自由群とは｜簡約語による定義・普遍性・Nielsen-Schreier の定理

集合 $S$ を用意し、$S$ の元とその逆元の記号を並べた有限列を語といいます。隣り合う $s{s}^{-1}$ と $s^{-1}s$ を消す操作が簡約で、これ以上消せない語を簡約語という。

簡約語の全体に、つないでから簡約する演算を入れたものが $S$ 上の自由群 $F(S)$ です。生成元のあいだに関係式を何も置かない、という点が名前の由来。

語と簡約

語は $S$ の元と逆元の記号を、好きな順に好きなだけ並べたものです。長さ $0$ の語も許し、これを空語と呼ぶ。

簡約は、隣り合う逆元の対を 1 組ずつ消していく操作。消す順番はいくつもあるものの、行き着く簡約語は一つに決まる。

どこから消しても同じ結果になることは、語の長さについての帰納法で示せる。この一意性があるおかげで、簡約語と $F(S)$ の元がぴたりと対応する。

例：簡約してみる

$S=\{a,b\}$ とし、語 $a{b}^{-1}b{a}^2$ を簡約します。真ん中の $b^{-1}b$ が消え、$a\cdot a^2=a^3$ が残る。

別の語 $a{b}^{-1}{a}^{2}b$ には、消せる対がありません。これはすでに簡約語で、$F(S)$ の元をそのまま表している。

演算・単位元・逆元

2 つの簡約語の積は、つないでから簡約したものと定めます。たとえば $(a{b}^{-1})\cdot (b{a}^2)=a{b}^{-1}b{a}^2=a^3$。

単位元は空語。逆元は語を逆順にし、各文字の指数の符号を変えたものです。

$(a{b}^{-1}{)}^{-1}=b{a}^{-1}$ となる。結合法則は、つないでから簡約しても、途中で簡約してからつないでも同じ簡約語に着く点から従います。

普遍性による特徴づけ

包含写像 $\iota :S\to F(S)$ があり、次が成り立ちます。任意の群 $G$ と任意の写像 $f:S\to G$ に対して、条件を満たす準同型 $\tilde{f}:F(S)\to G$ がただ一つ存在する。

$$\tilde{f}\circ \iota =f$$

「写像」と「準同型」のあいだに橋が架かる、と読める。$S$ の各元をどこへ送るかだけ決めれば、群全体への準同型が自動的に決まる。

線形空間で、基底の行き先を決めれば線形写像が一つ決まることと同じ形。この形が、自由という言葉のもう一つの意味です。

普遍性から一意性が出る

普遍性を満たす群は、同型を除いて一つしかありません。$F$ と $F^{\prime }$ がどちらも $S$ について普遍性を持つとする。

たがいの包含写像を延長して、$F\to F^{\prime }$ と $F^{\prime }\to F$ の準同型が作れる。合成は $S$ の上で恒等写像になり、一意性からその合成は恒等写像そのものになる。

だから 2 つは同型。作り方が違っても、できあがる群は同じという意味です。

例：階数 1 の自由群は整数全体

$S=\{a\}$ のとき、簡約語は $a^n$ の形に限られます。$n$ は任意の整数で、$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ が成り立つ。

これは $\mathbb{Z}$ の足し算そのもの。つまり $F(\{a\})\cong \mathbb{Z}$ です。

$S$ が空集合なら簡約語は空語だけなので、$F(\varnothing )$ は自明群になる。

階数は基底の濃度で決まる

$F(S)$ と $F(T)$ が同型になるのは、$S$ と $T$ の濃度が等しいときに限ります。この濃度を階数といい、階数 $n$ の自由群を $F_n$ と書く。

だから自由群は階数だけで分類できる。$|S|\ge 2$ なら $F(S)$ は非可換です。

$a$ と $b$ が別の元なら、$ab$ と $ba$ は別の簡約語なので交換しない。可換になるのは階数 $0$ と $1$ の場合だけです。

例：準同型の個数で階数を数える

位数 2 の巡回群 $C_2$ への準同型を数えると、階数が読めます。普遍性から、$F_n$ から $C_2$ への準同型は基底から $C_2$ への写像と 1 対 1 に対応する。

