層コホモロジー入門

層コホモロジーは位相空間上の「局所から大域への障害」を測る理論です。代数幾何学や複素解析で中心的な役割を果たし、de Rham の定理や Hodge 理論の基礎となります。

層の定義

位相空間 $X$ 上の層（sheaf）$\mathcal{F}$ は、各開集合 $U$ にアーベル群 $\mathcal{F}(U)$（切断の空間）を対応させ、次の条件を満たすものです。

層の例

連続関数の層 $\mathcal{C}$ は $\mathcal{C}(U)=\{f:U\to \mathbb{R}\text{ 連続}\}$ で定義されます。

滑らかな関数の層 ${\mathcal{C}}^{\infty }$、正則関数の層 $\mathcal{O}$、微分形式の層 ${\Omega }^k$ なども層です。

定数層 $\underline{A}$ は、$\underline{A}(U)=\{U\to A\text{ 局所定数}\}$ で定義されます。$U$ が連結なら $\underline{A}(U)\cong A$ です。

大域切断の問題

層 $\mathcal{F}$ の局所切断（各開集合上の元）は常に存在しますが、大域切断（$X$ 全体上の元）は存在しないことがあります。

例えば、$S^1$ 上の向き付け層は、各点の近傍で切断を持ちますが、大域的な切断（一貫した向きの選択）は存在しないかもしれません。

層コホモロジーの動機

層コホモロジー $H^k(X;\mathcal{F})$ は、局所切断を大域切断に貼り合わせる際の障害を測ります。

$H^0(X;\mathcal{F})=\mathcal{F}(X)$（大域切断）であり、$H^k$（$k\ge 1$）は「貼り合わせの失敗」を記録します。

Čechコホモロジー

層コホモロジーを計算する具体的な方法の一つが Čech コホモロジーです。

開被覆 $\mathcal{U}=\{U_i\}$ に対して、Čech 複体 ${\check{C}}^{\bullet }(\mathcal{U},\mathcal{F})$ を定義します。

$${\check{C}}^k(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod _{i_0<\cdots <i_k}\mathcal{F}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_k})$$

Čech微分

Čech 微分 $\delta :{\check{C}}^k\to {\check{C}}^{k+1}$ は交代和で定義されます。

$$(\delta \sigma {)}_{i_0\cdots i_{k+1}}=\sum _{j=0}^{k+1}(-1{)}^j{\sigma }_{i_0\cdots \widehat{i_j}\cdots i_{k+1}}{|}_{U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_{k+1}}}$$

${\delta }^2=0$ が成り立ち、${\check{H}}^k(\mathcal{U},\mathcal{F})=\ker {\delta }^k/\mathrm{im}{\delta }^{k-1}$ を定義します。

$H^1$ の具体的意味

$H^1(X;\mathcal{F})$ は次のように解釈できます。

1-コサイクル $\{g_{ij}\}\in {\check{C}}^1$ は、$U_i\cap U_j$ 上の切断 $g_{ij}\in \mathcal{F}(U_i\cap U_j)$ で、

$$g_{ij}+g_{jk}=g_{ik}\text{（Ui∩Uj∩Uk 上で）}$$

を満たすものです。1-コバウンダリーは $g_{ij}=f_i-f_j$ の形のもの（$f_i\in \mathcal{F}(U_i)$）。

$H^1=0$ ならば、局所データ $\{g_{ij}\}$ を大域切断に貼り合わせられます。

導来函手による定義

より抽象的には、層コホモロジーは大域切断函手 $\Gamma (X,-):\mathcal{F}\mapsto \mathcal{F}(X)$ の右導来函手として定義されます。

$$H^k(X;\mathcal{F})=R^k\Gamma (X,\mathcal{F})$$

入射的分解

層 $\mathcal{F}$ の入射的分解 $0\to \mathcal{F}\to {\mathcal{I}}^0\to {\mathcal{I}}^1\to \cdots$ に対して、

$$H^k(X;\mathcal{F})=H^k(\Gamma (X,{\mathcal{I}}^{\bullet }))$$

です。入射的層は $\Gamma (X,-)$ で完全性を保つため、コホモロジーが計算できます。

非輪状分解

入射的層でなくても、非輪状（$H^k(X;\mathcal{I})=0$ for $k\ge 1$）な層による分解があれば同様に計算できます。

軟層（soft sheaf）や脆弱層（flabby sheaf）は非輪状であり、de Rham 複体 ${\Omega }^{\bullet }$ や Godement 分解がこれに当たります。

de Rham の定理との関係

de Rham 複体 $0\to \underline{\mathbb{R}}\to {\Omega }^0\to {\Omega }^1\to \cdots$ は定数層 $\underline{\mathbb{R}}$ の軟層による分解です。

$$H^k(M;\underline{\mathbb{R}})\cong H^k({\Omega }^{\bullet }(M))=H_{\mathrm{dR}}^k(M)$$

長完全列

短完全列 $0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal{H}\to 0$ に対して、コホモロジーの長完全列

$$0\to H^0(\mathcal{F})\to H^0(\mathcal{G})\to H^0(\mathcal{H})\to H^1(\mathcal{F})\to H^1(\mathcal{G})\to \cdots$$

が存在します。