ラテン方陣でも群とは限らない - 群の定義と 3 つの条件

群の定義に出てくる条件は 3 つだけです^[1]。結合律、単位元の存在、逆元の存在。

条件が少ないぶん、そこから引き出せることも限られます。ところが実際には、この 3 つだけで乗積表の形まで決まってしまう。

定義

集合 $G$ と、その上の演算 $G\times G\to G$ の組を考えます。演算の行き先が $G$ の中にあることは、写像として定めた時点で込みになっています。

次の 3 つを満たすとき、$G$ を群といいます^[1]。

$xy=yx$ がつねに成り立つとき、$G$ を可換群、またはアーベル群といいます^[1]。

$G$ の元の個数を位数といい $|G|$ と書きます。有限とは限りません。

単位元も逆元も 1 つしかない

定義は「ある」としか言っていませんが、実際には一意です^[1]。

単位元から見ます。$e$ と $e^{\prime }$ がどちらも条件 2 を満たすとします。$e^{\prime }$ が単位元だから $e=e^{\prime }e$、$e$ が単位元だから $e^{\prime }e=e^{\prime }$。よって $e=e^{\prime }$ です。

逆元も同じ形で決まります。$y$ と $y^{\prime }$ がどちらも $x$ の逆元だとすると

$$y^{\prime }=y^{\prime }e=y^{\prime }(xy)=(y^{\prime }x)y=ey=y$$

途中で結合律を使いました。単位元の一意性は結合律なしで出ますが、逆元のほうは結合律が要ります^[1]。

片側だけで足りる

定義では単位元も逆元も両側で条件を書きました。実は左側だけ仮定すれば、右側は自動的に付いてきます。

仮定を次に弱めます。演算は結合的で、$ex=x$ をすべての $x$ で満たす $e$ があり、各 $x$ に $yx=e$ となる $y$ がある。

まず $xy=e$ を示します。$y$ に対しても仮定が使えるので、$zy=e$ となる $z$ がとれる。

$$xy=e(xy)=(zy)(xy)=z(y(xy))=z((yx)y)=z(ey)=zy=e$$

次に $xe=x$ が出ます。

$$xe=x(yx)=(xy)x=ex=x$$

左単位元と左逆元だけで、両側の条件がそろいました。定義に書く条件は、この意味で余分を含んでいます。

消去律と乗積表

$ax=ay$ なら、両辺に左から $a^{-1}$ を掛けて $x=y$ です。右からでも同じ。これを消去律といいます。

有限群で乗積表を書くと、消去律が形になって現れます。$a$ の行に同じ元が 2 回出ることは $ax=ay$ かつ $x\ne y$ を意味するので、起こりません。

各行は $G$ の元をちょうど 1 回ずつ並べた列になる。列についても同じです。

ラテン方陣なら群、ではない

各行各列に全部の元が 1 回ずつ並ぶ表をラテン方陣といいます。群の乗積表はラテン方陣です。逆は成り立ちません。

位数 $5$ で反例を作ります。

$$\begin{array}{rl}& 12345\\ 1& 12345\\ 2& 21453\\ 3& 35124\\ 4& 43512\\ 5& 54231\end{array}$$

どの行にもどの列にも $1$ から $5$ が 1 回ずつ並びます。$1$ は両側の単位元で、対角に $1$ が並ぶので全部の元が自分自身の逆元です。

3 つの条件のうち、単位元と逆元は満たしている。それでも群ではありません。

$$(2\cdot 3)\cdot 3=4\cdot 3=5,2\cdot (3\cdot 3)=2\cdot 1=2$$

結合律が崩れました。位数 $5$ の群は巡回群だけで、そこでは単位元以外の元の位数が $5$ です。この表では全部が位数 $2$ なので、群になりようがない。

3 つの条件のうち、実際に働いているのは結合律だということが見えます。

元の位数

$x\in G$ について $x^n=e$ となる正整数 $n$ があるとき、その最小のものを $x$ の位数といいます。なければ位数は無限です。

有限群では全部の元の位数が有限になります。$x,x^2,x^3,\dots$ が有限個の中に収まるので、$x^i=x^j$（$i<j$）となる場所があり、消去律から $x^{j-i}=e$ が出るためです。

位数が $n$ の元が生成する部分群は $\{e,x,\dots ,x^{n-1}\}$ で、大きさは $n$。Lagrange の定理から、元の位数は群の位数を割ります。

位数の小さい群

位数が素数 $p$ の群は巡回群だけです。単位元でない元 $x$ をとると、$⟨x⟩$ の大きさは $1$ より大きく $p$ を割るので $p$。つまり $⟨x⟩=G$ になります。

位数 $4$ を見ます。位数 $4$ の元があれば巡回群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ です。なければ、単位元以外の元の位数はすべて $2$。

このとき群は可換になります。$x^2=e$ から $x^{-1}=x$ で、$(xy{)}^2=e$ を開くと $xyxy=e$、つまり $xy=y^{-1}{x}^{-1}=yx$ です。

可換で全部の元が位数 $2$ なら $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$。位数 $4$ の群は 2 つだけになります。

位数 $6$ も決まります。Cauchy の定理から位数 $3$ の元 $a$ と位数 $2$ の元 $b$ がとれる。$⟨a⟩$ は指数 $2$ なので正規です。

$ba{b}^{-1}$ は位数 $3$ で $⟨a⟩$ に入るので、$a$ か $a^2$ のどちらかになります。$ba{b}^{-1}=a$ なら $G$ は可換で $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。$ba{b}^{-1}=a^2=a^{-1}$ なら二面体群の関係式そのもので、$S_3$ です。

位数が素数のところは必ず $1$ です。$2$ のべきのところで急に増える。位数 $16$ で $14$ 個、位数 $32$ になると $51$ 個になります。

非可換の最小は位数 6

位数 $5$ 以下の群はすべて可換です。位数 $1,2,3,5$ は素数か自明で巡回群、位数 $4$ は上で見た 2 つでどちらも可換。

位数 $6$ で初めて非可換が出ます。$S_3$ がそれで、乗積表を見ると $rs$ と $sr$ が違う元になっている。

3 つの条件から可換性は出てきません。可換であることは、群であることとは別の追加条件です。

どこから来た定義か

いまの形に落ち着くまでには時間がかかりました^[2]。

Galois は 1832 年の書き込みで、$S$ と $T$ が入っていれば $ST$ も入る、と閉じていることだけを述べています^[2]。置換を相手にしているかぎり、ほかの条件は自動で満たされるためです。

Cayley が 1854 年に抽象的な定義を初めて試みました^[2]。閉性、結合律、単位元を挙げています。

Kronecker が 1870 年に、可換性と結合律と消去律を仮定する形を出します^[2]。有限集合が前提でした。

Weber は 1882 年に似た定義を与えたあと、1895 年の教科書で、この形は有限群にしか通用せず、無限群では逆元を別に要求しなければならないと注意しています^[2]。

Burnside は 1897 年に閉性と結合律と逆元を要求し、単位元を公理から外しました^[2]。他から導けるためです。

有限性を外し、逆元を明示する。この 2 点が決まって、いまの定義になりました。

条件を 3 つに絞ったことが、この定義の効き目になっています。閉性と結合律と逆元さえあれば、対称性を扱う道具がそろう。可換性を入れなかったぶんだけ、置換も行列も同じ枠に収まりました。

参考