $2$ なら ${\mathbb{RP}}^2$。同じ「円周に $2$ 次元胞体を 1 つ貼る」でも、結果が違う^[2]。

C と W の意味

名前の C は closure-finite の頭文字です。各胞体の閉包が、有限個の胞体としか交わらない^[3]。

W は weak topology の頭文字。集合が閉であることを、各骨格との交わりが閉であることで定めます。

有限複体では、どちらの条件も自動的に満たされます。無限個の胞体を扱うときに効いてくる条件^[1]。

例：球面

$S^n$ は $0$ 胞体 1 つと $n$ 胞体 1 つで作れます。$n$ 胞体の境界を、全部 1 点に潰す形で貼る^[1]。

$D^n/\partial D^n\cong S^n$ という同一視そのもの。

別の分割もあります。$S^n$ を上半球と下半球に分ければ、各次元に 2 つずつの胞体。${\mathbb{RP}}^n$ の被覆として使う形。

例：実射影空間

${\mathbb{RP}}^n$ は各次元に胞体を 1 つずつ持ちます^[3]。

${\mathbb{RP}}^n={\mathbb{RP}}^{n-1}{\cup }_f{D}^n$ で、$f:S^{n-1}\to {\mathbb{RP}}^{n-1}$ は $2$ 対 $1$ の被覆写像。

胞体の総数は $n+1$ 個。オイラー標数は $n$ の偶奇で $0$ か $1$ になります。

例：複素射影空間

${\mathbb{CP}}^n$ は偶数次元にだけ胞体を持ちます。$0,2,4,\dots ,2n$ 次に 1 つずつ^[1]。

${\mathbb{CP}}^n={\mathbb{CP}}^{n-1}\cup D^{2n}$ で、貼り付け写像はホップ写像 $S^{2n-1}\to {\mathbb{CP}}^{n-1}$。

奇数次に胞体がないので、境界写像がすべて $0$。ホモロジーが胞体の数え上げだけで出ます。

例：トーラス

正方形の対辺を貼り合わせて作ります。$0$ 胞体 1 つ、$1$ 胞体 2 つ、$2$ 胞体 1 つ^[2]。

$2$ 胞体の境界は $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ の順にたどります。往復するので、境界写像が打ち消し合って $0$。

オイラー標数は $1-2+1=0$。トーラスの標数と一致します。

正方形から作る様子

トーラス、クラインの壺、射影平面を、同じ正方形から貼り方だけ変えて作ります。

$0$ 胞体、$1$ 胞体、$2$ 胞体の個数は 3 つとも同じです。矢印の向きだけが違う。

貼り付け写像が空間を決める、という主張がこの図に出ています。オイラー標数も、トーラスとクラインの壺では $0$、射影平面では $1$ と分かれる^[2]。

例：グラフは 1 次元の複体

頂点を $0$ 胞体、辺を $1$ 胞体とすれば、グラフが CW 複体になります。

$H_0$ が連結成分の個数、$H_1$ が独立な閉路の個数。オイラー標数は $V-E$ です。

木では $H_1=0$ で、閉路が 1 つ増えるごとに階数が 1 つ上がります。数え上げがそのままホモロジー^[2]。

例：無限次元の複体

各次元に胞体を 1 つずつ、無限に貼り続けると ${\mathbb{RP}}^{\infty }$ ができます。

これは $K(\mathbb{Z}/2,1)$ で、${\pi }_1=\mathbb{Z}/2$、ほかのホモトピー群がすべて $0$。

無限個の胞体を扱うので、閉包有限性と弱位相の条件がここで効きます^[1]。

胞体ホモロジー

$n$ 胞体を基底とする自由アーベル群を $C_n^{\mathrm{CW}}(X)$ とします。

境界写像は、貼り付け写像の次数で決まります^[2]。

$${\partial }_n(e_{\alpha }^n)=\sum _{\beta }\mathrm{deg}\left({\chi }_{\alpha \beta }\right)e_{\beta }^{n-1}$$

${\chi }_{\alpha \beta }$ は、$\alpha$ の境界を $\beta$ 以外の胞体を潰して見た写像。

この複体のホモロジーが、特異ホモロジーに一致します^[2]。

計算が数え上げに落ちる

特異ホモロジーでは、鎖群が非可算次元になります。胞体ホモロジーでは、胞体の個数ぶんの階数しかありません。

有限複体なら有限階数です。手で計算できるところまで落ちる^[2]。

これが CW 複体を使う最大の理由になっています。

例：${\mathbb{RP}}^2$ のホモロジーを計算する

胞体は $0$、$1$、$2$ 次に 1 つずつ。鎖群はどれも $\mathbb{Z}$。

${\partial }_1=0$（$1$ 胞体の両端が同じ点）、${\partial }_2=2$（境界が $1$ 骨格を $2$ 周する）です^[2]。

したがって $H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$H_2=0$。捩れが出てくる仕組みが、次数 $2$ から見えます。

例：${\mathbb{CP}}^2$ のホモロジー

胞体は $0$、$2$、$4$ 次に 1 つずつです。あいだの次数に胞体がありません。

境界写像は必ず $0$ になります。次数が 2 つ飛ぶので、行き先の鎖群が $0$。

$H_0=H_2=H_4=\mathbb{Z}$、ほかは $0$。計算が一瞬で終わります。

ホモトピー拡張性

CW 対 $(X,A)$ はホモトピー拡張性を持ちます。$A$ の上のホモトピーを $X$ 全体へ延ばせる^[1]。

胞体を 1 つずつ見て、球体の上へ延ばす手続きで示せます。球体が可縮なので延ばせる。

この性質があるおかげで、ホモトピー論の議論が滞りなく進みます。

ホワイトヘッドの定理

CW 複体のあいだの連続写像が、すべてのホモトピー群に同型を誘導すれば、その写像はホモトピー同値です^[4]。

CW という仮定が要ります。ワルシャワ円周では、ホモトピー群がすべて自明でも 1 点とホモトピー同値になりません^[4]。

群が同型なだけでは足りず、同型を誘導する写像が要ります。$S^2\times {\mathbb{RP}}^3$ と ${\mathbb{RP}}^2\times S^3$ はホモトピー群が同型ですが、ホモトピー同値ではありません^[4]。

CW 近似

どんな位相空間にも、弱ホモトピー同値な CW 複体が存在します^[4]。

したがって、ホモトピー群やホモロジーだけを見る限り、CW 複体の範囲で考えれば足ります。

一般の空間を扱う代わりに、扱いやすい代表をとる。この構成が、CW 複体をホモトピー論の標準的な舞台にしています。

何が保証されるのか

CW 複体では、次の性質が使えます。

一般の位相空間ではどれも保証されません^[3]。扱いやすさと一般性の釣り合いが、この定義の設計になっています。

よくある誤り

参考文献