層コホモロジーは位相空間上の「局所から大域への障害」を測る理論です。代数幾何学や複素解析で中心的な役割を果たし、de Rham の定理や Hodge 理論の基礎となります。
層の定義
位相空間 上の層（sheaf） は、各開集合 にアーベル群 （切断の空間）を対応させ、次の条件を満たすものです。
層の例
連続関数の層 は で定義されます。
滑らかな関数の層 、正則関数の層 、微分形式の層 なども層です。
定数層 は、 で定義されます。 が連結なら です。
大域切断の問題
層 の局所切断（各開集合上の元）は常に存在しますが、大域切断（ 全体上の元）は存在しないことがあります。
例えば、 上の向き付け層は、各点の近傍で切断を持ちますが、大域的な切断（一貫した向きの選択）は存在しないかもしれません。
層コホモロジーの動機
層コホモロジー は、局所切断を大域切断に貼り合わせる際の障害を測ります。
（大域切断）であり、（）は「貼り合わせの失敗」を記録します。
Čechコホモロジー
層コホモロジーを計算する具体的な方法の一つが Čech コホモロジーです。
開被覆 に対して、Čech 複体 を定義します。
Čech微分
Čech 微分 は交代和で定義されます。
が成り立ち、 を定義します。
の具体的意味
は次のように解釈できます。
1-コサイクル は、 上の切断 で、
を満たすものです。1-コバウンダリーは の形のもの（）。
ならば、局所データ を大域切断に貼り合わせられます。
導来函手による定義
より抽象的には、層コホモロジーは大域切断函手 の右導来函手として定義されます。
入射的分解
層 の入射的分解 に対して、
です。入射的層は で完全性を保つため、コホモロジーが計算できます。
非輪状分解
入射的層でなくても、非輪状（ for ）な層による分解があれば同様に計算できます。
軟層（soft sheaf）や脆弱層（flabby sheaf）は非輪状であり、de Rham 複体 や Godement 分解がこれに当たります。
de Rham の定理との関係
de Rham 複体 は定数層 の軟層による分解です。
長完全列
短完全列 に対して、コホモロジーの長完全列
が存在します。
