群の定義と基本性質

群は代数学における最も基本的な構造の一つである。対称性を抽象化した概念であり、数学のあらゆる分野に現れる。

群の定義

集合 $G$ と二項演算 $\cdot :G\times G\to G$ の組 $(G,\cdot )$ が群（group）であるとは、次の3条件を満たすことをいう。

$a$ の逆元を $a^{-1}$ と書く。演算が明らかな場合は $a\cdot b$ を単に $ab$ と書くことが多い。

可換群

任意の $a,b\in G$ に対して $ab=ba$ が成り立つとき、$G$ を可換群またはアーベル群（abelian group）という。可換群では演算を $+$ で書き、単位元を $0$、$a$ の逆元を $-a$ と書くことがある。

単位元と逆元の一意性

群の単位元は一意である。$e$ と $e^{\prime }$ がともに単位元ならば、$e=e\cdot e^{\prime }=e^{\prime }$ となる。

各元 $a$ の逆元も一意である。$b$ と $c$ がともに $a$ の逆元ならば、$b=b\cdot e=b\cdot (a\cdot c)=(b\cdot a)\cdot c=e\cdot c=c$ となる。

群の例：整数の加法群

整数全体 $\mathbb{Z}$ は加法 $+$ に関して群をなす。単位元は $0$、$n$ の逆元は $-n$ である。これは可換群である。

同様に、有理数 $\mathbb{Q}$、実数 $\mathbb{R}$、複素数 $\mathbb{C}$ も加法に関して可換群をなす。

群の例：乗法群

$0$ でない有理数 ${\mathbb{Q}}^{\times }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ は乗法に関して群をなす。単位元は $1$、$a$ の逆元は $1/a$ である。

${\mathbb{R}}^{\times }$、${\mathbb{C}}^{\times }$ も同様に乗法群となる。${\mathbb{Z}}^{\times }=\{1,-1\}$ は位数 $2$ の群である。

群の例：剰余類

$n$ を正の整数とする。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0,1,\dots ,n-1\}$ は $\mathrm{mod}n$ の加法に関して群をなす。これは位数 $n$ の巡回群である。

群の例：対称群

集合 $X$ の全単射全体は写像の合成に関して群をなす。これを $X$ の対称群といい、$X=\{1,2,\dots ,n\}$ のとき $S_n$ と書く。$S_n$ の位数は $n!$ であり、$n\ge 3$ で非可換である。

群の例：一般線型群

体 $K$ 上の $n$ 次正則行列全体 $G{L}_n(K)$ は行列の積に関して群をなす。単位元は単位行列 $I_n$、逆元は逆行列である。$n\ge 2$ で非可換である。

群の位数

群 $G$ の元の個数を $G$ の位数といい、$|G|$ と書く。位数が有限の群を有限群、無限の群を無限群という。

$|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|=n$、$|S_n|=n!$ である。$\mathbb{Z}$ や ${\mathbb{R}}^{\times }$ は無限群である。

元の位数

$a\in G$ に対して、$a^n=e$ となる最小の正整数 $n$ が存在すれば、これを $a$ の位数といい $\mathrm{ord}(a)$ と書く。そのような $n$ が存在しなければ $a$ の位数は無限であるという。

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ において、$\mathrm{ord}(1)=6$, $\mathrm{ord}(2)=3$, $\mathrm{ord}(3)=2$ である。

基本的な計算規則

群において次の規則が成り立つ。

2番目の規則は非可換群で特に重要である。

簡約律

群では簡約律が成り立つ。$ab=ac$ ならば $b=c$（左簡約律）、$ba=ca$ ならば $b=c$（右簡約律）である。

これは両辺に $a^{-1}$ を掛けることで従う。逆に、有限な半群（結合律と閉性のみ満たす）で簡約律が成り立てば群となる。