群は代数学における最も基本的な構造の一つである。対称性を抽象化した概念であり、数学のあらゆる分野に現れる。
群の定義
集合 と二項演算 の組 が群（group）であるとは、次の3条件を満たすことをいう。
の逆元を と書く。演算が明らかな場合は を単に と書くことが多い。
可換群
任意の に対して が成り立つとき、 を可換群またはアーベル群（abelian group）という。可換群では演算を で書き、単位元を 、 の逆元を と書くことがある。
単位元と逆元の一意性
群の単位元は一意である。 と がともに単位元ならば、 となる。
各元 の逆元も一意である。 と がともに の逆元ならば、 となる。
群の例：整数の加法群
整数全体 は加法 に関して群をなす。単位元は 、 の逆元は である。これは可換群である。
同様に、有理数 、実数 、複素数 も加法に関して可換群をなす。
群の例：乗法群
でない有理数 は乗法に関して群をなす。単位元は 、 の逆元は である。
、 も同様に乗法群となる。 は位数 の群である。
群の例：剰余類
を正の整数とする。 は の加法に関して群をなす。これは位数 の巡回群である。
群の例：対称群
集合 の全単射全体は写像の合成に関して群をなす。これを の対称群といい、 のとき と書く。 の位数は であり、 で非可換である。
群の例：一般線型群
体 上の 次正則行列全体 は行列の積に関して群をなす。単位元は単位行列 、逆元は逆行列である。 で非可換である。
が常に成立。整数、有理数などの加法群。演算を で書くことが多い。
となる元が存在。対称群 （）、一般線型群 （）など。
群の位数
群 の元の個数を の位数といい、 と書く。位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群という。
、 である。 や は無限群である。
元の位数
に対して、 となる最小の正整数 が存在すれば、これを の位数といい と書く。そのような が存在しなければ の位数は無限であるという。
において、, , である。
基本的な計算規則
群において次の規則が成り立つ。
2番目の規則は非可換群で特に重要である。
簡約律
群では簡約律が成り立つ。 ならば （左簡約律）、 ならば （右簡約律）である。
これは両辺に を掛けることで従う。逆に、有限な半群（結合律と閉性のみ満たす）で簡約律が成り立てば群となる。