$$|\mathrm{Hom}(F_n,C_2)|=2^n$$

各生成元を $C_2$ の 2 つの元のどちらへ送るかで、$2^n$ 通り。群の側だけを見て階数が分かる、という数え方です。

階数が違えばこの個数も違うので、$F_m$ と $F_n$ が同型にならないことも同時に出る。

すべての群は自由群の商

任意の群 $G$ と、その生成系 $S$ をとります。包含写像 $S\to G$ を普遍性で延長すると、全射準同型 $F(S)\to G$ が得られる。

核を $N$ とすれば、次の同型が成り立ちます。

$$G\cong F(S)/N$$

$N$ の元が、生成元のあいだに成り立つ関係式にあたる。この道筋を書き下したものが群の表示です。

この見方は古いものです。フランス語版の Groupe libre によれば、von Dyck が 1882 年に名前を付けずに扱い、自由群という語は 1924 年に Nielsen が導入しました。

例：巡回群は自由にならない

位数 $n$ の巡回群 $C_n$ は、$n\ge 2$ なら自由群になりません。生成元を $r$ とすると $r^n=e$ という関係式があり、空でない語が単位元になってしまう。

自由群では、空語でない簡約語が単位元になることはない。ここが自由でない群との分かれ目です。

巡回群が自由なのは、位数が無限のとき、つまり $\mathbb{Z}$ の場合だけ。

部分群もまた自由群

自由群の部分群は、かならず自由群になります。Nielsen と Schreier による定理で、証明には選択公理が要る。

階数 $n$ の自由群の、指数 $e$ の部分群をとります。その階数は次の式で決まる。

$$1+e(n-1)$$

これが Schreier の指数公式で、英語版の Nielsen–Schreier theorem にあります。

位相の言葉に直すと筋道が見えてくる。円の花束の被覆空間を辺の収縮でまた花束に直し、オイラー標数の乗法性から階数を読む。

例：長さが偶数の語を集める

$F_2=F(\{a,b\})$ の中で、長さが偶数の簡約語だけを集めます。$a$ と $b$ をどちらも $1$ へ送る準同型 $F_2\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の核にあたり、指数は 2 になる。

公式に $n=2$ と $e=2$ を入れると、階数は $3$ です。実際に基底をとると $a^2$、$ab$、$ba$ の 3 つ。

もとの階数は 2 だったのに、部分群のほうが階数が大きくなっている。

階数は部分群のほうが大きくなる

ここが線形空間との決定的な違いです。部分空間の次元は、全体の次元を超えることがない。

自由群では、階数 2 の群がどんな有限階数の自由群も部分群として含みます。さらに可算無限階数の自由群まで入る。

自由という語が線形代数と同じ響きを持つのに、振る舞いはここで大きく分かれます。関係式がないぶん、部分群のほうが複雑になりうる。

例：行列で作る階数 2 の自由群

自由群は語の集まりとして作りましたが、行列としても現れます。$S{L}_2(\mathbb{Z})$ の中で次の 2 つをとる。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$$

この 2 つが生成する部分群は、階数 2 の自由群になります。示すには ping-pong 補題を使い、平面を $|x|>|y|$ の側と $|x|<|y|$ の側に分ける。

$A$ の $0$ でないべきは後者を前者へ、$B$ の $0$ でないべきは前者を後者へ移す。交互に移り合うので、$A$ と $B$ の空でない交代語が単位行列になることはない。

この作り方は 英語版の Ping-pong lemma に書かれています。

非可換な自由群の性質

階数 2 以上の自由群には、扱いやすい性質がいくつも並びます。

中心が自明なことは、簡約語の形から直に確かめられる。すべての元と交換する語は、どの生成元とも交換しなければならないためです。

Cayley グラフは木になる

生成系を基底にとると、$F_n$ の Cayley グラフは $2n$ 正則の木になります。頂点は群の元、辺は生成元を掛ける操作。

閉路がないことが、関係式がないことの図での言い換えになる。閉路があれば、その道に沿った語が単位元になり、それが関係式です。

木の上で自由群が自由に動くので、幾何の議論がそのまま群の議論になる。距離や境界を使った扱いは、この一点から始まります。

円の花束の基本群

円を $n$ 個、1 点で貼り合わせた空間を考えます。その基本群が階数 $n$ の自由群になる。

どの円をどちら向きに何回まわるかが語にあたり、途中で引き返せば打ち消し合うので簡約と対応する。van Kampen の定理から従う事実。

Nielsen と Schreier の定理を被覆空間で示す筋道も、この対応の上に載っている。代数の主張が、位相の計算に置きかわります。

よくある誤り

参考文献